Fea-mandelbrot-mem dvi

Figure 5. A Julia set associated with the first

cascade of period doubling bifurcations of the

logistic equation. Julia sets for quadratic maps

are intimately related to the Mandelbrot set.

Benoît was one of the first to use computers to

make pictures of mathematical objects:

computations which took hours to run on

expensive mainframes can now be performed in

seconds on handheld devices. This image and

Figures 1 and 13 were computed using free

software (Fractile Plus) on an iPad.

in a systematic fashion. It took many years be-

fore these ideas began to pay off, but that’s how

pioneering mathematics often goes.

The conjecture whose proof so pleased him

(see [3, contribution by Ian Stewart]) was the work

of Gregory Lawler, Oded Schramm, and Wendelin

Werner in their paper “The dimension of the

planar Brownian Frontier is 4/3” [10]. It is part

of the work for which Werner received a Fields

Medal, and it shows that fractals have given rise

to some very deep mathematics. I suspect that

only now are we beginning to see the true legacy

of Mandelbrot’s ideas, with a new generation of

researchers that has grown up to consider chaos

and fractals to be as reasonable and natural as

periodic motion and manifolds. Mandelbrot was

a true pioneer, one of the greatest mathematical

visionaries of the twentieth and early twenty-first

centuries.

David Mumford

Benoît Told Me: “Now You Can See These

Groups and See Teichmüller Space!”

Benoît Mandelbrot had two major iconoclastic

themes. First, that most of the naturally occurring

measurements of the world were best modeled

by nondifferentiable functions, and second, the

histograms of these measurements were best

modeled by heavy-tailed distributions. Even if

he did not bring a new unifying law like Newton’s

David Mumford is emeritus professor of mathematics at

Brown University. His email address is DavidMumford@

brown.edu.

F = ma and even if he did not have the deep and

subtle theorems that make waves in the pure math

community, this vision was revolutionary. What

his lectures made clear was that fractal behavior

and outlier events were everywhere around us,

that we needed to take these not as exceptions but

as the norm. For example, my own work in vision

led me later on to express his ideas about out-

liers in this way: that the converse of the central

limit theorem is true, namely, the only naturally

occurring normal distributions are ones which are

averages of many independent effects.

Benoît’s immediate effect on my work was to

reopen my eyes to the pleasure and mathematical

insights derived from computation. I had played

with relay-based computers in high school and

with analog computer simulations of nuclear reac-

tors in two summer jobs. But at the time I thought

that only white-coated professionals could han-

dle the IBM mainframes and puzzled over what

in heaven’s name my colleague Garrett Birkhoff

meant when I read “x = x + 1” in some of his

discarded code. But Benoît told us that complex

iterations did amazing things that had to be seen

to be believed. These came in two types: the lim-

iting behavior of iterations of a single analytic

function and the limiting behavior of discrete

groups of Möbius transformations. The second of

these connected immediately to my interests. I

was always alert to whatever new tool might be

available for shedding any sort of light on moduli

spaces, whether it was algebro-geometric, topolog-

ical, characteristic p point counting, or complex

analytic. I had sat at the feet of Ahlfors and Bers

and learned about Kleinian groups and how they

led to Teichmüller spaces and hence to moduli

spaces. Benoît told me, “Now you can see these

groups and see Teichmüller space!”

I found an ally in Dave Wright, learned C, and

with Benoît’s encouragement, we were off and

running. When he returned to his position at the

IBM Watson Lab, he set up a joint project with us,

and we visited him and his team there. Later, Curt

McMullen, who also appreciated the power and

insight derived from these experiments, joined

us. It turned out that, in the early hours of the

morning, their mainframes had cycles to spare,

and we would stagger in each morning to see what

these behemoths had churned out. There was no

way to publish such experiments then, but Dave

and I astonished the summer school at Bowdoin

with a live demo on a very primitive machine of

a curvy twisting green line as it traced the limit

point set of a quasi-Fuchsian group. Ultimately,

we followed Benoît’s lead in his Fractal Geometry

of Nature [18] and, with Caroline Series, published

our images in a semipopular book, Indra’s Pearls

[27]. One anecdote: We liked to analyze our figures,

1212

Notices of the AMS

Volume

59, Number 9

---

estimating, for example, their Hausdorff dimen-

sion. We brought one figure we especially liked to

Watson Labs and, thinking to test Benoît, asked

him what he thought its Hausdorff dimension was.

If memory serves, he said, “About 1.8”, and indeed

we had found something like 1.82. He was indeed

an expert!

Hillel Furstenberg

He Changed Fundamentally the Paradigm

with Which Geometers Looked at Space

Let me begin with some words of encouragement

to you on this project, dedicated to memorializing

an outstanding scientist of our times and one we

can be proud of having known personally.

What do you see as Benoît’s most important con-

tributions to mathematics, mathematical sciences,

education, and mathematical culture?

Benoît Mandelbrot sold fractals to mathemati-

cians, changing fundamentally the paradigm with

which geometers looked at space. Incorporating

fractals into mainstream mathematics rather than

regarding them as freakish objects will certainly

continue to inspire the many-sided research that

has already come into being.

Kenneth Falconer

It Was Only on the Fourth or Fifth Occasion

That I Really Started to Appreciate What He

Was Saying

Benoît’s greatest achievement was that he changed

the way that scientists view objects and phenom-

ena, both in mathematics and in nature. His

extraordinary insight was fundamental to this,

but a large part of the battle was getting his ideas

accepted by the community. Once this barrier was

broken down, there was an explosion of activity,

with fractals identified and analyzed everywhere

across mathematics, the sciences (physical and

biological), and the social sciences.

Benoît realized that the conventional scien-

tific and mathematical approach was not fitted

to working with highly irregular phenomena. He

appreciated that some of the mathematics needed

was there—such as the tools introduced by Haus-

dorff, Minkowski, and Besicovitch—but was only

being used in an esoteric way to analyze spe-

cific pathological sets and functions, mainly as

Hillel Furstenberg is professor of mathematics at Bar-

Ilan University, Israel. His email address is harry@math.

huji.ac.il.

Kenneth Falconer is professor of pure mathematics at the

University of St. Andrews in Scotland. His email address is

[e-mail].

Figure 6. A self-similar fractal of Hausdorff

dimension (4ln2)/ln5 ≐ 1.72

(4ln2)/ln5 ≐ 1.72

(4ln2)/ln5 ≐ 1.72 associated with the

pinwheel tiling.

counterexamples that illustrated the importance

of smoothness in classical mathematics.

Benoît’s philosophy that such “fractal” objects

are typical rather than exceptional was revolu-

tionary when proposed. Moreover, he argued that

the mathematical and scientific method could

and should be adapted to study vast classes

of fractals in a unified manner. This was no

longer mathematics for its own sake, but math-

ematics appropriate for studying all kinds of

irregular phenomena—clouds, forests, surfaces,

share prices, etc.—that had been ignored to a

large extent because the tools of classical smooth

mathematics were inapplicable.

Benoît also realized that self-similarity, broadly

interpreted, was fundamental in the genesis, de-

scription, and analysis of fractals and fractal

phenomena. Given self-similarity, the notion of di-

mension is unavoidable, and “fractal dimension”

in various guises rapidly became the basic mea-

sure of fractality, fuelling a new interest in the

early mathematics of Hausdorff, Minkowski, and

others.

Benoît had many original ideas, but his presen-

tation of them did not always follow conventional

mathematical or scientific styles, and as a result it

often took time for his ideas to be understood and

sometimes even longer for them to be accepted.

A case in point is that of multifractal measures.

Multifractals are, in many ways, more fundamen-

tal than fractal sets. Many of the now standard

notions of multifractals may be found in his 1974

paper in the Journal of Fluid Dynamics [14], but

this is not an easy paper to fathom, and it was not

until the 1980s that the theory started to be ap-

preciated. Benoît suggested that “the community

was not yet ready for the concept,” but I think the

delay was partly because of the way the ideas were

presented. I heard Benoît’s talk on multifractals

many times in the 1980s; he was charismatic, but

his explanations were such that it was only on

the fourth or fifth occasion that I really started to

appreciate what he was saying.

October

2012

Notices of the AMS

1213

---