4-Modul: Tekis kesim yuzalarining geometrik xarakteristikalari

5.2. Tekis kesimlarning inerstiya momentlari.

Tekis kesimning inerstiya momentlari o’qqa nisbatan (ekvatorial), qutb va markazdan qochma bo’lishlari mumkin.

Tekis kesimning (5.4-shakl) biror o’qqa nisbatan (ekvatorial) inerstiya momenti deb, tashkil qiluvchi elementar yuzachalarning ulardan tegishli o’qqacha masofalar kvadratlarining ko’paytmalarining butun yuza bo’yicha yigindisiga aytiladi:
m⁴ ,sm² (5.6)
Tekis kesimning qutb inerstiya momenti deb, tashkil qiluvchi elementar yuzachalarning ulardan koordinata boshigacha (qutbgacha) masofalar kvadratlariga ko’paytmalarining butun yuza bo’yicha yigindisiga aytiladi:
. m⁴ ,sm⁴ (5.7)
Pifagor teoremasiga asosan


r²=y²+x².
buni (5.7)ga qo’ysak

(5.8)
Demak o’zaro perpendikulyar ikki o’qqa nisbatan inerstiya momentlar yigindisi shu o’qlar
kesishgan nuqtaga (koordinata boshiga) nisbatan qutb inerstiya momentiga teng.
Tekis kesimning markazdan qochuvchi inerstiya momenti deb. Tashkil qiluvchi elmentar yuzachalarning ulardan tegishli o’qlargacha masofalarga (koordinatalarga )ko’paytmalarini
m⁴,sm⁴ (5.9)


5.5-shakl 5.6-shakl
Yuqoridagilardan ko’rinadiki, inerstiyani momentlarining barcha turlari uzunlik o’lchovining to’rtinchi darajasi bilan o’lchanadi. m⁴,sm⁴
Bundan tashqari o’qqa nisbatan (ekvatorial) va kutub inerstiya momentlari doimo musbat ishorali, markazdan qochuvchi inerstiya momentlari esa o’qlar vaziyatiga qarab, (+) musbat yoki (-) manfiy ishorali va nolga teng bo’lishi mumkin.(5.5)
Shaklning ogirlik markazi orqali o’tadigan o’qlari markaziy o’qlar, markaziy o’qlarga nisbatan inerstiya momentlari markaziy inerstiya momentlari deb yuritiladi.
Simetrik shakllarning markazdan qochuvchi inerstiya momenti doimo”0”ga teng bo’ladi. Masalan: (5.6-shakl.)

5.3. Parallel o’qlarga nisbatan inerstiya momentlari

orasidagi munosabat


5.7 - shakl
Aytaylik tekis kesimning markaziy x va y o’qlarga nisbatan inerstiya momentlari J_x,J_y, J_xy ma’lum bo’lsin. Markaziy o’qlarga parallel va ulardan ixtiyoriy va asofalardan o’tuvchi yangi x₁ va u₁ o’qlarga nisbatan ekvatorial va markazdan qochuvchi inerstiya momentlarni aniqlaymiz.(5.7 – shakl).
Koordinata o’qlari x₁ va u₁ sistemasida ajratilgan elementar yuzachaning koordinatalari quyidagiga teng bo’ladi
x₁= x+ v
u₁=u+ bo’ladi.
Koordinata o’qlari x₁ ga u₁ nisbatan inerstiya momentilarini (5.6 formulalarga asosan) aniqlaymiz.

bu erda:
ni ifodalaydi, , o’zgarmas bo’lgani uchun,
ga teng
chunki u markaziy o’qqa nisbatan
U holda,(5.6)ni 2 chi siga asosan yuqoridagi ishlarni bajarib quyidagi formulani hosil qilamiz
(5.10)
Demak, markaziy o’qqa parallel o’qqa nisbatan inerstiya momenti markaziy o’qqa nisbatan inerstiya momenti bilan kesim yuzining o’qlar orasidagi masofa kvadratiga ko’paytmasining yigindisiga teng.
Tekis kesimning markaziy o’qlarga parallel yangi o’qlarga nisbatan (markazdan qochuvchi)ni inerstiya momentini topamiz (5.9)formulaga asosan :


Bu erda
deb quyidagini hosil qilamiz
(5.11)
Demak, markaziy o’qlarga parallel yangi o’qlarga nisbatan markazdan qochma inerstiya momenti markaziy o’qlarga nisbatan inerstiya momenti bilan kesim yuzining o’qlar orasidagi masofalarga ko’paytmalarining yigindisiga teng.
( 5.11)- Shtayner formulasi deyiladi.
Agar markaziy o’qqa parallel x₁ o’qqa parallel bo’lib, «s» masofada o’tuvchi x₂ o’qqa nisbatan inerstiya momentini topish kerak bo’lsa, avval markaziy x o’qqa nisbatan inerstiya momenti formula asosida topiladi. So’ng shu formula bo’yicha x₂ o’qqa nisbatan inerstiya momenti quyidagiga aniqlanadi:
(5.12)
Bu boglanishlardan ko’rinadiki, har qanday nomarkaziy o’qqa nisbatan inerstiya momentidan markaziy o’qqa nisbatan inerstiya momenti kichik bo’ladi. Masofa ortishi bilan inerstiya momenti qiymati ham ortib boradi.