Kombinatorika masalalari

3.Takrorlanadigan o’rinlashtirishlar X={x₁,x₂,…,x_m} to’plam berilgan bo’lsin. Bu to’plam elementlaridan uzunligi k gat eng bo’lgan m^k kortejlar tuzish mumkin:
Buni m elementdan k tadan takrorlanadigan o’rinlashtirishlar diyiladi.
7 - misol. 3 elementli x={1,2,3} to’plam elementlaridan uzunligi ikkiga teng bo’lgan nechta kortish tuzish mumkin.
Yechish. ta kortij tuzish mumkin. Mana ular.
(1;1) (1;2), (1;3)
(2;1) (2;2), (2;3)
(3;1) (3;2);(3;3)
8 - misol. 6 raqamli barcha telifon nomerlar sonini toping.
Yechish. Telifon nomerlar 0 dan 9 gacha bo’lgan o’nta raqamdan tuzilgani uchun 10 elementdan tuzilgan barcha tartiblangan uzunligi 6 ga teng bo’gan kortijlar sonini topamiz:
4. Takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar. Malumki m elementli X to’plam elementlarini to’rli usullar bilan tartiblashlarning umumiy soni
P_m= ! ga temg
9 - misol. 5 ta talabani 5 stulga necha xil usul bilan o’tqazish mumkin?
Yechish. Masala 5 elementdan 5 tadan takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar sonini topishga keltiradi. P₅=5!=
Demak, ularni 120 xil usul bilan o’tirg’zish mumkin
5. Takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar. m elementli X to’plamdan tuziladigan barcha tartiblangan n elementli to’plamlar soni
ga teng.
10 - misol. Guruhdagi 25 talabadan tanlovga qatnashish uchun 2 talabani necha xil usul bilan tanlash mumkin.
Yechish. usul bilan tanlash mumkin.
11- misol. 8 kishidan sardor, oshpaz, choyxonachi va navbachilardan iborat. 4 kishini tanlash kerak. Buni necha xil usulda amalga oshirish mumkin?
Yechish. Bu masala 8 keshidan 4 tadan takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar sonini topishga keltiriladi. Demak, usul bilan 4 kishini tanlash mumkin.
6. Takrorlanmaydigan guruhlashlar. M elementli X to’plamning k elementli qism to’plamlari soni

formula bo’yicha topiladi.
12 - misol. Kursdagi 20 talabadan ko’pirda ishtirok etish uchun 5 talabani necha xil usulda tanlah mumkin.
Yechish. Ko’rik ishtirikchilarning tartibga ahamiyatga ega bo’lmagani uchun 20 elementli to’plamning 5 elementli qism to’plamlari soni nechtaligini topamiz:

Demak, 5 talabani 10704 usul bilan tanlash mumkin ekan.

13 - misol. 6 ta har xil rangli qalamdan 4 xil rangli qalamni necha xil usul bilan tanlash mumkin.
Yechish. xil ucul bilan tanlash mumkin.
Endi chikli X to’plam qism to’plamlari sonini topish haqidagi masalani qaraymiz. Uni hal qilish uchun istalgan tarzda x to’plamni tartiblaymiz. Sung har bir qism to’plamni m uzunligidagi kortej sifatida shifirlaymiz: qisim to’plamga kirgan element o’rniga 1, kirmagan element o’rniga 0 yozamiz. Masalan, agar X={x₁;x₂;x₃;x₄;x₅} bolsa, u holda (0;1;1;0;1) kortej {x₂,x₃,x₅} qism to’plamini shiflaydi, (0;0;0;0;0) kortej esa bo’sh tuplam, (1;1;1;1;1) kortej esa X tuplamning o’zini shifirlaydi. Shunda qisim tuplamlar soni ikkta {0;1} elementdan to’zilgan barcha m uzunlikdagi kortejlar soniga teng bo’ladi: .
14-misol. X={a;b;c;} to’plamning barcha qism to’plamlarini yozing, ular nechta bo’ladi.
Yechish. , {a}, {b}, {c}, {a;b}, {a;c}, {b;c}, {a;b;c} lar X to’plamning barcha qisim to’plamlari bo’lib ularning soni 2³=8ga teng. 1.Kombinatorika masalasi.Elementlarning turli kombinatsiyalari va ularning sonini topish bilan bog’liq masalalar kombinatorika masalalarideyiladi. Bunday masalalar matematika fanining tarmogi — kombinatorikada o’rganiladi. Kombinatorika asosan, XVII—XIX asrlarda mustaqil fan sifatida yuzaga kelgan bo’lib, uning rivojiga B.Paskal, P.Ferma, G.Leybnis, Y.Bernulli, L.Eyler kabi olimlar katta hissa qo’shganlar.
2.Yig’indi qoidasi.Kombinatorikada to’plamlar birlashmasi elementlari sonini hisoblash masalasi yig’indi qoidasideb ataladi.
Agar A∩B =∅ bo’lsa,
n(A∪B) = n(A) + n(B) (1)
bo’ladi.
Ya’ni kesishmaydigan Ava Bto’plamlar birlashmasi elementlari soni shu to’plamlar elementlari sonlarining yig’indisiga teng.
Agar A∩B≠∅ bo’lsa,
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) (2)
bo’ladi. Ya’ni umumiy elementga ega ikki to’plam birlashmasi ele- mentlari soni to’plamlarning har biri elementlari sonlari yig’indisidan ularning umumiy elementlari sonining ayrilganiga teng. (2) formula (1) formulaning umumiy holi bo’lib, (1) formulada n(A∩B)=∅, ya’ni to’plamlarning umumiy elementi yo’q.
3)Yigindi qoidasi umumiy elementga ega bo’lgan uchta A, B, Cto’plam uchun quyidagicha yoziladi: agar A∩B∩C = ∅bo’lsa,
n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C) (3)bo’ladi.
(1) formula bilan yechiladigan kombinatorika masalasi umumiy holda quyidagicha ifodalanadi: agar x elementni k usul, y elementni m usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, «x yoki y» elementni k + m usul bilan tanlash mumkin.
Masalan, savatda 8 ta olma va 10 ta nok bor bo’lsa, 1 ta mevani 8 + 10 = 18 usul bilan tanlash mumkin.
(2) formula bilan yechiladigan masala: 40 talabadan 35 tasi matematika imtihonini, 37 tasi rus tili imtihonini topshira oldi. 2-talaba ikkala fandan «2» oldi. Nechta qarzdor talaba bor?
Yechish. A— matematika fanidan «2» olgan, B- rus tili fanidan «2» olgan talabalar to’plami bo’lsin.
n(A)= 40 - 35 = 5 n(A∩B)= 2.
n(B)=40 - 37 = 3 n(A∪B)= 5 + 3- 2 = 6.
Javob: 6 ta qarzdor talaba bor.
(3) formula - yig’indi qoidasi bilan yechiladigan masalani ko`raylik.
1-masala. Sinfda 40 o`quvchi bor. Uning 26 tasi basketbol, 25 tasi — suzish, 27 tasi — gimnastika bilan shug`ullanadi, bir vaqtda suzish va gimnastika bilan — 15 ta, basketbol va gimnastika bilan — 16 ta, suzish va gimnastika bilan shug`ullanuvchilar — 18 ta. 1 o`quvchi darsdan ozod. Hamma sport turi bilan nechta o`quvchi shug`ullanadi? Nechta o`quvchi faqat 1 ta sport turi bilan shug`ullanadi?
Yechish. Maslada 3 ta to`plam qaralyapti: А — basketbol bilan shug`ullanuvchilar, В — suzish bilan shug`ullanuvchilar, С — gimnastika bilan shug`ullanuvchilar. Bu uch to`plam kesishadi.
Bu 3 to`plam kesishmasidagi elementlar sonini х bilan belgilasak, quyidagi tenglamaga ega bo`lamiz:
26 + 25 — (3З — х) + (18 — х) + 27 — (34 - x) + 1 = 40.
Bu yerda х= 10. Demak, hamma sport turi bilan 10 ta o`quvchi, faqat 1 ta sport turi bilan 10 ta: basketbol bilan — 5 ta, suzish bilan — 2 ta, gimnastika bilan — 3 ta o`quvchi shug`ullanadi.
2-masala. 50 talabadan 20 tasi nemis tilini, 15 tasi inghliz tilini o`rganadi. Ikkala tilni biluvchi va faqat 1 ta tilni biluvchi talabalar soni nechta bo`lishi mumkin?
Yechish. Maslada 2 ta to`plam qaralyapti: А—barcha talabalar to`plami, В— nemis tilini o`rganadigan, С— inghliz tilini o`rganadigan talabalar to`plami. Masala sharti bo`yicha n(А) = 50, n(В) =20, n(С) = 15.
А, В va To`plamlar orasidagi munosabatlarni Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlash mumkin. Ikki tilni biluvchi talabalar soni В va С to`plamlar kesishmasi elementlari sonini topish bilan bog`liq. Faqat 1 ta tilni biluvchi talabalar soni ikki to`plam birlashmasi elementlari sonini topish bilan bog`liq.

Ko’paytma qoidasi.Chekli to’plamlarning dekart ko’paytmasi elementlari sonini topishga imkon beradigan qoida ko’paytma qoidasideyiladi.

A ={a1, a2,…, an}va B = {b1,b2, …, bm} to’plamlar elementlaridan nechta tartiblangan (ai, bj.)juftlik tuzish mumkinligini ko’raylik. Barcha juftliklarni tartib bilan quyidagicha joylashtiramiz:
(a1; b1), (a1; b2), … , (a1; bm), (a2; b1), (a2; b2), … , (a2; bm), (an; b1), (an; b2), … , (an; bm).
Bu jadvalda n ta qator va m ta ustun bo’lib, undagi barcha juftliklar soni n·mga teng. Bu yerda n = n(A) va m = n(B).
Ko’paytma qoidasi n(A×B) = n(A)· n(B)ko’rinishda yoziladi.

Prezidentimiz oʻz maʼruzasida darsliklar yaratishga jiddiy eʼtibor qaratish zarurligini taʼkidladi. Undan kelib chiqqan holda oʻzimizga kelajakda amalga oshirishimiz lozim boʻlgan bir qator vazifalarni belgilab oldik. Darhaqiqat, fanlarni oʻqitish metodikasi, nazariy va amaliy bilimlar muvofiqligi, dasturlar uzviyligi, darsliklar mazmuni va sifatida talay kamchilik va muammolarimiz bor. Darslik va oʻquv-metodik qoʻllanmalarni nashrga tayyorlashda ularni mazmun va sifat jihatidan xalqaro talablarga qay darajada javob bera olishiga yana-da jiddiy eʼtibor qaratishimiz, amaliyotchi oʻqituvchilar, fan metodistlari hamda salohiyatli olimlar tomonidan chuqur ekspertizadan oʻtkazishimiz lozim. Darsliklar ekspertiza xulosalari asosida uning mualliflari, nashriyot xodimlari hamda fan metodistlari hamkorligida qayta ishlansa, mazmuni va illyustratsiyalariga tegishli oʻzgartirishlar kiritilsa yana-da mazmunli va sifatli boʻladi. Darsliklarni yana-da takomillashtirish uchun jahon tajribasini kengroq oʻrganish, loyihalarimizga Respublikamizdagi eng tajribali mutaxassislarni, xorijiy ekspertlarni keng jalb qilish maqsadga muvofiq.

Xulosa

Darsliklarni tayyorlashda oʻquvchilarning yoshi va psixo-fiziologik xususiyatlari alohida inobatga olinadi. Darslik mazmunida mavjud boʻlgan takrorlanishlar bartaraf etiladi, xalqaro tajribaga tayangan holda darslikning dizayni va foto-illyustratsiyalariga oʻzgartirish kiritiladi. Yana bir eʼtiborli holat shuki, fanlar kesimida fanlararo bogʻliqlik hamda sinflararo uzviylik taʼminlanishiga yana-da jiddiy eʼtibor qaratiladi. Darslik va oʻquv-metodik adabiyotlarning yangi avlodini yaratishda ular mazmuniga xalqaro baholash dasturi —TIMSS, PIRLS talablari oʻquvchilar yoshiga mos tarzda yana-da chuqurroq singdiriladi. Shuningdek, mavzularni qoʻshimcha maʼlumotlar bilan boyitish maqsadida barcha darsliklarga QR kodlar oʻrnatiladi.