Fea-mandelbrot-mem dvi

Figure 10. A self-affine fractal provides a simple

model for the geometry of a fern.

of Nature and landed a consulting job on stock

options pricing. I concluded, as Mandelbrot had

surmised decades earlier, that the stock price is

not a “random walk”, that complexity and noise

are often indistinguishable, and that complexity

may be modeled by fractals. Market pricing is

essentially deterministic, not random. At that

time, on a daily basis, traders would run their

Black-Scholes models, which assume pricing is a

random diffusion process, and bring the results

to the floor each morning like racing forms at

the horsetrack. They trusted these cheat-sheets to

tell them when to buy and sell. But I was able to

exploit the limitations of the Black-Scholes model

using fractals and made a decent little fortune for

someone who had recently been a poverty-stricken

student.

The notion of “fractals as antennas” occurred

to me in 1987 while attending a lecture by Man-

delbrot. I went home and explored this curious

idea, which has subsequently become a major

theme of my efforts and a field in its own right.

Some years later I saw Benoît again at a fractals-

in-engineering conference. This was finally the

opportunity to converse with him and the first

of several lunch meetings and subsequent phone

conversations in the last dozen years of his life.

No one who had such conversations can forget the

brilliant, witty joy of Benoît the polymath. In par-

ticular, they helped me to realize that Maxwell’s

equations require self-similarity for frequency in-

variance, a fundamental and what should have

been obvious result. Now I see many problems

that benefit from fractals: metamaterials, a new

form of radiative transport, optimization, and

fluid mechanics and drag reduction. I only regret

that I can’t share these with Benoît anymore.

Figure 11. Various pictures constructed from the

orbit of a leaf picture under a system of three

affine transformations. The limit set of the

semigroup is illustrated in red and yellow.

Figure from [2].

Stéphane Jaffard

Parts of Mathematics Are Totally Bathing in

the Ideas That Benoît Introduced

Benoît was one of the first to apply computer

graphics to mathematical objects. He used them to

develop intuitions and to make either discoveries

or deep conjectures.

He also put forward particular entities such

as Mandelbrot cascades, the Mandelbrot set, Lévy

dusts, and so on as beautiful objects, worthy of

study in their own right. At that time, this was

orthogonal to the main direction of mathematics

towards generalizations and abstract structures. I

believe that Benoît’s influence on the mathemat-

ical community was very helpful in that respect:

mathematics was able to admit a down-to-earth

component. Some parts of mathematics are now

totally bathing in the ideas that Benoît introduced.

For example, the idea of scale invariance is every-

where present in the mathematics of signal

processing, my area.

More broadly, the notion of fractal prob-

ability has been one of the most important

unifying concepts in science introduced in the

last fifty years. It has allowed scientists with di-

verse specializations to draw connections between

seemingly unrelated subjects and has created un-

expected cross-fertilizations. This was driven by

the mesmerizing and enthusiastic personality of

Benoît.

Note that fractals are one of the few parts of

mathematics that can be “shown” to the general

Stéphane Jaffard is professor of mathematics at Univer-

sité Paris Est (Créteil Val-de-Marne). His email address is

[e-mail].

1216

Notices of the AMS

Volume

59, Number 9

---

Figure 12. “…[E]ighty students in my fractal geometry course learn in a single class how to generate

the fractals pictured here.…”

public. As a teenager, I was influenced by Benoît’s

fascinating books. They explained a part of math-

ematics that was under construction yet could be

readily understood.

My thesis was on the then-new topic of

“wavelets”. I worked at École Polytechnique under

the supervision of Yves Meyer. Once Benoît visited

École Polytechnique, and he heard that a Ph.D.

student was working on systems of functions that

could be decomposed into elementary blocks,

related inter alia by dilations and translations. He

came to my office, and we had long conversations

about new possibilities offered by wavelet anal-

ysis. For me, this was the start of interactions

which influenced me considerably; it certainly

pushed me towards specializing in multifractal

analysis, a part of fractals where Mandelbrot’s

ideas are prevalent. Our interactions resulted in

two joint papers on Polya’s function, whose graph

is space-filling and multifractal (its Lipschitz

regularity index jumps everywhere). The interest

that Benoît showed in this example, which was

quite forgotten at that time, was typical of his

fascination for beautiful mathematical objects

and the art with which he managed to draw

a correspondence between their mathematical

beauty and their graphical beauty. In all the con-

versations that we shared, I was always amazed

by the uninterrupted flow of original and brilliant

ideas that he very generously shared.

Sir Michael Berry

How to Model…a Surface With No Separation

of Scales

In the early 1970s, I was studying radio-wave

echoes from the land beneath the ice in Antarc-

tica. Existing theories separated the “geography”,

supposedly measured by the start of the echo,

from the “roughness”, indicated by the disorderly

Sir Michael Berry is professor of physics at the Univer-

sity of Bristol, UK. His email address is asymptotico@

physics.bristol.ac.uk.

echo trail. The separation was modelled by a flat

surface (“geography”) superimposed on what was

single-scale randomness (“roughness”), typically

gaussian. I found this not only unappealing but

also scientifically absurd: in a natural landscape,

any apparent dichotomy must be an illusion, an

artifact of the wavelength used to interrogate it.

But how to model, or even describe, a surface with

no separation of scales? I had no idea until I read

Philip Morrison’s review of the English edition of

Mandelbrot’s Fractals: Form, Chance and Dimen-

sion [16]. I cannot remember being so excited by a

book review. It was immediately clear that fractal

dimension was the key idea I needed, and this was

confirmed by the book itself.

Quickly came the identification of a new class of

wave phenomena: “diffractals”, that is, waves inter-

acting with fractal objects. In the echo-sounding

of landscapes, the interaction is mainly reflec-

tion. Later, a grim consequence of an absorption

interaction emerged: we realized that the pro-

longed winter predicted to occur after a nuclear

war, because of the absorption of sunlight by

smoke, would be significantly intensified by the

fact that smoke particles are fractal (it would also

be prolonged, because smoke’s fractality slows

the particles’ fall). From the development of quan-

tum chaology in the late 1970s came a conjecture

about the spectra of enclosures (“drums”) with

fractal boundaries: the “surface” correction to the

“bulk” Weyl eigenvalue counting formula would

scale differently with frequency and depend on

the fractal dimension. This generated considerable

mathematical activity.

In diffractals it is the objects interacting with

the waves, not the waves themselves, that are

fractal. But in some phenomena the wave intensity

is fractal on a wide range of scales down to the

wavelength. One such, unexpected in one hundred

fifty years, is the Talbot effect, associated with light

beyond diffraction gratings whose rulings have

sharp edges: the fractal dimensions of the wave

across and along the beam direction are different.

All this sprang from Benoît Mandelbrot’s insight,

October

2012

Notices of the AMS

1217

---