Elektrodinamika bsc ci laTeX

7. 7 Elektromágneses hullámok

Felírjuk a teljes Maxwell-egyenletrendszert töltés és áram nélküli szabad térben, j 0, 0.

Keresünk a triviálistól (E 0, B 0) különböző megoldást. Képezzük az első egyenlet rotációját:

innen divB 0 miatt

Hasonlóan levezethető, hogy

Ezek a szabad vagy homogén hullámegyenletek. Vektoregyenletek, E vagy B mindhárom derékszögű komponensére ilyen egyenlet érvényes. Speciális megoldásokat keresünk.

E(r, megoldása az egyenletnek, ha állandó, n tetszőleges egységvektor, argumentumának tetszőleges függvénye. A bizonyítás az egyenletbe való behelyettesítéssel történhet. Az ilyen megoldást síkhullám megoldásnak nevezzük.

Miért síkhullám? Tegyük fel a következő kérdést: hol vannak a térben azok a pontok, amelyekben egy adott időpontban E ugyanazt az értéket veszi fel? Biztosan ugyanaz lesz E értéke azokban az r helyzetvektorú pontokban, amelyekre teljesül, hogy állandó. Minthogy állandó, ehhez nr állandó kell teljesüljön, ami egy az n vektorra merőleges sík egyenlete. Természetesen előfordulhat, hogy különböző n-re merőleges síkokban E ugyanazt az értéket veszi fel.

Tegyünk fel egy újabb kérdést: hol vannak a térben azok a pontok, amelyekben időpontban E ugyanazt az értéket veszi fel, mint amit felvett a időpontban az előző síkon. Ez azokra az r r helyzetvektorú pontokra teljesül, amelyekre

Innen , ez pedig azt jelenti, hogy a két sík távolsága . Most tudtuk meg, hogy a Maxwell-egyenletekben szereplő állandó az elektromágneses hullámok terjedési sebessége. Az argumentumában álló n vektor a síkhullám terjedési iránya.

Hasonlóképpen belátható, hogy E(r, is megoldása a szabad hullámegyenletnek, ez a gömbhullám megoldás. Az indoklás az előzőekhez hasonlóan történhet. A előjel egy pontból kifutó, a előjel befutó hullámot jelent.

Mivel a hullámegyenlethez a Maxwell-egyenlet differenciálásával, nem azonos átalakítással jutottunk, meg kell győződnünk arról, hogy a megoldás a Maxwell-egyenleteket is kielégíti. Vizsgáljunk egy , elektromágneses síkhullámot. A divE 0 és divB 0 egyenletekbe való behelyettesítés arra vezet, hogy En 0 és Bn 0 kell teljesüljön, azaz E és B merőleges kell legyen az n terjedési irányra, ezek transzverzális hullámok. Bármelyik rotációs egyenletbe való behelyettesítés azt adja, hogy B , azaz E és B egymásra is merőleges kell legyen.

Az ilyen transzverzális hullámban az energiasűrűség,

az energiaáramsűrűség, cun, az energiaszállítás iránya tehát a terjedési irány. Megjegyezzük, hogy most az üres térben terjedő elektromágneses hullámokat vizsgáltuk, ezekre érvényesek az állítások. Vannak longitudinálisak elektromágneses hullámok is, hullámvezetőkben (drótokban) ilyenek is terjedhetnek.Ilyenkor a vezető felületén érvényes határfeltétel miatt az ( amplitúdó nem állandó, a divergenciás egyenletekbe való behelyettesítésnél ezeket is deriválni kell, ezért a hullámok nem feltétlenül transzverzálisak.

A vezetőben terjedő elektromágneses hullámok leírására az első Maxwell-egyenlet rot H alakja alkalmas, a vezetőben . Feltételezzük, hogy a közegre a B H, D E anyagi egyenletek érvényesek, és azt, hogy 0. A vákuumbeli hullámegyenletek levezetéséhez hasonlóan most a

ún. távíró-egyenletekre jutunk. 0 esetén a dielektrikumokban érvényes hullámegyenleteket kapjuk, a terjedési sebesség ott .

A periodikus síkhullám megoldás (a komplex írásmódról részletesebben lesz szó a síkhullámok potarizációjának tárgyalásánál):

itt , a vezető extinkciós együtthatója, . Ezek a síkhullámok transzverzálisak (a megoldás végtelen vezető közegben érvényes), E és B merőleges egymásra, fáziskülönbség van közöttük, ami jó vezetőre és nem túl nagy frekvenciára 45 fok. Hallgatólagosan feltételeztük, hogy a frekvenciától független állandó, túl nagy frekvenciánál ez sem igaz. Ebben a viszonylag egyszerű elméletben a szigetelők átlátszóak, mert 0 esetén 0, a vezetők nem átlátszóak, mert vezetőre 0. Ezzel szemben a jó szigetelő ebonit nem átlátszó, a jó vezető konyhasó oldat átlátszó. Az ellentmondás legfőbb oka az, hogy a látható frekvenciatartományban nem független a frekvenciától.

A vezetőben haladó elektromágneses hullám amplitúdója exponenciálisan csökken, a csillapodás frekvenciafüggő. A hullám hatására meginduló áram hőt fejleszt, ez fogyasztja az elektromágneses tér energiáját.

Foglalkozzunk a síkhullámok polarizációjával! A szabad hullámegyenlet periodikus síkhullám megoldása komplex írásmódban: kr). A térmennyiségek valós függvényekkel leírhatók, a komplex írásmódot csak technikai egyszerűsítés céljából használjuk. Minden kifejezés, egyenlet felbontható valós és képzetes részre, fizikai jelentést a valós résznek tulajdonítunk. Komplex írásmódban az amplitúdó is lehet komplex. Legyen a hullám terjedési iránya a -tengely,

k (0,0,, ( kz)-t jelöljük -val. A síkhullám általános alakja valós írásmódban:

az fáziseltolódás onnan származik, hogy is lehet komplex. Az , egyenletpár valamilyen görbe paraméteres egyenlete az (, síkon. Négyzetreemeléssel és összeadással a következő egyenletre juthatunk:

ez kúpszelet egyenlete. A kvadratikus alak determinánsa (1 cos 0, tehát a kúpszelet ellipszis ( esetén egyenespár). Azt mondhatjuk, hogy az elektromágneses síkhullám általában elliptikusan polarizált. (Vigyázat: kísérleti fizika kollokviumon megkérdezhetik, hogyan állítható elő elliptikusan polarizált fénysugár. Erre nem szabad azt felelni, hogy nem kell semmit csinálni, mert az magától elliptikusan polarizált. A fénysugár ugyanis véges hullámvonulatokból áll, az állítás az ilyen hullámvonulatokra érvényes. Az egymás utáni hullámvonulatokban a térerősség általában különböző ellipsziseken fut körbe, erre azt mondjuk, hogy a fénysugár polarizálatlan.) Két speciális eset érdemel figyelmet:

1. 
   , ahol egész szám. Ekkor , , és így (, azaz , ami egyenespár egyenlete, ez a lineáris polarizáció.
   
2. 
   , ahol egész szám., és . Ekkor , , és így , ami kör egyenlete, ez a cirkuláris polarizáció.
   

Az síkhullám felírható kr) alakban, e a k-ra, a terjedési irányra merőleges egységvektor, a polarizációvektor, komplex szám. Ha e állandó, akkor a térerősség mindig állandó irányba mutat, az ilyen síkhullám lineárisan polarizált. Legyen és k-ra és egymásra merőleges két egységvektor. A k irányba terjedő legáltalánosabb síkhullám

alakban írható fel, és komplex szám. Ha fázisuk megegyezik, akkor a síkhullám lineárisan polarizált, polarizációvektora / szöget zár be -gyel, a térerősség nagysága . Ha a fázisok különbözőek, akkor a síkhullám elliptikusan polarizált. Ha és nagysága megegyezik, fázisuk különbsége , akkor a polarizáció cirkuláris, a térerősség

alakú, valós. , , k feszítse ki az x,y,z koordinátarendszert, ekkor

, . Látható, hogy adott pontban az állandó nagyságú térerősség körfrekvenciával forog, jobbra, ill. balra cirkulárisan polarizált síkhullámról beszélünk. E kétféle cirkuláris polarizációjú hullám szuperpozíciójaként is leírhatjuk a k irányba terjedő legáltalánosabb síkhullámot,

(e ie, és komplex számok.

Levezetjük a két különböző dielektrikum sík határfelületén bekövetkező fénytörés és visszaverődés törvényeit. Legyen

a terjedés irányába mutató egységvektorok az ábra szerinti koordinátarendszerben

A két közeget elválasztó felületen határfeltételek érvényesek. Feltéve, hogy nincsenek valódi felületi töltések és áramok, 0-nál

Esetünkben az első egyenlet alakú, ehhez jön még a további hasonló három egyenlet. Ezek a határfeltételek a felület (végtelen) sok pontjában, (végtelen) sok időpontban teljesülnek, ami csak úgy lehetséges, hogy E, , térbeli és időbeli változása 0-nál azonos, a fázistényezők megegyeznek:

Ezekből az egyenlőségekből az r vektor koordinátáinak megfelelő választásával kaphatók meg a törés és visszaverődés kinematikai törvényei:

1. ( választással), a körfrekvenciák megegyeznek. A beeső és a visszavert sugár ugyanabban a közegben terjed, ezért .

2. A k, , hullámszámvektorok egy síkban vannak. ( választás arra vezet, hogy .)

3. . Mivel , ezért , a beesési szög egyenlő a visszaverődési szöggel. A második egyenlőségből

bevezettük az , törésmutatókat és a 2-es közegnek az 1-es közegre vonatkoztatott relatív törésmutatóját. Ez a Snellius-Descartes-törvény. Érdemes megjegyezni, hogy a kinematikai törvények levezetéséhez nem kellett felhasználni a határfeltételek explicit alakját csak azt, hogy vannak határfeltételek.

A 2-es közegben a térerősség

A Snellius-Descartes-törvényből

( a képzetes egység). Ha , azaz a fénysugár optikailag sűrűbb közegből optikailag ritkább közegbe megy át, akkor esetén

Ez a teljes visszaverődés, jellemzői az -tengely mentén (a határfelülettel párhuzamos irányban) terjedő síkhullám és a -tengely menti (a határfelületre merőleges irányú) exponenciális csökkenés.

A törés és visszaverődés dinamikai törvényei, amelyek a felületen átjutó, ill. visszavert energiamennyiség számítására nyújtanak lehetőséget, a határfeltételek konkrét alakjából következnek. Az exponenciálisokkal a fázisok egyenlősége következtében egyszerűsíteni lehet. Feltételezve, hogy mindkét közegre teljesülnek a

anyagi egyenletek, mind a négy határfeltétel kifejezhető az elektromos térerősségekkel, n a határfelület normális egységvektora:

Tetszőleges polarizációjú síkhullám előállítható két, egymásra merőleges lineáris polarizációjú síkhullám megfelelő lineáris kombinációjaként. Legyen most az egyik olyan, amelynek polarizációvektora merőleges a k és az n vektorok által kifeszített beesési síkra, a másik olyan, amelynek polarizációvektora párhuzamos ezzel a síkkal. Tekintsük először az első esetet, ekkor az első és a negyedik határfeltétel szerint

A harmadik határfeltétel automatikusan teljesül, a második a Snellius-Descartes-törvény felhasználásával beláthatóan ugyanazt adja, mint az első. A két egyenlet megoldása a következő:

A második esetben hasonló gondolatmenettel a következő végeredményre jutunk:

Az első egyenlőségből következik, hogy a beesési síkkal párhuzamos polarizáció esetén a beesési szögnek van egy olyan értéke, amelynél nincs visszavert hullám, ez a Brewster-szög. Speciálisan, esetén tg. A Snellius-Descartes-törvényt felhasználva megmutatható, hogy ekkor .

Speciális esetben, merőleges beesésnél (), olyan közegeknél, amelyekre

Az időre (egy periódusra) átlagolt áramsűrűségvektorok nagysága:

az szorzótényező az időátlagolás következménye. Definiáljuk az visszaverődési és a visszaverődési együtthatót:

ezek az ún. Fresnel-formulák.

Mi történik akkor, ha két síkhullám találkozik? Létrejöhet az interferencia. Az , szuperpozíciók megoldásai a Maxwell-egyenleteknek, de az intenzitásmérő adatok, az energiasűrűség és az S energiaáramsűrűség nem adódnak össze. Ezeket összefoglalóan -vel jelölve: , ahol ez utóbbi az interferencia-tag (felhasználtuk, hogy síkhullámban B kifejezhető E-vel). Pillanatnyi interferencia általában van, de nem észleljük, mert nagyon gyorsan változik. Észlelhető tartós interferencia akkor jön létre, ha , az interferencia-tag időátlaga különbözik nullától. Ennek három feltétele van:

1. A síkhullámok frekvenciája meg kell egyezzen: . A periodikus síkhullámok időfüggése: cos , cos . A szorzat gyorsan változik, nagyon sűrűn 0, időátlaga annál kisebb, minél nagyobb időtartamra átlagolunk. Ha viszont , akkor cos, aminek időátlaga .

2. A második feltétel geometriai jellegű. Az interferencia tag, , így ha a két térerősség minden pillanatban merőleges egymásra, akkor sem tartós, sem pillanatnyi interferencia nincs. Pl. egy irányban terjedő, egymásra merőlegesen lineárisan polarizált hullámok nem interferálnak.

3. A harmadik az ún. koherencia-feltétel. A komplex írásmódban felírt térerősség tartalmaz egy exp( tényezőt. A fényforrások általában véges hullámvonulatokat bocsájtanak ki, ezek fázisállandója rendszertelenül ingadozik. Ha a találkozó síkhullámok fázisállandóinak különbsége nem állandó, akkor az időátlagolás 0-t eredményez, nincs tartós interferencia. Ha egy fényforrás által kibocsájtott hullámot szétválasztunk, majd újra egyesítünk, akkor ez a probléma nem lép fel. Azt mondjuk, hogy az ilyen hullámok koherensek. Vannak olyan fényforrások (lézer, mézer), amelyek szintén koherens hullámokat bocsájtanak ki, így létrejöhet tartós interferencia.