Kesmada uzluksiz funksiyalarning ayrim xossalarini isbotsiz keltiramiz. Teorema

Uzluksiz funksiya 
-maʼlum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL toʻplamda aniqlangan va xoyeYe shu toʻplamning limit nuqtasi boʻlsin. Agar limf(x) = f(x0) boʻlsa, f{x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha jce Ye da hf(x)—f(x^ I Birinchi taʻrif[tahrir | manbasini tahrirlash
Agar lim�→�0�(�)=�(�0) boʻlsa, �(�) funksiya �0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
Demak, �(�) funksiyaning �0 nuqtada uzluksiz ushbu 1) lim�→�0�(�)=� ning mavjudligi, 2)�=�(�0) boʻlishi shartlarining bajarilishi bilan ifodalanadi.
Misollar[tahrir | manbasini tahrirlash]

1. 
   Ushbu �(�)=�4+�2+1 funksiya ∀�0∈� nuqtada uzluksiz boʻladi, chunki lim�→�0�(�)=lim�→�0(�4+�2+1)=�04+�02+1=�(�0)
   
2. 
   Ushbu �(�)=(�����)2={1,�����≠0��′���0,�����=0��′��� funksiyani qaraylik. Ravshanki, ∀�0∈� nuqtada lim�→�0�(�)=1 boʻladi. Demak, qaralyotgan funksiya ∀�0∈�, �0≠0 nuqtada uzluksiz boʻladi. Ammo �(0)=0 boʻlganligi sababli lim�→�0�(�)=�(0) boʻladi. Demak, �(�) funksiya �0=0 nuqtada uzluksiz boʻlmaydi. Funksiya limitning Geyne va Koshi taʻriflariga binoan funksiyaning �0 nuqtadagi uzluksizligini quyidagicha taʻriflash mumkin.
   

Ikkinchi taʻrif[tahrir | manbasini tahrirlash]
Agar �→∞ da ��→�0 boʻladigan ixtiyoriy {��} ketma-ketlik uchun �→∞ da �(��)→�(�0) boʻlsa, �(�) funksiya �0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
Uchinchi taʻrif[tahrir | manbasini tahrirlash]
Agar ∀�>0 son olinganda ham shunday �=�(�)>0 son topilsaki, ∀�∈�⋂��(�0) uchun ∣�(�)−�(�0)∣<� tengsizlik bajarilsa, �(�) funksiya �0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
Odatda, �−�0 ayirma argument orttirmasi, �(�)−�(�0) esa funksiya orttirmasi deyilib, ular mmos ravishda△�  va △� kabi belgilanadi: △�=�−�0, △�=�(�)−�(�0)=�(�0+△�)−�(�0).
Unda funksiya uzluksizligining birinchi taʻrifidagi munosabat ushbu lim△→0△�=0 koʻrinishga keladi.
Demak, munosabatni funksiyaning �0 nuqtada uzluksizligi taʻrifi sifatida qarash mumkin.
Aytaylik, �(�) funksiya �⊂� toʻplamda berilgan boʻlib, �0∈� nuqta X toʻplamning oʻng (chap) limit nuqtasi boʻlsin.
Toʻrtinchi taʻrif[tahrir | manbasini tahrirlash]
Agar lim�→�0+0�(�)=�(�0) (lim�→�0�(�)=�(�0))boʻlsa, �(�) funksiya�0 nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.
Demak, �(�) funksiya �0 nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz boʻlganda funksiyaning oʻng (chap) limiti uning �0 nuqtadagi qiymatiga teng boʻladi: �(�0+0)=�(�0)  (�(�0−0)=�(�0)) .
Keltirilgan taʻriflardan, �(�) funksiya �0 nuqtada ham boʻlganda, ham chapdan bir vaqtda uzluksiz boʻlsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz boʻlishini topamiz.
Umuman, �(�) funksiyaning �0 nuqtada uzluksiz boʻlishi, ∀�>0 berilganda ham unga koʻra shunday �=�(�)>0 topilib, ∀�∈∪�(�0)⊂�⇒�(�)∈∪�(�(�0)) boʻlishini bildiradi.
Beshinchi taʻrif[tahrir | manbasini tahrirlash]
Agar �(�) funksiya �⊂� toʻplamining har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa, �(�) funksiya � toʻplamda uzluksiz deyiladi.
Oltinchi taʻrif[tahrir | manbasini tahrirlash]
�⊂�  toʻplamda uzluksiz boʻlgan funksiyalardan iborat toʻplam uzluksiz funksiyalar toʻplami deyiladi va �(�) kabi belgilanadi.
Masalan, �(�)∈�[�,�] boʻlishi, �(�) funksiyaning [�,�] segmentining har bir nuqtasida uzluksiz, yaʻni �(�) funksiya (�,�) intervalning har bir nuqtasida uzluksiz, � nuqtadan oʻngdan, � nuqtadan esa chapdan uzluksiz boʻlishini bildiradi.