Kinematika hmotného bodu

Fyzika I - - FBI

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU – přímočaré pohyby

Základní pojmy

Kinematika je část mechaniky, která popisuje pohyb těles, nezkoumá však příčiny pohybu, neuvažuje síly, které tento pohyb způsobují nebo ovlivňují. Kinematika odpovídá pouze na otázku, jak se tělesa pohybují.

Hmotný bod je myšlenkový model tělesa; má hmotnost tělesa, ale neuvažujeme rozměry (padající kámen, míč letící přes hřiště)

• 
  nahrazujeme jím těleso, jehož rozměry a tvar jsou zanedbatelné vzhledem k uvažovaným vzdálenostem pohybu
  
• 
  hmotný bod umísťujeme do těžiště tělesa
  
• 
  náhradu tělesa nelze použít při popisu rotace tělesa
  

Těleso je vůči jinému tělesu v klidu, když vzhledem k němu nemění svou polohu.

Těleso je vůči jinému tělesu v pohybu, když vzhledem k němu mění svou polohu.

Klid nebo pohyb těles nikdy nelze určit jednoznačně Þ musí se určit vztažná soustava, vzhledem ke které se těleso pohybuje, nebo je v klidu. Za vztažnou soustavu nejčastěji volíme povrch Země nebo tělesa pevně spojená s povrchem Země.

Př.: sedíme-li v jedoucím autě, jsme vůči autu v klidu a vůči Zemi v pohybu.

Klid a pohyb těles je pouze relativní. Absolutní klid neexistuje. Pohyb je základní vlastností všech hmotných objektů.
Definujeme-li čas, je stav hmotného bodu - HB určen čtyřmi rozměry: souřadnice x, y, z, čas t.
Polohu HB lze vyjádřit také pomocí polohového vektoru r (jeho počáteční bod leží v počátku soustavy souřadnic a koncový bod v uvažovaném bodě). Velikost polohového vektoru |r| se rovná vzdálenosti hmotného bodu od počátku souřadnic O. Poloha HB se pak udává velikostí vektoru a směrovými úhly, které svírá s osami souřadnic.

 

směrové úhly:

Při mechanickém pohybu prochází hmotný bod postupně různými polohami. Souhrn všech poloh, kterými hmotný bod při pohybu prochází, se nazývá trajektorie hmotného bodu. Je to množina koncových bodů polohového vektoru. Tvar trajektorie závisí na volbě vztažné soustavy. Trajektorie je rovinná nebo prostorová geometrická čára (přímka nebo křivka), kterou HB při pohybu opisuje.

Podle jejího tvaru dělíme pohyby na 1. přímočaré

2. křivočaré

Popis pohybu hmotného bodu

K popisu pohybu HB využíváme tři základní kinematické veličiny: dráhu, rychlost a zrychlení.

Dráha s je délka trajektorie, kterou HB opíše za určitou dobu Þ je funkcí času s = s (t). Udává se v metrech [m].

Mění-li HB polohu v závislosti na čase (viz. obrázek):

body A, B, C, D vyjadřují polohu HB;

vyjádříme-li polohu HB polohovým vektorem, vektory OA, OB, OC a OD vyjadřují polohu HB.

Rychlost v je změna polohy za čas. V praxi rozlišujeme rychlost průměrnou a rychlost okamžitou. Udává se v metrech za sekundu nebo v kilometrech za hodinu [m × s^–1], [km × h^–1].

Okamžitá rychlost v - je vektor, určený pomocí změny polohového vektoru hmotného bodu.

Přesune-li se HB při pohybu za čas Dt z bodu A do bodu A´, jeho polohový vektor se změní o Dr.

Z obrázku vyplývá, že směr vektoru okamžité rychlosti je tečna k trajektorii pohybu, orientace je ve směru změny polohového vektoru.

Velikost okamžité rychlosti v je dána podílem velikosti změny polohového vektoru a časového intervalu, po který změna polohy trvala .

Průměrná rychlost v_p

V praktických úlohách nás mnohdy zajímá především průměrná rychlost v_p. Je to skalární veličina, která je definována jako podíl dráhy s a doby t, za kterou HB tuto dráhu urazí .

Velikost okamžité rychlosti lze pak definovat také jako průměrnou rychlost na velmi malém úseku trajektorie pro velmi malý časový interval.

Podle velikosti okamžité rychlosti rozlišujeme pohyb 1. rovnoměrný (konstantní velikost rychlosti)

2. nerovnoměrný (velikost rychlost se mění)

Zrychlení a je vektorová veličina, která charakterizuje změnu rychlosti HB. Udává se v [m×s^–2].

Má-li HB v bodě A a v čase t rychlost v a v bodě A´ a čase t + Dt rychlost v´, pak se rychlost změní o Dv.

Okamžité zrychlení má směr změny rychlosti Dv.

Velikost okamžitého zrychlení a je dána vztahem

U přímočarého pohybu leží vektor zrychlení a na přímce, po které se hmotný bod pohybuje. Má buď stejný směr jako rychlost v (pohyb zrychlený), nebo opačný směr (pohyb zpomalený).

U křivočarého pohybu rozkládáme vektor okamžitého zrychlení a do dvou na sebe kolmých směrů (tečná a normálová složka).

Vektor a_t se směrem tečny k trajektorii v daném bodě nazýváme tečné zrychlení. Velikost tečného zrychlení vyjadřuje změnu velikosti rychlosti. Je-li a_t = 0, hmotný bod se pohybuje stálou velikostí rychlosti, jde o pohyb rovnoměrný.

Vektor a_n ve směru normály k trajektorii v daném bodě nazýváme normálové zrychlení. Velikost normálového zrychlení vyjadřuje změnu směru rychlosti. Je-li a_n = 0, hmotný bod se pohybuje po přímce, jde o pohyb přímočarý.

Vektor celkové zrychlení je roven vektorovému součtu obou zrychlení

a = a_t + a_n

Známe-li velikost tečného a normálového zrychlení, lze velikost celkového zrychlení vypočítat vztahem:

Pohyby a jejich zrychlení:

POHYB	Tečné zrychlení	Normálové zrychlení	Celkové zrychlení
Rovnoměrný přímočarý	at = 0	an = 0	a = 0
Rovnoměrný křivočarý	at = 0	an ¹ 0	a ¹ 0
Nerovnoměrný přímočarý	at ¹ 0	an = 0	a ¹ 0
Nerovnoměrný křivočarý	at ¹ 0	an ¹ 0	a ¹ 0

Klasifikace přímočarých pohybů

Rovnoměrný přímočarý pohyb

je pohyb, při kterém se na celé trajektorii HB nemění velikost ani směr rychlosti, rychlost zůstává konstantní. Tento pohyb je charakterizován zrychlením a = 0 m/s². Trajektorií je přímka.

Při rovnoměrném přímočarém pohybu se dráha mění přímo úměrně v závislosti na čase. Konstantou úměrnosti je rychlost.

Velikost rychlosti rovnoměrného přímočarého pohybu je daná vztahem , kde s je dráha, kterou urazí hmotný bod za dobu t. Vztah platí za předpokladu, že v čase t = 0 s je dráha hmotného bodu s₀ = 0 m.

graf závislosti rychlosti rovnoměrného přímočarého pohybu na čase

vyšrafovaná plocha je dráha s, kterou HB urazil za čas t

Je-li v čase t = 0 s dráha s₀0 m, pak platí pro dráhu rovnoměrného přímočarého pohybu vztah


graf závislosti dráhy rovnoměrného přímočarého pohybu s počáteční dráhou s₀





v = konst.



Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb

je pohyb, při kterém se velikost okamžité rychlosti za stejné časové intervaly zvětšuje/ zmenšuje o stejnou hodnotu. Směr rychlosti se nemění, mění se jen její velikost. Zrychlení a je nenulové, je rovnoběžné se směrem pohybu. Velikost zrychlení je daná vztahem .

Trajektorií je přímka. Při zpomaleném pohybu je orientace zrychlení proti směru pohybu,
jeho velikost je vzhledem ke směru pohybu záporná.

Rychlost je přímo úměrná času, konstantou úměrnosti je zrychlení.

Velikost okamžité rychlosti hmotného bodu je při nulové počáteční rychlosti přímo úměrná času, platí tedy vztah

Velikost rychlosti HB, který koná rovnoměrně zrychlený/zpomalený pohyb s počáteční rychlostí v₀ a se zrychlením o velikosti a, závisí na čase vztahem

Na horní přímce obrázku je vývoj rychlosti při rovnoměrně zrychleném přímočarém pohybu, na dolní je vývoj rychlosti při rovnoměrně zpomaleném pohybu. Nahoře se velikost rychlosti zvětšuje, dole zmenšuje.

v₀
Na obrázku vlevo jsou dva grafy (přímky):

- závislost rychlosti na čase při rovnoměrně zrychleném pohybu s nulovou počáteční rychlostí vyjadřuje graf ,

- pro nenulovou počáteční rychlost v₀

vyjadřuje graf

Obrázek vpravo znázorňuje graf závislosti rychlosti rovnoměrně zpomaleného pohybu na čase.

Poslední obrázek vpravo znázorňuje opět závislost rychlosti na čase při rovnoměrně zrychleném pohybu s počáteční rychlostí v₀, tentokrát však i se znázorněním dráhy. Vyšrafovaná plocha ve směru ä je dráha, kterou by HB urazil rovnoměrným přímočarým pohybem s rychlostí v₀, plocha vyšrafovaná ve směru ã je dráha, kterou urazí HB rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a a nulovou počáteční rychlostí. Součet těchto dvou ploch je celková dráha rovnoměrně zrychleného pohybu se zrychlením a a počáteční rychlostí v₀.

Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu s nulovou počáteční rychlostí je přímo úměrná druhé mocnině času:

Dráha rovnoměrně zrychleného (zpomaleného) pohybu se zrychlením (zpomalením) o velikosti a a s počáteční rychlostí o velikosti v₀ se v čase mění dle vztahu

Podobně vyjádříme dráhu hmotného bodu, který měl počáteční dráhu s₀

graf dráhy rovnoměrně zpomaleného pohybu; zrychlení a je orientované proti směru počáteční rychlosti v₀

Volný pád

Volný pád je zvláštní případ rovnoměrně zrychleného pohybu s nulovou počáteční rychlostí. Je to pohyb tělesa volně padajícího ve vakuu v blízkosti povrchu Země. Skutečnost, že volný pád je pohyb rovnoměrně zrychlený, prokázal svými pokusy již Galileo Galilei. Zrychlení padajících těles se nazývá tíhové zrychlení a označuje se g. Velikost tíhového zrychlení se poněkud mění se zeměpisnou šířkou a nadmořskou výškou. V naší zeměpisné šířce (v nulové nadmořské výšce) má velikost přibližně g = 9,81 m.s^-2. Dohodou byla stanovena hodnota normálního tíhového zrychlení u hladiny moře na 45° severní šířky g_n = 9,89665 m.s^-2. Volný pád je rovnoměrně zrychlený pohyb se zrychlením g a s nulovou počáteční rychlostí. Velikost okamžité rychlosti závisí na čase vztahem:

,

přičemž rychlost směřuje svisle dolů. Trajektorie volného pádu je část svislé přímky. Dráha závisí na čase vztahem

.

1.První třetinu dráhy projel vlak rychlostí 90 km/h, ve druhé třetině musel kvůli práci na trati zpomalit na 15 km/h, na poslední třetině dráhy mohl zvýšit svou rychlost na 30 km/h. Jaká byla průměrná rychlost vlaku? 27km/h

2.Ze Svinova vyjel směrem na Hranice v 10⁴⁵ nákladní vlak, který se pohyboval stálou rychlostí 36 km/h. V 11¹⁵ vyjel za ním rychlík rychlostí 72 km/h. Kdy a kde dohoní rychlík nákladní vlak? 11⁴⁵;36km

3.Řidič osobního auta, jehož délka je 4,1 m, předjíždí kamión délky 17,9 m jedoucí rychlostí 100 km/h. Začíná předjíždět 13 m za kamiónem a zařadí se před něj v okamžiku, kdy je jejich vzájemná vzdálenost 25 m. Jakou rychlostí musí auto předjíždět, aby tento manévr zvládl během 6 s, jakou dráhu potřebuje k předjíždění? 136km/h;227m

4.Tramvaj jedoucí rychlostí 36 km/h přibrzďuje konstantním zrychlením a = - 0,5 m/s². Brždění trvá 10 s od okamžiku, kdy začala brzdit. Jak dlouhou dráhu během přibrzďování ujede? 75 m

5.Při brždění má automobil záporné zrychlení 5,15 m.s^-2. Za jak dlouho zastaví řidič z počáteční rychlosti 120 km.h^-1? Jakou dráhu k tomu potřebuje? 6,47 s;108 m

6.Rychlík jedoucí rychlostí 120 km.h^-1 brzdí se záporným zrychlením a = - 0,3 m.s^-2. V jaké vzdálenosti musí začít brzdit, má-li ve stanici zastavit? 1,85 km

7.*Vlak jedoucí rychlostí 90 km/h zabrzdí na dráze 900 m. Na jaké dráze zastaví při stejně intenzivním brždění z rychlosti 60 km/h? 400 m

8.*Zrychlení automobilu je takové, že počáteční rychlost 18 km/h ztrojnásobí za 5s. Jaký čas potřebuje na ujetí prvních 150 m? 10s

9.*Ocelový váleček je vypuštěn z klidu po nakloněné rovině, na které se pohybuje se stálým zrychlením 0,5 m/s². Potom přejde na vodorovnou dráhu. Celkově urazí dráhu 20 m za 12 s, ztráty způsobené třením a odporem vzduchu zanedbáváme. Jak dlouho se váleček pohyboval na šikmé dráze? 4s

10.*Vozidlo projede dráhu 30 m s konstantním zrychlením za dobu 3 s. Prvních 15 m své dráhy přitom ujelo za 1 s. Určete zrychlení a počáteční rychlost vozu. 17,5m/s;-5m/s²

11.*Vozidlo se na přímé dráze rozjíždí z klidu s konstantním zrychlením. Po ujetí dráhy 180 m dosáhne rychlosti 20 m/s. Jak dlouho mu trvá, než na uvedené dráze ujede posledních 55 m? 3s

12.**Vypočítejte počáteční rychlost a zrychlení cyklisty, který v páté sekundě ujede 12 m a v desáté sekundě ujede dráhu 16 m? 8,4m/s;0,8m/s²

13.*Ze vzdálenosti 800 m vyjedou současně proti sobě dvě vozidla. První z nich jede počáteční rychlostí 5 m/s se zrychlením 0,5 m.s^-2. Druhé má počáteční rychlost 10 m/s, zrychlení 2 m.s^-2. Určete čas a místo setkání vozidel. 20s;200m;600m

14.Rovnoměrným pohybem po přímé trajektorii by cyklista projel závodní dráhu za 8 min při rychlosti 36 km/h. Za jakou dobu by tuto dráhu urazilo rovnoměrně zrychleným pohybem auto, které rychlosti 36 km/h dosáhne z klidu za čas 100 s? 310s

15.Střela vnikla do dřeva do hloubky 15 cm. Jaká byla její rychlost při dopadu na povrch dřeva, jestliže pohyb střely v dřevěné přepážce trval 0,001 s? Pohyb v dřevě pokládejte za rovnoměrně zpomalený. 300m/s

16.Určete tíhové zrychlení na Měsíci, kde volný pád z výšky 3,2 m trvá 2 s. 1,6m.s^-2

17.*Dvě tělesa padají z různých vzdáleností od povrchu Země, ale na zem dopadnou současně. První těleso padá 2 s, druhé 1 s. V jaké vzdálenosti od země je první těleso v okamžiku, kdy druhé začne padat? 15m

18.*Volně padající těleso dosáhne v bodě A své dráhy rychlosti 40 m/s, v níže položeném bodě B je jeho rychlost 60 m/s. Určete vzdálenost bodů A a B a čas, za který těleso urazilo dráhu mezi body A, a B. 100m;2s

Poslední aktualizace: 22.09.2014