Kurs ishi mavzu: Sodda konform akslantirishlar Topshirdi: Abdiqodirov B. Qabul qildi: Axmedov I. Reja

Kasr-chiziqli funksiya
Ushbu
(6)
ko`rinishdagi funksiya kasr-chiziqli funksiya (kasr-chiziqli akslantirish) deyiladi, bunda a,b,c,d lar o`zgarmas kompleks sonlar va
(7)
(7) shartning bajarilmasligi w funksiyaning o`zgarmas bo`lib qolishiga olib keladi.
Haqiqantan ham,

bo`lsa, bo`lib,

bo`ladi.
Biz bo`lganda
(8)
bo`lganda
deb qaraymiz.
(6) munosabatni z ga nisbatan yechish natijasida berilgan kasr-chiziqli funksiyaga nisbatan teskari bo`lgan
(9)
funksiyaga kelamiz. Bu yerda ham
bo`lganda,
bo`lganda,
deb qaraymiz.
Demak,

funksiya to`plamda

funksiya esa to`plamda aniqlangan.
Ayni paytda (6) funksiya to`plam nuqtalarini nuqtalariga o`zaro bir qiymatli akslantiradi.
Ravshanki,

Bo`lib, bu hosila

to`plamda chekli hamda (8) binoan .
Demak,

akslantirish

to`plamda komform akslantirish bo`ladi.
Endi
(6)
akslantirishning va nuqtalarda komform bo`lishini ko`rsatamiz.
1) bo’lsin. Bu holda (6) akslantirishning nuqtada komform bo`lishini ko`rsatish uchun

ni qaraymiz.
Ravshanki,


bo`lib,

bo`ladi. Demak, qaralayotgan akslantirish nuqtada konform bo`ladi.
(6) akslantirishning nuqtada konform bo`lishini ko`rsatish uchun

ni qaraymiz. Unda


bo`lib, bo`lganda

bo`ladi. Demak, (6) akslantirish nuqtada konform bo`ladi.
2) bo`lsin. Bu holda

bo`lib, nuqta nuqtaga akslanadi.
Agar deyilsa, unda


bo`lib, nuqtada

bo`ladi. Demak, (6) akslantirish nuqtada konform akslantirish bo`ladi.
Shunday qilib,

Akslantirish tekislik nuqtalarini tekislik nuqtalariga konform akslantirar ekan.
Kasr chiziqli akslantirish yordamida dagi sohaning aksini aniqlash uchun avval (6) ning hususiy hollarini qaraymiz:
. (6) da
a=0, b=1, c=1, d=0
bo`lsin. Bu holda kasr chiziqli funksiya ushbu

ko`rinishga keladi.
1-lemma. akslantirish tekislikdagi aylana yoki to`g`ri chiziqni tekislikdagi aylana yoki to`g`ri chiziqqa o`tkazadi.
Ma`lumki, tekislikda
(10)
tenglama aylanani ( bo`lganda )yoki to`g`ri chiziqni ( bo`lganda) ifodalaydi.
Agar



Bo`lishini etiborga olsak, unda (10)tenglama quyidagi
(11)
Ko`rinishga kelishini topamiz, bunda .
Demak, kompleks tekislik da aylana (yoki to`g`ri chiziq) kompleks o`zgaruvchi orqali (11) tenglama bilan ifodalanar ekan.
Endi akslantirish yordamida tekislikdagi

aylananing (yoki to`g`ri chiziqning ) tekislikdagi aksini topamiz. Buning uchun (11) tenglamadagi o`rniga ni, o`rniga esa ni qo`yamiz.
Natijada

bo`lib,
(12)
bo`lishi kelib chiqadi. Bu (12) tenglamani yuqoridagi (11) tenglama bilan solishtirib, uning tekislikda aylananing (yoki to`g`ri chiziqning ) tenglamasi ekanligini aniqlaymiz.
Demak, akslantirish aylanani (yoki to`g`ri chiziqni) aylanaga (yoki to`g`ri chiziqqa) akslantirar ekan.
(6) da bo`lsin. U holda

chiziqli akslantirishga kelamiz. Bunday akslantirish 1-& da batafsil o`rganilgan.
Endi umumiy holni qaraymiz . Bu holda kasr chiziqli akslantirishni quyidagicha yozib olamiz:

Agar
(13)
(14)
deyilsa, unda
(15)
bo`ladi.
(13),(14) va (15) munosabatlardan

Kasr chiziqli akslantirish uchta:
Chiziqli akslantirish

so`ng yuqorida o`rganilgan

akslantirish va nihoyat yana chiziqli akslantirish

larning birin-ketin bajarilishi natijasidan iborat ekanligini ko`ramiz.