1. sonli qatorlar

1-misol. Quyidagi qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlang.
Yechilishi: Berilgan qator geometrik progressiyaning umumiy formulasidan iborat. Bunda barcha n lar uchun

yig’indi bo’lganda bo’lib,

bo’ladi.
Demak, bo’lsa, berilgan qator yaqinlashadi hamda quyidagi

o’rinli bo’ladi.
Agar bo’lsa, bo’ladi. Shuning uchun ketma – ketlik chegaralanmagan. U holda, limitga ega bo’lmaydi. Bundan ketma – ketlikning ham limitga ega emasligi kelib chiqadi. Demak, da berilgan qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Agar bo’lsa,
S₁=1; S₂=2; … S_n=n;…
bo’lib, berilgan qator uzoqlashadi.
Agar bo’lsa,
S₁=-1; S₂=-1+1=0; S₃=-1; S₄=0;…
ya’ni, toq nomerli xususiy yig’indilar O ga teng bo’ladi. Bunday ketma –ketlik limitga ega emas, demak, qator uzoqlashuvchidir.
1-Teorema. Agar berilgan qator yaqinlashuvchi bo’lsa, uning ixtiyoriy qoldig’i ham yaqinlashuvchi bo’ladi. Shuningdek, berilgan qatorning ixtiyoriy qoldig’i yaqinlashsa – qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi. (Teoremaning isboti talabalarga havola qilinadi).
Quyidagi teoremani ham isbotsiz keltiramiz:
2-Teorema. Agar hadlari manfiy bo’lmagan qatorning xususiy yig’indilari ketma – ketligi chegaralangan bo’lsa, u holda qator yaqinlashadi. Agar hadlari manfiy bo’lmagan qatorning xususiy yig’indilari ketma – ketligi chegaralanmagan bo’lsa, u holda qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
2-misol. Qatorning yaqinlashishini ko’rsating:

Yechilishi: Berilgan qatorning dagi xususiy yig’indisining shaklini o’zgartiramiz, ya’ni:
Bunda, .
Demak, berilgan qator chekli limitga ega ekan.