topshiriq quyidagi X diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni bilan berilgan. Taqsimot funksiyasi F x ni toping va uning grafigini chizing X diskret tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari m X , DX  va  X  larni hisoblang

1-TOPSHIRIQ
Quyidagi X diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni bilan berilgan.
1)Taqsimot funksiyasi F x ni toping va uning grafigini chizing.
2) X diskret tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari M X , DX  va  X  larni hisoblang.
Javob.

1. 
   Taqsimot funksiyasini topish uchun, birinchi navbatda kumulyativ o'zgaruvchanlik funksiyasini topishimiz kerak:
   

F(x) = P (x)
Bu funksiya, x qiymatlariga qarab, X ning qiymatining oshishini ifodalaydi. Shu sababli:
F (54) = P(XXATAXBOROT 54) = 0.2 F(56) = P(XXATAXBOROT 56) = 0.2 + 0.1 = 0.3 F(58) = P(XXATAXBOROT 58) = 0.3 + 0.4 = 0.7 F(60) = P(XXATAXBOROT 60) = 0.7 + 0.3 = 1.0
Shunday qilib, taqsimot funksiyasi quyidagi ko'rinishda bo'ladi:

2. 
   Keyinchalik, M(X), D(X) va σ(X) sonli xarakteristikalarini topishimiz kerak. X tasodifiy miqdori uning qiymatlariga ega bo'lgan va har bir qiymatning kiritilgan xisob kitobidan kelib chiqqan tasodifiy miqdorlar. Shu sababli, ularning o'rtacha qiymati va standart chetlashmasi quyidagicha hisoblanadi:
   

M(x) = R(X=xi) * xi], i = 1 dan n gacha D(X) = R (X=xi) * (xi - m(x))^2], i =1 dan n gacha D (X) = D (X)
Bizning misolda:
M(X) = (0.2 * 54) + (0.1 * 56) + (0.4 * 58) + (0.3 * 60) = 57.2 D(X) = (0.2 * (54 - 57.2)^2) + (0.1 * (56 - 57.2)^2) + (0.4 * (58 - 57.2)^2) + (0.3 * (60 - 57.2)^2) = 3.36 σ(X) = √D(X) = √3.36 ≈ 1.83
Shu sababli, X tasodifiy miqdorining o'rtacha qiymati 57.2 ga, standart chetlashmasi esa 1.83 ga teng.

2-Topshiriq.

Javob.

1. 
   Zichlik funksiyasi f(x) ni topish uchun, F(x) funksiyasini bosib, har bir qism uchun yuqoridagi formulalar orqali f(x) ni hisoblaymiz:
   

1. 
   F (x) = 0 uchun f (x) = 0
   
2. 
   0 < f(x) 1 uchun f (x) = 1
   
3. 
   F (x) > 1 uchun f (x) = 0
   

Bundan ko'rinib turib, zichlik funksiyasi quyidagicha bo'ladi:
0, x0  1, x4 f(x)    1, 0

2. 
   M(X) ni topish uchun, X ning uzluksiz tasodifiy miqdorini olib chiqamiz:
   

X = {0, 1, 2, 3, 4}
Endilikda, x ning qiymatlarini yig'indisi hisoblanishi kerak:
= 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Σx
Shuningdek, x ning kvadratlarining yig'indisi hisoblanishi kerak:
Σx2 = 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30
M(X) quyidagicha hisoblanadi:
M (X) = R / N = 10 / 5 = 2

3. 
   D(X) ni topish uchun, quyidagi formuladan foydalanamiz:
   

D (X) = M (X2) - [M(X)]2
M (X2) = X2 / n = 30 / 5 = 6
D (X) = 6-22 = 4

4. 
   σ(X) ni hisoblash uchun, D(X) ning kvadrat ildizidan foydalanamiz:
   

(x) = sqrt(D(X)) = sqrt(4) = 2
Bundan ko'rinib turib, F(x) funksiyasi uchun zichlik funksiyasi f(x) =
0, x0  1, x4  1, 0
M(X) = 2, D(X) = 4, va (x) = 2 ga teng.

3-Topshiriq

Xi=8,2 8,6 9,0 9,4 9,8 10,2
Ni=6 12 30 25 20 4
Javob.
Ushbu ma'lumotlarga ko'ra, quyidagi ko'rsatkichlarni hisoblaymiz:
a) Tanlanmaning o'rta qiymati:
O'rta qiymat formula bo'yicha quyidagicha hisoblanadi:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$
Bu yerda $n$ - tanlanmaning soni, va $x_i$ - $i$ -chi tanlanmaning qiymati.
Quyidagi jadvaldagi qiymatlar orqali:
$x_1 = 8.2, x_2 = 8.6, x_3 = 9.0, x_4 = 9.4, x_5 = 9.8, x_6 = 10.2$
$n = 6$
Shu sababli, o'rta qiymatni quyidagicha hisoblaymiz:
$\bar{x} = \frac{8.2 + 8.6 + 9.0 + 9.4 + 9.8 + 10.2}{6} = 9.2$
Javob: Tanlanmaning o'rta qiymati $9.2$.
b) Tanlanmaning dispersiyasi:
Dispersiya quyidagicha hisoblanadi:
$S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
Bu yerda $(x_i - \bar{x})$ - $i$ -chi tanlanmaning o'rtaqiymatdan ayirmasi, va $n$ - tanlanmaning soni.
Quyidagi jadvaldagi qiymatlar orqali:
$x_1 = 8.2, x_2 = 8.6, x_3 = 9.0, x_4 = 9.4, x_5 = 9.8, x_6 = 10.2$
$n = 6$
$\bar{x} = 9 {,} 2$
Shu sababli, dispersiyani quyidagicha hisoblaymiz:
\ begin{align*} S^2 & = \frac{(8.2-9.2)^2 + (8.6-9.2)^2 + (9.0-9.2)^2 + (9.4-9.2)^2 + (9.8-9.2)^2 + (10.2-9.2)^2}{6-1} \ &= \frac{(-1)^2 + (-0.6)^2 + (-0.2)^2 + (0.2)^2 + (0.6)^2 + (1)^2}{5} \ &= \frac{2.2}{5} \ &= 0 {,} 44 \end{align*}
Javob: Tanlanmaning dispersiyasi $0.44$.
Shunga ko'ra, tanlanmaning o'rta qiymati $9.2$ va dispersiyasi $0.44$ bo'ladi.