Fea-mandelbrot-mem dvi

Figure 7. The left-hand picture illustrates the

points in the orbit of a set; the flower picture at

center left, under a Möbius transformation. The

picture at center right reveals that it is a “tiling”,

where the initial tile is shown on the right.

Mandelbrot caused many to look anew at natural

objects in geometrical terms. Figure from [2].

I am one of many whose life and career have

been influenced enormously by Benoît and his

work, both directly and indirectly. We miss him,

but the legacy of his ideas and work will remain

with us all and with those who follow.

Bruce J. West

The Intermittent Distribution of the Stars in

the Heavens

Benoît’s idiosyncratic method of communicat-

ing mathematical ideas was both challenging

and refreshing. The introduction of geometri-

cal and statistical fractals into the scientific

lexicon opened up a new way of viewing na-

ture for a generation of scientists and allowed

them to understand complexity and scaling in

everything from surface waves on the ocean to the

irregular beating of the heart to the sequencing

of DNA. This accelerated the early research done

by biologists, physicians, and physicists on the

understanding of complex phenomena.

The line between what was proven and what

was conjecture in Benoît’s work was often ob-

scure to me, but in spite of that, or maybe even

because of that lack of clarity, I was drawn into

discussions on how to apply the mathematics

of fractals to complex phenomena. Fractals be-

gan as descriptive measures of static objects,

but dynamic fractals were eventually used to de-

scribe complex dynamic phenomena that eluded

description by traditional differential equations.

Culturally, fractals formed the bridge between

the analytic functions of the nineteenth- and

twentieth-century physics of acoustics, diffusion,

wave propagation, and quantum mechanics to the

Bruce J. West is adjunct professor of physics at Duke Uni-

versity. His email address is [e-mail].

twenty-first-century physics of anomalous diffu-

sion, fractional differential equations, fractional

stochastic equations, and complex networks.

Benoît identified some common features of

complex phenomena and gave them mathemati-

cal expression without relying on the underlying

mechanisms. I used this approach to extract the

general properties of physiological time series,

which eventually led to the formation of a new

field of medical investigation called Fractal Phys-

iology, the title of a book [28] I coauthored in

1995 and the subject of an award-winning book

[29] on the fractional calculus. Later, in 2010, I be-

came founding editor-in-chief of the new journal

Frontiers in Fractal Physiology, which recognizes

the importance of fractal concepts in human

physiology and medicine.

I first met Benoît when I was a graduate student

in physics at the University of Rochester. Elliott

Montroll, who had the Einstein Chair in Physics

and who had been a vice president for research

at IBM, was friends with Benoît and would invite

him to come and give physics colloquia. In the

late 1960s, before the birth of fractals, I heard

Benoît conjecture as to why the night sky was

not uniformly illuminated because of the inter-

mittent distribution of stars in the heavens, why

the price of corn did not move smoothly in the

market but changed erratically, and why the time

between messages on a telephone trunkline were

not Poisson distributed as everyone had assumed.

These problems and others like them struck me

as much more interesting than calculating per-

turbation expansions of a nuclear potential. So

I switched fields and became a postdoctoral re-

searcher in statistical physics with Elliott. I have

interacted with many remarkable scientists, and

Benoît is at the top of that list. I am quite sure

that my decision to change fields was based in

large part on Mandelbrot’s presentations and the

subsequent discussion with him and Montroll.

Marc-Olivier Coppens

Engineering Complexity By Applying

Recursive Rules

As a chemical engineering researcher who worked

with Benoît since the middle of the 1990s, I

benefited a lot from his mentorship. I also miss

him a lot as a friend. In 1996, while completing my

Ph.D. thesis, I worked closely with him for several

months at Yale, sharing an office with Michael

Frame. I developed, with Benoît, a new way to

Marc-Olivier Coppens is professor and associate direc-

tor of the Multiscale Science and Engineering Center,

Rensselaer Polytechnic Institute. His email address is

[e-mail].

1214

Notices of the AMS

Volume

59, Number 9

---

Figure 8. A right-angle Sierpinski triangle. Benoît

realized that such objects were not freaks and

belonged in mainstream mathematics. Analysis

on

fractals is now a fascinating area of

mathematics.

generate multifractals by taking the product of

harmonics of periodically extended functions.

Fractals in chemical engineering have affected

the modeling and characterization of various

porous materials. As Mandelbrot liked to say

in later years, fractals are an ideal way to mea-

sure “roughness”, and roughness is prevalent in

chemical engineering and materials science. The

roughness of porous media affects transport and

reactions in them and hence has a significant im-

pact on chemical engineering. For example, in my

thesis I showed how molecular-scale roughness

of porous catalysts influences chemical product

distributions up to industrial scales.

In my research I have used fractal trees to

interpolate efficiently between the micro- and

the macroscale, as in nature. Scaling up from

the laboratory to the production scale requires

preservation of small-scale, controlled features

up to larger scales. This challenge is met by

distributing or collecting fluid in a uniform way,

as is realized by scaling fractal architectures in

nature, such as trees, lungs, kidneys, and the

vascular network. Specifically, I proposed a fractal,

treelike injector to uniformly distribute fluids over

a reactor volume, so that the fluids can mix and

interact with the reactor contents. This patented

fractal injector has proven very efficient for gas-

solid fluidized beds. My laboratory is currently

developing a fractal fuel cell design, inspired by

the structure of the lung.

Benoît has had a major influence on my think-

ing. To a large extent, thanks or due to the advance

Figure 9. An invariant measure on a fractal

attractor of a system of three similitudes has

here been rendered in shades of green. (Bright

green =

=

= greater “density”, black=least “density”.)

of massively parallel, high-performance comput-

ers, chemical, biological, and materials sciences

are increasingly atomistic, deconstructing and

constructing matter out of individual elements in

which the details of each component and its inter-

actions are more and more explicitly accounted

for. This atomistic treatment is very powerful and

facilitates the study of specific properties of mat-

ter. However, sometimes the importance of the

forest tends to be lost in looking too closely at one

tree. The complementary, holistic view is, in my

opinion, extremely powerful as well, as it allows us

to see essential features in a phenomenon without

the need to resolve every detail. Fractals are an

example of this idea, where complexity emerges

from the combination of simple rules. A marriage

between the holistic and atomistic views can lead

us beyond the deficiencies of each one separately.

Nathan Cohen

Complexity Was Well Modeled by Fractals

Mathematicians spar in an uncomfortable match

between the pure and applied, in which migration

from one to the other is one way, and no one is

allowed to do both. But Benoît Mandelbrot did.

My interest in fractals stems from needing to

solve real-world problems. In 1985 I was a newly

minted Ph.D. in Cambridge (MA). There the general

view was that fractals were a “flavor” of the month,

and they were treated as an a posteriori paradigm

with no evidence of solving problems unsolved

in other ways. But I read The Fractal Geometry

Nathan Cohen is the founder of Fractal Antenna Systems,

Waltham, Massachusetts. His email address is ncohen@

fractenna.com.

October

2012

Notices of the AMS

1215

---