1. Koordinatalarni almashtirish Slindrik koordinatalar sistemasi

2 .Sferik koordinatalar sistemasi.
Fazoda sferik koordinatalar sistemasini kiritish uchun Oxyz -Dekart
koordinatalar sistemasi kiritilgan deb hisoblab,berilgan M nuqta uchun markazi
koordinata boshida bo'lgan va radiusi ρ = OM ga teng bo'lgan sferani
qaraymiz. Berilgan M nuqtaning Oxy tekisligiga proeksiyasini M ′ bilan,OM
vektor va Oz o'qi orasidagi burchakni ϕ bilan, OM ′vektor va Ox orasidagi
burchakni ψ bilan belgilaymiz. Burchaklarni aniqlashdaϕ burchak shunday
tanlanadiki ,Oz o'qining musbat yo'nalishi tomonidan qaraganimizda, Ox o'qini
OM ′nur bilan ustma ust tushirish uchun soat mili yo'nalishiga qarshi
yo'nalishda ϕ burchakka burish kerak. Yuqorida aniqlangan ρ, ϕ,ψ kattaliklar
M nuqtaning sferik koordinatalari deyiladi. Bunga sabab, fazoning koordinatalari
ρ = const tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalari to'plami sferani tashkil qiladi.
Fazoning har bir nuqtasi radiusi koordinata boshidan shu nuqtagacha bo'lgan
masofaga teng bo'lgan sferada yotadi. Nuqtaning dekart koordinatalari bilan
sferik koordinatalari orasidagi bog'lanish quyidagicha bo'ladi:


.

Odatda fazo nuqtalari blan ularning sferik koordinatalari oraksidagi moslik o'zaro bir qiymatli bo'lishi uchun ular uchun
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ < 2π , 0 <ψ < π
chegaralar qo'yiladi.
Fazoda sferik koordinatalar sistemasini kiritganimizda fazo markazi bitta nuqtada
bo’lgan sferalarga ajraladi. Agar nuqtaning sferik koordinatalari ρ, ϕ,ψ bo’lsa, u
yotgan sferaning radiusi ρ ga teng bo’ladi. Bu masofa nuqtadan koordinatalar
boshigacha bo’lgan masofaga tengdir. Nuqta ρ radiusli sferada yotgan bo’lsa,
ϕ va ψ burchaklar uning sferadagi vaziyatini aniqlaydi.
4. Mavzuga doir masalalar yechish.
Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish
Orientasiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burilish yo'nalishi soat strelkasi
yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, bu vektorlar o'ng ikkilik, aks holda chap ikkilik
tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifatida biror ikkilik tanlansa, biz orientasiya tanlab
olingan deb hisoblaymiz. Bizga {i, j} va {i′, j′} ortonormal bazislar berilgan bo'lsin.
Bu bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar sistemasilarini mos ravishda
Oxy va O′x′y′ bilan belgilaylik. Nuqtaning “eski” va “yangi” koordinatalari orasidagi
bog’lanishni topamiz. “Yangi» koordinatalar sistemasi markazining «eski» koordinata
sistemasidagi koordinatalarini (a,b) bilan belgilaylik

Tekislikda M nuqta berilgan bo'lib,uning Oxy va O′x′y′ sistemalardagi koordinatalari mos ravishda(x, y) va(x′, y′) juftliklardan iborat bo'lsin.

Biz quyidagi tengliklarga ega bo'lamiz:
OM = xi + y j , O′M = x′i′ + y′ j′ , OO′ = ai + b j
Har bir vektorni{ i, j} bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun

i′ = a11i + a12 j , j′ = a21i + a22 j (1) munosabatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni

OM = OO′ + O′M , OM = xi + y j
tengliklarga qo'yib
xi + y j = ai + b j + a11x′i + a12x′ j + a21y′i + a22 y′ j
tenglikni hosil qilamiz.
Bazis vektorlari {i, j} chiziqli erkli oilani tashkil etganligi uchun yuqoridagi
munosabatdan
x = a11x′ + a21 y′ + a
y = a21x′ + a22 y′ + b
formulalarni olamiz.
Endi aij koffisientlarni topish uchun ikkita holni qaraymiz.
Birinchi hol: { i, j}va { i′, j′} bazislar bir хil orientasiyaga ega. Bu holda agar
ϕ bilan i va i′ vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, j va j′ vektorlar
orasidagi burchak ham ϕ ga teng bo'ladi. Yuqoridagi (1) tengliklarning har ikkalasini
i va j vektorlarga skalyar ko'paytirib
a11 = cosϕ ,a12 = sinϕ , a 21 = -sinϕ , a 22 = cosϕ
formulalarni olamiz.Agar { i, j}va { i′, j′} bazislar har хil orientasiyaga ega
bo'lsa, j va j′ vektorlar orasidagi burchak π - ϕ ga teng bo'ladi. Bu holda (1)
tengliklarning har birini i va j vektorlarga skalyar ko'paytirib
a11 = cosϕ ,a12 = sinϕ , a 21 = sinϕ , a 22 = cosϕ formulalarni
hosil qilamiz. Bu formulalarni (2) formulalarga qo'yib mos ravishda quyidagi ikkita
formulalarni olamiz:

Bu holda o'tish determinanti uchun

tenglik o’rinli.
Ikkinchi holda bazislarning orientasiyalari har Аil va koordinatalarni
almashtirish formulalari

Bu holda o'tish determinanti uchun

tenglik o'rinli bo'ladi. Demak koordinatalar sistemesini almashtirganimizda o’tish
matritsasinig determinanti musbat bo’lsa, oriyentatsiya o’zgarmaydi. Agar o’tish
matritsasining determinanti manfiy bo’lsa, oriyentatsiya qarama-qarshi
oriyentatsiyaga o’zgaradi.