Kurs ishi mavzu: Sodda konform akslantirishlar Topshirdi: Abdiqodirov B. Qabul qildi: Axmedov I. Reja

Chiziqli funksiya.
Ushbu
(1)
ko’rinishdagi funksiya chiziqli funksiya (chiziqli akslantirish) deyiladi, bunda a va b lar o`zgarmas kompleks sonlar va a 0.
Bu funksiya da aniqlangan, unga teskari funksiyalar ham chiziqli funksiya bo`lib, u quyidagi
(2)
ko`rinishga ega.
(1) va (2) akislantirishlardan va tekislik nuqtalari o`zaro bir qiymatli moslikda ekanligi kelib chiqadi. Bundan da bo`ladi va aksincha.
Ravshanki,

Demak,

akislantirish tekislikni tekislikga komforim akislantiradi.
Ixtiyoriy nuqtani olaylik. Bu nuqta (1) akslantirish yordamoida nuqtaga o`tadi.
Chiziqli funksiya yordamida bajariladigan akislantirishni aniqlash uchun avvalo uning xususiy hollarini qaraymiz.
.Aytaylik,
(3)
Bo’lsin. Agar kompleks son vektor orqali ifodalanishini etiborga olsak, unda (3) akislantirirsh z va b vektorlar yig`indisi orqali topilishini ko`ramiz. Demak, bu holda z ga ko’ra uning aksi w parallel ko`chish orqali topilar ekan. Bu jarayon 1-chizmada tasvirlangan.

_1-chizma
.Aytaylik,

bo`lsin. Avvalo

ekanini etiborga olib, so`ng

tenglikdan foydalanib topamiz:

Demak,

bo`ladi. Bu holda z ga ko’ra uning aksi w,z vektorni burchakka burish bilan topilar ekan. Bu jarayon 2-chizmada tasvirlangan.

2-chizma
3. Aytaylik,

bo`lsin. U holda z ga ko`ra uning aksi w,z vektorni cho`zish (k>1) yoki siqish (k<1) bilan topiladi.
Yuqorida keltirilgan hollardan ko`rinadiki,

chiziqli funksiya yordamida akislantirish tekislikdagi sohani „parallel ko`chirish“, „burchakka burish“ hamda „cho`zish yoki siqish“ ni amalga oshirar ekan.
Misollar. 1. Uchlari

Nuqtalarda bo`lgan ABC uchburchakni

chiziqli funksiya yordamida akislantiring.
Ravshanki, bu chiziqli funksiya tekislikdagi ABC uchburchakni tekislikdagi uchburchakga akislantiradi. Uning uchlari mos ravishda nuqtalarning aksi bo`ladi:



Demak, funksiya uchlari nuqtalarda bo`lgan ABC uchburchakni uchlari nuqtalarda bo`lgan uchburchkka akislantiradi (3-chizma).

3-chizma
2. tekislikdagi

doirani tekislikdagi

birlik doiraga akislantiruvchi funksiyani toping.
Ushbu

Chiziqli funksiyani qaraylik. Ravshanki, bu funksiya tekislikdagi

doirani tekislikdagi

doiraga akislantiradi.
Quyidagi

chiziqli funksiya esa,

doirani

birlik doiraga akslantiradi.
Shunday qilib, berilgan D sohani tekislikdagi birlik doiraga akislantiruvchi chiziqli akislantirish

Ko`rinishga ega bo’ladi.(4-chizma).

4-chizma.
Faraz qilaylik, funksiya biror E sohada berilgan bo`lsin.
Agar nuqtada

Tenglik bajarilsa, z=a nuqta w=f(z) akslantirishning qo`zg`almas nuqtasi deyiladi.
Yuqorida keltirilgan

chiziqli akslantirish:

1. 
   a=1 bo`lganda qo`zg`almas nuqtaga,
   
2. 
   bo`lganda ikkita qo`zg`almas nuqtalarga ega bo`ladi.
   

Misol. tekislikdagi nuqtani qo`zg`almas qoldrib, nuqtani esa nuqtaga o`tkazadigan chiziqli akslantirishni toping.
Topilishi lozim bo`lgan chiziqli akislantirishni quyidagi
(4)
ko`rinishda yozamiz.
nuqta qo`zg`almas bo`lgani sababli
(5)
bo`ladi. (4) va (5) munosabatlardan

bo`lishi kelib chiqadi.
niuqta akslantirish natijasida nuqtaga o`tishidan foydalanib

ya`ni

bo`lishini topamiz. Bu tenglikdan

bo`lishi kelib chiqadi.
Shunday qilib,izlanayotgan chiziqli akslantirish

bo`ladi.