Fermi-dirak va boze-eynsheyn statistikasi

SO’NGI ILMIY TADQIQOTLAR NAZARIYASI 6-JILD 6-SON 
RESPUBLIKA ILMIY-USLUBIY JURNALI 13.06.2023 
415 
Eynshteyn massaga ega bo’lgan fotonlar uchun umumlashtirdi. Bu funktsiya Boze-
Eynshteyn taqsimoti nomi bilan taniqli va 
(4) ko’rinishga ega bo’lib,bu yerda k –Boltsman 
doimiysidir. 
f(E) funktsiya qiymati ye energiyali zarralarni topish ehtimolligi qanday ekanligini 
ko’rsatadi, ya`ni u zarralarning energiya bo’yicha taqsimotini aks ettiradi. 
Boze-Eynshteyn statistikasiga bo’ysunuvchi zarralar bozonlar deb ataladi. (4) ga 
kiruvchi taqsimot parametri 
μ
kimyoviy potentsial deb ataladi. U zarralar kollektivi 
xolatining makroskopik parametrlari, xususan temperatura funktsiyasidir. Fotonlar, 
fononlar, mezonlar va boshqalar bozonlardir. Bozonlar to’lqin funktsiyasi ixtiyoriy 
xolatda simmetrik bo’lib qoladi (1 formula). 
1-rasm. Maksvella-Bol tsman, Boze-Eynshteyn, va Fermi-Dirak taqsimoti egri 
chizig’i. 
Agar sistemadagi zarralar soni doimiy bo’lmasa, u xolda 
μ
q 0 ekanligini ko’rsatish 
mumkin va taqsimot funktsiyasi: 
(4') ko’rinishga keladi. 
Bunday xolat masalan, yopiq bo’shliqda fotonlar kollektivi uchun amalga oshadi. 
Fotonlar uzluksiz xolda bo’shliq devorlari tomonidan yutiladi va nurlanadi, ya`ni 
zarralar soni doimo o’zgarib turadi. 
Boze-Eynshteyn taqsimoti yordamida sistemadagi qancha zarralar n soni ye 
energiyaga ega ekanligini tushuntirish mumkin. Zarralar sonining energiya qiymatiga 
bog’liqligi 1 rasmda ko’rsatilgan va u 
(5) formula bilan ifodalanadi. 

---

SO’NGI ILMIY TADQIQOTLAR NAZARIYASI 6-JILD 6-SON 
RESPUBLIKA ILMIY-USLUBIY JURNALI 13.06.2023 
416 
Ko’rinib turibdiki, klassik zarralarda ham, bozonlarda ham ularning energetik 
xolatdagi soni bir bilan chegaralanmaydi. Bunda xisoblashlar shuni ko’rsatadiki, bir xil 
energiyali ikkita zarrani topish ehtimolligi bitta shunday zarraning paydo bo’lish 
ehtimolligidan katta ekan. Aniq energiyali xolatda bozonning paydo bo’lish ehtimolligi 
ko’rsatilgan energiyali shunday zarralar qanchalik ko’p bo’lsa shunchalik ko’p bo’ladi.
Aniq kvant xolatda bozonning bo’lishi bu xolatda shunday turdagi bozonlarning bo’lish 
ehtimolligini oshiradi. Berilgan xossali sistemaga lazerlar aniq misol bo’la oladi. 
Biroq, Pauli printsipiga bo’ysunuvchi elektronlar va boshqa zarralarning xolati bu 
shartni qanoatlantirmadi. Bunday zarralar uchun italiya fizigi E.Fermi va ingliz fizigi 
P.Dirak yana bir taqsimotni yaratdilar: 
(6) 
(6) munosabat Fermi-Dirak taqsimoti funktsiyasi deb ataladi. Fermionlar uchun 
kimyoviy potentsial 
μ
goxida Fermi energiyasi deb ataladi. Fermi-Dirak statistikasiga 
bo’ysunuvchi zarralar fermionlar deb atalib, ularga elektronlar, protonlar, neytronlar, 
leptonlar, kvarklar kiradi. Fermionlarning to’lqin funktsiyalari doimo antisimmetrikdir. 
Spin kvant sonining mavjudligidan, energiyaning har bir qiymatiga ikkita xolat 
mos kelishi mumkin, bunda zarralar sonining bu zarralar qanday energiyaga ega 
ekanligiga bog’liqligi 
(7) ko’rinishga ega. 
Bu funktsiya rasmda ko’rsatilgan. Ko’rinib turibdiki, ixtiyoriy xolatdagi 
fermionlar soni ikki guruxga bo’linadi- to’ldirilgan va bo’sh xolat. Erkin xolat doimo 
Fermi sathidan yuqorida joylashadi. Sistemaning Fermi energiyasi temperaturaga 
kuchsiz bog’liq. 
Masalan, xona temperaturasida va absolyut nolga yaqin temperaturalardagi Fermi 
energiyasining farqi 0,002% nigina tashkil etadi. Rasmdan ko’rinib turibdiki, Fermi 
sathiga mos keluvchi zarralar soni birga teng, ya`ni sath yarmigacha to’ldirilgan. Bu 
Fermi sathining fizik ma`nosini aks ettiradi-bu sathni to’ldirish ehtimolligi ½ ga teng 
(yoki 50%). YA`ni Fermi sathidan yuqorida joylashgan barcha sathlar bo’sh bo’ladi, 
pastda joylashgan barcha sathlar to’ldirilgan bo’ladi. 
Energetik spektrda doimo energiyaning oraliq xolati mavjud.. Bu sohaning 
kengligi kattaligi bo’yicha bir necha kT ga teng (xona temperaturasida kT ning qiymati 
0,025 eV ga teng). Bu sohada to’ldirilgan sohadan bo’sh sohaga o’tish yuz beradi. 
Bunday temperaturada bunday o’tish keskindir, barcha past sathlar to’ldirilgan bo’lib, 
yuqoridagilari umuman bo’sh bo’ladi. Bu xolda rasmdagi egri chiziq juda keskin 
tushishga ega. 

---