Velocity and displacement correlation functions for fractional generalized langevin equations

−
τ
)
γ
+1
−
m
d
τ
if
m
−
1
< γ < m,
d
m
f
(
t
)
d
t
m
if
γ
=
m,
(1.4)
where
m
∈
N
. In the work of Fa [15] a FGLE with nonlocal dissipative
force is investigated. Such FGLEs are recently used by Lim and Teo [28],
Eab and Lim [12] to model a single file diffusion, which means that in the
short time limit it behaves as normal diffusion (

x
2
(
t
)
 ∼
O
(
t
)) and as
anomalous diffusion (

x
2
(
t
)
 ∼
O
t
1
/
2
) in the long time limit.
It has been mentioned that in the case of internal white Gaussian noise,
the GLE (1.1) corresponds to the classical Langevin equation. In many
papers the GLE with an internal noise with a power law correlation func-
tions of form
C
(
t
) =
C
λ
t
−
λ
Γ(1
−
λ
)
, where Γ(
·
) is the Euler-gamma function,
C
λ
is a proportionality coefficient independent of time and which can de-
pends on the exponent
λ
(0
< λ <
1 or 1
< λ <
2), has been used
for modeling anomalous diffusion [29, 2, 56, 53, 47, 10, 30, 31]. One pa-
rameter M-L correlation function
C
(
t
) =
C
λ
τ
λ
E
λ
(
−
(
t/τ
)
λ
) of an internal
noise also is used [54, 55, 5], where
τ
is the characteristic memory time,

---

VELOCITY AND DISPLACEMENT CORRELATION . . .
429
C
λ
is a proportionality coefficient independent of time (0
< λ <
2) and
E
λ
(
·
) is the one parameter M-L function (4.1). Camargo et al. [6] in-
troduced a fractional GLE with a two parameter M-L correlation func-
tion
C
(
t
) =
C
λ
τ
λ
t
ν
−
1
E
λ,ν
(
−
(
t/τ
)
λ
), where
E
λ,ν
(
·
) is the two parameter M-L
function (4.2). In Ref. [42] we have introduced a three parameter M-L
correlation function
C
(
t
) =
C
α,β,δ
τ
αδ
E
δ
α,β
−
t
α
τ
α
, where
E
δ
α,β
(
·
) is the three
parameter M-L function (4.4),
C
α,β,δ
is a proportionality coefficient inde-
pendent of time (
α >
0,
β >
0,
δ >
0, 0
< αδ <
2), and we have studied
the asymptotic behavior of a harmonic oscillator and a free particle. In our
recent paper [43] we have studied the GLE with a three parameter M-L
correlation function
C
(
t
) =
C
α,β,δ
τ
αδ
t
β
−
1
E
δ
α,β
−
t
α
τ
α
,
(1.5)
where
τ
is the characteristic memory time,
C
α,β,δ
is a proportionality co-
efficient independent of time (
α >
0,
β >
0,
δ >
0). Note that, by us-
ing relations (4.7) and (4.8), the noise term (1.5) satisfies the assumption
lim
t
→∞
γ
(
t
) = lim
s
→
0
s
ˆ
γ
(
s
) = 0 [43], where ˆ
γ
(
s
) =
L
[
γ
(
t
)](
s
) is the Laplace
transform of
γ
(
t
), for
β <
1 +
αδ
. We have shown that for different val-
ues of
α
,
β
and
δ
the anomalous diffusion (subdiffusion or superdiffusion)
occurs. In this paper we consider FGLE with an internal noise with three
parameter M-L correlation function of form (1.5).
The three parameter M-L noise (1.5) for
δ
= 1 yields the two parameter
M-L noise introduced in Ref. [6]. For
β
=
δ
= 1 it corresponds to the one-
parameter M-L noise [54, 55, 5]. In the limit
τ
→
0 for
β
=
δ
= 1 and
α
 
= 1 the power law correlation function is obtained. For
α
=
β
=
δ
= 1 it
is obtained a correlation function of form
C
(
t
) =
C
1
,
1
,
1
τ
e
−
t/τ
, which in the
limit
τ
→
0 it corresponds to a white Gaussian noise (a standard Brownian
motion).
This paper is organized as follows. In Section
2
general expressions
for the relaxation functions, average velocity and average particle displace-
ment, variances and MSD are derived. The case with an internal noise with
a three parameter M-L correlation function is investigated. The asymp-
totic behaviors in the short and long time limits of the MSD are analyzed.
The appearance of anomalous diffusion (subdiffusion and superdiffusion)
is found. Cases for modeling single file-type diffusion are discussed. A
Summary of the paper is provided in Section