Mechanika
A klasszikus mechanika a fizikának az az ága, amely a testek nem túlságosan nagy, vagyis a fénysebességet meg nem közelítő sebességgel történő mozgásának törvényszerűségeit vizsgálja. Az általánosan elfogadott felosztás szerint két alapvető részterülete van: -
a mozgástan vagy kinematika, amely a mozgások leírásával foglalkozik, és
-
az erőtan vagy dinamika, amely a mozgások okait, az azokat létrehozó hatásokat is vizsgálja.
Kinematika
Az anyagi pont helyzetének leírása, a pályagörbe
A mozgás a klasszikus értelemben vett definíció szerint relatív helyzetváltoztatás. A következőkben a legegyszerűbb modell, az anyagi pont vagy tömegpont mozgásának általános törvényszerűségeit szeretnénk megállapítani.
Az anyagi pont vagy tömegpont olyan, tömeggel rendelkező test, amely pontszerűnek tekinthető, vagyis méretei a mozgás más jellemzőihez képest elhanyagolhatók.
Az tehát, hogy adott esetben egy test pontszerűnek tekinthető-e vagy nem, a mozgás jellemzőitől is függ: nem tekinthető például tömegpontnak egy gépjármű, ha átáll az úttest egyik oldaláról a másikra, de egyértelműen annak tekinthetjük, ha egyik városból a másikba közlekedünk vele.
Természetesen ezen egyszerű modell törvényszerűségeinek ismeretében vizsgálhatók tömegpontrendszerek is, mint például a speciális tömegpontrendszernek tekinthető merev testek és szilárd testek, amelyeket az őket alkotó tömegpontok összessége és a tömegpontok között fennálló kapcsolatok együttesen jellemeznek.
A mozgás meghatározásában szereplő relatív helyzetváltoztatás azt jelenti, hogy a tömegpont mozgásának egyértelmű leírása csak úgy lehetséges, ha megadjuk, hogy a tömegpont mindenkori helyzetét mihez viszonyítjuk. A mozgás leírásához tehát mindig meg kell adjuk a vonatkoztatási rendszert, ami lehet például egy merev test, illetve, ami ezzel matematikailag egyenértékű, egy megfelelően definiált koordinátarendszer.
A tömegpont térbeli helyzete egyértelműen megadható az általánosan alkalmazott Descartes-féle koordinátarendszer segítségével. Mint ismeretes, ezt a rendszert három, páronként egymásra merőleges, egy közös pontból, a koordinátarendszer origójából induló egységvektorral (- melyeknek szokásos jelölése rendre i, j és k -), illetve az ezen egységvektorokra illeszkedő egyenesekkel, a koordinátarendszer x, y, és z tengelyeivel adhatjuk meg.
-
ábra
Az anyagi pont tetszőleges t időpontban elfoglalt helyzetét tehát egyértelműen jellemezhetjük egy r(t) helyvektorral, amelyet koordinátáival is megadhatunk:
r(t) = rx + ry + rz = x(t) i + y(t) j + z(t) k .
Az anyagi pont mozgása közben különböző egymás utáni helyzeteket vesz fel, az ezeket tartalmazó folytonos görbe a pályagörbe.
A pályagörbe adott szakaszának, illetve pontjainak jellemzői:
-
az ívhossz, ( Ds (delta s), ábránkon PP’ ), amely egyirányú mozgás esetében megegyezik a megtett úttal, és
-
a görbületi sugár, amely az
R = lim Ds/Df = ds/ df
D0
összefüggéssel definiálható, és általános esetben a pályagörbe adott pontjának jellemzője.
A görbületi sugár kifejezésében szereplő hányados az ívhossz szögelfordulás szerinti differenciálhányadosa, amely, mint látjuk, egy határértékkel egyenlő. Szemléletesen azt jelenti, hogy a Ds/D hányados akkor közelíti megfelelő pontossággal a görbületi sugár értékét az adott pont környezetében, ha D értékét egyre kisebbre, csaknem nullára választjuk ( matematikai megfogalmazásban: D0, vagyis delta fi tart a nullához ).
A tömegpont elmozdulása, sebessége, gyorsulása
Amennyiben egy tömegpont t időpontbeli helyzete az r(t) helyvektorral, illetve t+Dt időpontbeli helyzete az r(t+Dt) helyvektorral írható le, akkor a tömegpont ezen t időtartamhoz tartozó elmozdulásvektora:
Dr = r(t+Dt) – r(t)
Az ily módon definiált elmozdulásvektor mindenkor a pályagörbe P és P’ pontjához tartozó szelőre illeszkedik.
A tömegpont Dt időintervallumra vonatkoztatott átlagsebessége:
v(t,Dt) = Dr/Dt .
Az így nyert hányados skaláris alakja a megfelelője annak az általánosan elterjedt sebességfogalomnak, mely szerint a sebesség a megtett út és a megtételéhez szükséges idő hányadosa, skalárisan v = s/t . Ez a jellemző azonban nem írja le egyértelműen az adott időpontbeli sebességet, hiszen nemcsak az időnek, hanem az önkényesen megválasztott Dt időintervallumnak is függvénye, ezért vezettük be a pillanatnyi sebesség ( a későbbiekben egyszerűen csak sebesség ) fogalmát:
v(t) = lim Dr/Dt = dr/ dt .
Dt0
A sebességvektor tehát az elmozdulásvektor idő szerinti első differenciálhányadosa. A sebesség vektormennyiség, iránya a pályagörbe mindenkori érintőjének irányával megegyező. A pillanatnyi sebesség természetesen megadható koordinátáival is:
v(t) = dr/dt = dvx(t) i + dvy(t) j + dvz(t) k
A sebességvektornak az idő függvényében nagysága és iránya egyaránt változhat:
2.ábra
A sebesség Dt időtartamra vonatkozó változásának jellemzésére vezettük be az átlagos gyorsulás fogalmát:
a(t,Dt) = Dv/Dt , illetve definiáltuk
a pillanatnyi gyorsulás ( a továbbiakban egyszerűen csak gyorsulás) fogalmát:
a(t) = lim Dv/Dt = dv/ dt = dvx(t)/dt i + dvy(t)/dt j + dvz(t)/dt k .
Dt0
Az ily módon definiált gyorsulásvektor tehát a sebességvektor idő szerinti első, ennek megfelelően az elmozdulásvektor idő szerinti második differenciálhányadosa.
Természetesen, ahogyan a sebességet az elmozdulás, illetve a gyorsulást a sebesség differenciálhányadosaként értelmeztük, a deriválás inverz matematikai műveletének, az integrálásnak a segítségével a gyorsulásfüggvényből a sebesség, illetve a sebességfüggvényből az elmozdulás időfüggvénye meghatározható, persze az adott mozgásra vonatkozó kezdeti feltételek figyelembevételével.
Szemléletesen ez annyit jelent, hogy például a sebesség időfüggvénye alatti terület adott időpontok között meghatározott értéke ( a sebességfüggvény ezen időpontok közötti határozott integrálja) megadja az adott időpontok között megtett út nagyságát. Természetesen ugyanígy igaz az is, hogy a gyorsulásfüggvény alatti, adott időponthatárok között meghatározott terület ( a gyorsulásfüggvény adott időpontok közötti határozott integrálja) az ugyanezen időtartam alatt bekövetkezett sebességváltozást adja meg.
3. ábra
Speciális mozgások mozgástörvényei
Egyenesvonalú mozgások
Az eddigiekben értelmezett mennyiségek tetszőleges, térbeli pályán haladó test mozgástörvényeinek leírására is alkalmasak. Amint utaltunk rá, a tömegpont helyzetét leíró helyvektora koordinátáival is megadható, és így a legáltalánosabb mozgás leírása is visszavezethető egyenesvonalú mozgások vizsgálatára. A következőkben tehát határozzuk meg ezen egyenesvonalú mozgások esetén érvényes alapvető összefüggéseket.
Egyenesvonalú mozgások esetén vonatkoztatási rendszerünket célszerűen úgy választjuk meg, hogy koordinátarendszerünk x tengelye a mozgás irányával egybeessen, hiszen így a tömegpont helyvektorának időfüggvénye r(t) = x(t) i alakban írható, vagyis elégséges csak a könnyen kezelhető x(t) skaláris elmozdulásfüggvény vizsgálata, és ennek figyelembevételével nemcsak az elmozdulás, hanem a sebesség és a gyorsulás időfüggvényei is skalár egyenletekkel lesznek vizsgálhatók.
Egyenesvonalú, egyenletes mozgás
Egyenesvonalú, egyenletes mozgás esetén a sebességnek sem a nagysága, sem az iránya nem változik:
v(t) = v0 = állandó.
Mivel a tömegpont sebessége állandó, gyorsulása a = 0 értékű a mozgás bármely időpillanatában.
Az elmozdulás időfüggvényét a sebességfüggvény integrálásával határozhatjuk meg, ha figyelembe vesszük a megadott mozgásra érvényes kezdeti feltételt. Legyen például a t = t0 időpontban a test az x = x0 helyen, ekkor a keresett elmozdulásfüggvény:
x(t) = x0 + v0 (t-t0) .
Gyakran használjuk ennek az összefüggésnek azt a speciális esetét, amikor t0 = 0, vagyis az időmérés kezdete egybeesik a mozgás kezdetével, ekkor az
x(t) = v0 t ,
bizonyára mindenki számára ismerős összefüggés adódik.
Az egyenesvonalú, egyenletesen változó mozgás
A címbeli definíció a gyakorlatban azt jelenti, hogy a sebesség iránya nem, nagysága pedig egyenletesen változik, vagyis a sebesség változására jellemző mennyiség, a mozgás gyorsulása az időben állandó: a(t) = a = állandó.
A sebesség időfüggvényének meghatározásához vegyük figyelembe, hogy a t t = t0 időpontban a sebesség a v0 kezdeti sebességgel egyenlő, ekkor
v(t) = v0 + a (t – t0) .
Az elmozdulás, illetve a megtett út meghatározásához az előbb nyert sebességfüggvényt kell integrálnunk, figyelembe véve azt a kezdeti feltételt, hogy a t = t0 időpontban a tömegpont az x = x0 helyzetben volt:
x(t) = x0 + v0 (t-t0) + a/2 (t-t0)2 .
Természetesen itt is vizsgálhatjuk azt a speciális esetet, amikor t0 = 0 és x0 = 0, vagyis amikor az időmérés és a mozgás kezdete az időben egybeesik, és a tömegpont a koordinátarendszerünk kezdőpontjából indul:
x(t) = v0 t + a/2 t2 ,
a feladatok megoldása során valószínűleg ezzel az összefüggéssel találkozhatunk a legsűrűbben.
A feladatok megoldása során néha síkbeli mozgások jellemzőit kell meghatároznunk, vegyük csak egyszerű példaként a ferde hajítás esetét. Ebben az esetben a tömegpont helyvektora kétdimenziós, és megadható az r(t) = x(t) i + y(t) j alakban. A mozgás tehát összetevőire bontható :
-
a tömegpont egy vízszintes irányú, x(t) elmozdulásfüggvénnyel és v0x vízszintes irányú kezdősebességgel jellemezhető, egyenesvonalú egyenletes mozgást végez,
-
egyidejűleg egy függőleges irányú, y(t) elmozdulásfüggvénnyel és v0y kezdősebességgel, valamint egy ezen sebességgel ellentétes irányú, g = 9.81 m/s2 nagyságú nehézségi gyorsulással jellemezhető, egyenesvonalú egyenletesen változó mozgást is végez.
A mozgástörvények ismeretében meghatározható a tömegpont tetszőleges időpontban elfoglalt helyzetének vízszintes és függőleges koordinátája, vagyis a tömegpont helyzete egyértelműen megadható.
Speciális görbevonalú mozgások
Az egyenletes körmozgás
Az egyenletes körmozgás azt jelenti, hogy a mozgás sebességének nagysága, vagyis a sebességvektor abszolút értéke állandó, de miután a tömegpont körpályán mozog, a sebességvektor iránya változni fog, hiszen, mint azt már említettük és a későbbiekben is látni fogjuk, a sebességvektor a pályagörbe, esetünkben a körpálya mindenkori érintőjével egyező irányú.
4. ábra
Határozzuk meg a tömegpont tetszőleges t időpontbeli helyvektorát, ekkor az ábra jelöléseivel:
r(t) = x(t) i + y(t) j = r cosf i + r sinf j .
Vegyük figyelembe a mozgás egyenletességét, vagyis hogy a sebesség nagysága, azaz a sebességvektor abszolút értéke állandó :
v = lim Ds/Dt = ds/ dt = r df /dt = r ,
Dt0
ahol az
= df/dt
összefüggéssel definiált mennyiséget – amely esetünkben, egyenletes körmozgásról lévén szó, az időben állandó érték, a körmozgás szögsebességének nevezzük.
A szögsebesség ismeretében a tömegpont helyvektora:
r(t) = x(t) i + y(t) j = r cosf i + r sinf j = r cost i + r sint j alakú.
A sebességvektor ennek idő szerinti differenciálhányadosa:
v(t) =dx(t)/dt i + dy(t)/dt j = - r sin t i + r cos t j ,
amely vektor abszolút értéke ténylegesen állandó, iránya pedig mindig merőleges az adott időponthoz tartozó sugárvektorra, tehát a körpálya érintője.
A gyorsulásvektor a sebességvektor differenciálhányadosaként adódik:
a(t) = dv/dt = - r 2 cost i – r 2 sint j = - r 2 .
Az így definiált, a sugár irányába mutató, azzal ellentétes értelmű és állandó nagyságú vektort az egyenletes körmozgást végző tömegpont centripetális gyorsulásának nevezzük. A centripetális gyorsulás tehát mindig sugárirányú és a kör középpontja felé mutat, nagysága pedig r 2. .
Az egyenletesen változó körmozgás
Egyenletesen változó sebességű körmozgás esetén a sebességvektornak nemcsak az iránya, hanem a nagysága is változik, ebből következően szögsebessége sem állandó, az egyenletes változás miatt azonban a szögsebesség változására jellemző,
= d/dt
hányadossal definiált mennyiség, a tömegpont szöggyorsulása az időben állandó.
Az állandó szöggyorsulás ismeretében meghatározható a szögsebesség időfüggvénye, figyelembe véve, hogy a t = t0 időpontban a szögsebesség értéke éppen 0:
(t) = 0 + (t-t0) .
A szögsebesség időfüggvényének ismeretében a szögelfordulás, figyelembe véve, hogy a t = t0 időpontban a tömegpont szögelfordulása f0 volt:
(t) =0 + 0 (t-t0) + /2(t-t0)2 .
Természetesen itt is gyakran vizsgáljuk azt a speciális esetet, amikor t0 = 0 és f0 = 0, vagyis amikor az időmérés kezdete és a mozgás kezdete egybeesik, valamint a tömegpont az x tengelyről indul. Ebben az esetben ugyanis a könnyebben kezelhető
(t) = 0 t + /2 t2
összefüggés adódik.
A mozgás szögsebessége tehát az időben egyenletesen változik, ennek megfelelően lineárisan változik a v(t) = r (t) kerületi sebesség nagyság is, vagyis meghatározható a már definiált centripetális gyorsulás mellett egy, a pályagörbe mindenkori érintőjének irányába mutató, a változás egyenletességéből következően állandó nagyságú gyorsulásösszetevő, amelyet iránya után tangenciális gyorsulásnak nevezünk, nagysága pedig az
at(t) = r (t)
összefüggéssel számítható.
A változó sebességű körmozgás estén a gyorsulás említett komponensekre történő bontásának lehetősége természetesen a tetszőleges térbeli pályagörbén haladó tömegpont esetében is elvégezhető: a tömegpont bármely időpontbeli gyorsulásvektora megadható egy a pályagörbe érintőjével megegyező irányú ( at(t) ), és egy arra merőleges, a pálya görbületi sugarának irányába eső, azaz normális irányú (an(t)) gyorsulásvektor eredőjeként.
Dostları ilə paylaş: |