Matematikadan olimpiada masalalari

Yechimi: Masala shartiga mos chizma chizib olamiz.

BE kesmada K nuqtani shunday tanlaymizki, bunda BK=CH bo’lsin va OB, OK, OC kesmalarni o’tkazaylik. U holda, . AFHE to’rtburchakda . Ikkinchi tomondan ga ega bo’lamiz. Demak ekan. Bundan B, O, H, C nuqtalarning bitta aylanada yotishi kelib chiqadi. , OB=OC va BK=CH tengliklarga egamiz. Uchburchaklar tengligidan, . U holda, va OK=OH ekanligini aniqlaymiz. ekanligidan ekanligi kelib chiqadi. Bundan OK=OH bo’lganligi uchun ga ega bo’lamiz. ga sinuslar teoremasini qo’llasak, . Masala shartiga ko’ra BM=CN va CH=BK bo’lganligi uchun KM=NH bo’ladi. Bulardan . Demak, . Javob:
4. ABC o’tkir burchakli uchburchakda balandliklar, medianalar va bissektrisalar kesishgan nuqtalar AC vatarli aylanada yotadi. ABC uchburchakning muntazam ekanligini isbotlang.
Yechimi: H, O, M nuqtalar mos ravishda ABC uchburchakning balandliklari, bissektrisalai va medianalari kesishgan nuqtalar bo’lsin. deb olaylik.

U holda, va va bo’ladi. Bundan , , ekanligi ma’lum bo’ladi. Yuqoridagi natijadan hamda ekanligidan, natijani olamiz. Bundan bilamizki, A₁MC₁B-ichki chizilgan to’rtburchak bo’ladi. U holda, kesuvchining xossasiga ko’ra , bunga ko’ra . Endi C uchdan AB tomonga CC₂ perpendikulyar o’tkazamiz. U holda, bo’lib, bundan CC₁=CC₂ ekanini topamiz. Demak mediana balandlikka teng bo’lar ekan. Bundan BC=AC bo’ladi, demak ABC uchburchak muntazam bo’lar ekan.
5. Ushbu tenglamani natural sonlarda yeching.
Yechimi:
Yechimi: Ixtiyoriy n=1,2,3,… lar uchun formula bilan berilgan a₁, a₂, a_{3, …} ketma-ketlikni qaraymiz. Ravshanki va barcha n>1 lar uchun a_n>a_n+1>0 munosabat o’rinli bo’ladi.
Endi, barcha lar uchun , ya’ni munosabat o’rinli. Tenglik n=4 bo’lganda bajariladi. Shuningdek bo’lgani uchun tenglama bo’lganda 2 ta yechimga ega bo’ladi: (5;6;4) va (6;5;4).
Agar bo’lsa, u holda bo’ladi. Bunga ko’ra tenglamadan va bo’lishi kerakligini aniqlaymiz. Bu mulohazalardan (4;4;1) va (4;4;2) yechimlarni topamiz.
Demak, javob: (5;6;4), (6;5;4), (4;4;1), (4;4;2).