Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA
Yüklə 5,01 Kb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Лемма 1 [12].
- Теорема 8 [12].
- 3. Однородная задача Римана в классах Morrey-Hardy
26 Говорят, что кривая удовлетворяет условию arc - chord в точке 0 0 s t t , если существует константа 0 m , независящая от t , такая, что 0 0 s t s t m s s , s t . удовлетворяет условию arc - chord равномерно на , если t s t t s t m s m , , : 0 . Приведем следующую лемму из работы [12], которая представляет также самостоятельный интерес. Лемма 1 [12]. Пусть ограниченная, спрямляемая кривая. Если степенная функция 0 0 , t t t , принадлежит пространству p L p 1 , , , 1 0 , то имеет место p . Если карлесонова кривая, то это условие и достаточно. Существенно будем пользоваться следующей теоремой из работы N. Samko [12]. Теорема 8 [12]. Пусть кривая удовлетворяет arc - chord условию, и вес определен выражением j i m k m k k t t t t t t k , , 1 1 при j i . (4) Сингулярный оператор S ограничен в весовом пространстве p L p 1 , , , 1 0 , если выполнены неравенства m k p p k , 1 , 1 . (5) Более того, если является гладкой в некоторых окрестностях точек k t , m k , 1 , то выполнения неравенства (5) являются необходимыми для ограниченности оператора S в , p L . Совершенно аналогично работе [11] определим пространство , p L . Обозначим через , ~ p L линейное подпространство , p L функций, сдвиги которых непрерывны в , p L , т.е. 0 , p L f f , при 0 . Замыкание , ~ p L в , p L обозначим через , p L . В дальнейшем в качестве будем взять единичную окружность . Рассмотрим весовое пространство , , : p p L L . Пусть вес удовлетворяет условию (5). Тогда по Теореме 8 оператор S ограничен в , p L , т.е. 0 c : , , , , p L L L f f C f S p p . Покажем, что , p L является инвариантным подпространством относительно сингулярного оператора S , если выполнены неравенства (5). Совершенно очевидно, что достаточно доказать непрерывность сдвига S . Возьмем R и рассмотрим i i e d f i e f S 2 1 . Имеем 27 i i i i i e e d e e f i e f S 2 1 . 2 1 d e f i i Учитывая это соотношение получаем d f e f i f S e f S i i 2 1 f e f S i . Пусть , p L f . Тогда из Теоремы 8 [12] непосредственно следует , p L i f S e f S , p L i f e f S 0 , 0 , p L i f e f C . Таким образом, справедлива следующая Теорема 9. Пусть весовая функция определена выражением (4), где . Если выполнены неравенства (5), то сингулярный оператор S ограничено действует в , p L . Пусть I некоторый интервал, и I L f p , , I L g q , , где здесь и далее . 1 1 1 q p Имеем , 1 1 1 0 , 1 sup fg I dt fg r I dt fg x I r I x I r , где I лебегово мера I , r x r x I x I r , . Применив неравенство Гельдера из предыдущего неравенства, получаем p x I p r I x I r dt f r I dt fg 1 1 0 , 1 sup p x I p r I x q x I q r r dt f r I dt g r 1 1 0 , 1 1 1 sup q x I q r I x r dt g r 1 1 0 , sup , , 1 q p g f I . Итак, справедлива следующая Лемма 2. Пусть I L g I L f q p , , , 1 1 1 q p , , 1 p . Тогда справед- ливо следующее неравенство Гельдера , , 1 , 1 1 1 q p L g f I fg I fg . При последующих рассуждениях часто используется следующая Лемма 3. Пусть t g t f , п.в. , t . Тогда , , p p L L g f . При получении основного результата нам понадобится также следующая лемма, которая непосредственно следует из Леммы 1 [12]. Лемма 4. Конечное произведение k k k t t принадлежит пространству , p L , если выполнены неравенства k p k , , где 1 0 , p 1 . 3. Однородная задача Римана в классах Morrey-Hardy Рассмотрим следующую однородную задачу Римана в классах , , ; p m p H H : Yüklə 5,01 Kb. Dostları ilə paylaş:
|