Tub va murakkab sonlar. Tub sonlar to‘plamining cheksizligi. Eratosfen g‘alviri. Bo‘linish munosabati. Natural son natural bo‘luvchilarining soni va yig‘indisi. Ta’rif

Ta’rif
. 1 dan farqli umumiy bo’luvchilarga ega bo’lmagan ikkita natural son 
o’zaro tub sonlar
deyiladi.
Ta’rif
. Agar noldan farqli 
a
va 
b
butun sonlar uchun 
a=bq 
tenglikni 
qanoatlantiradigan 
q 
butun son mavjud bo’lsa, u holda 
a son b songa qoldiqsiz 
bo’linadi 
(
bo’linadi
)
 
yoki 
b son a sonni bo’ladi
deyiladi hamda 
b
| 
a 
kabi yoziladi.
a=bq 
tenglikdagi 
a
son 
bo’linuvchi yoki b
soniga karrali son,
b
son 
a
sonining
 
bo’luvchisi,
q 
son esa 
bo’linma
deb yuritiladi.
Ravshanki, ikkita son umumiy bo’luvchiga ega bo’lsa, u holda ularning yig’indisi, 
ayirmasi va karralilari ham shu bo’luvchiga ega.
x, y 
va 
z
butun sonlar bo’lsa, u holda quyidagi sodda xossalar o’rinli:
(a) 
x | x
(refleksivlik xossasi); 
(b) Agar
x | y
va
y | z 
bo’lsa , u holda 
x | z 
(tranzitivlik xossasi); 
(c) Agar 
x | y
va 
y

0 bo’lsa , u holda 
|x|

|y|
; 
(d) Agar
x | y
va
x | z 
bo’lsa , u holda barcha butun 
,
 
sonlar uchun
x
|
y
z



; 
(e) Agar 
x | y
va 
x | y ± z 
bo’lsa , u holda 
x | z
; 
(f) Agar 
x | y
va 
y | x 
bo’lsa , u holda
|x|=|y|;
(g) 
x | y

|x| | |y|;
Izoh.
Shuni aytish joizki, oxirgi (g) xossa bo’linish bilan bog’liq mulohazalarni 
butun sonlar uchun emas, balki natural sonlar uchun yuritishga imkon yaratadi.
2 ga karrali butun sonlar (ya’ni 2
k
, 
k
Z

, ko’rinishdagi sonlar) 
juft
, 2 ga karrali 
bo’lmagan butun sonlar (ya’ni 2
k +
1 , 
k
Z

, ko’rinishdagi sonlar) esa 
toq 
sonlar deb 
yuritiladi.
Bunda quyidagilar o’rinli:
a) Ikkita toq sonlarning yig’indisi va ayirmasi juft, ko’paytmasi esa toq son bo’ladi.
b) Ikkita juft sonlarning yig’indisi , ayirmasi va ko’paytmasi juft son bo’ladi.
Teorema
. Agar
𝑎 = 𝑝
1
𝛼
1
∙ 𝑝
2
𝛼
2
∙ … ∙ 𝑝
𝑛
𝛼
𝑛
bo’lsa, u holda
𝑎
sonning barcha 
natural bo’luvchilari soni
𝜏(𝑎)
quyidagi formula bilan aniqlanadi: 
𝜏(𝑎) = (𝛼
1
+ 1) ∙ (𝛼
2
+ 1) ∙ … ∙ (𝛼
𝑛
+ 1)
. 
Teorema
.
𝑎 = 𝑝
1
𝛼
1
∙ 𝑝
2
𝛼
2
∙ … ∙ 𝑝
𝑛
𝛼
𝑛
sonning barcha natural bo’luvchilari 
yig’indisi
𝜎(𝑎)
quyidagi formula orqali aniqlanadi: 

---

𝜎(𝑎) =
𝑝
1
𝛼1+1
−1
𝑝
1
−1
∙
𝑝
2
𝛼2+1
−1
𝑝
2
−1
∙ … ∙
𝑝
𝑛
𝛼𝑛+1
−1
𝑝
𝑛
−1
. 
Teorema.
𝑎 = 𝑝
1
𝛼
1
∙ 𝑝
2
𝛼
2
∙ … ∙ 𝑝
𝑛
𝛼
𝑛
sonning undan katta bo’lmagan va u bilan 
o’zaro tub sonlar soni
𝜑(𝑎)
quyidagi formula orqali aniqlanadi: 
𝜑(𝑎) = 𝑎 (1 −
1
𝑝
1
) (1 −
1
𝑝
2
) ∙ … ∙ (1 −
1
𝑝
𝑛
)
. 
 
Misollardan namunalar:
1-misol. 
Berilgan 1321 sonining tub yoki murakkab ekanligini aniqlang. 
Yechish. Berilgan
𝑎
natural sonining tub yoki murakkab ekanligini aniqlash 
uchun
√𝑎
songacha bo’lgan tub sonlarga berilgan sonning bo’linishi yoki 
bo’linmasligi aniqlanadi. Agar berilgan
𝑎
son
√𝑎
gacha bo’lgan birorta ham tub 
songa bo’linmasa, u holda
𝑎
tub son bo’ladi. 
Demak,
√1321 ≈ 36
ni topamiz. 36 gacha bo’lgan tub sonlar 2, 3, 5, 7, 11, 
13, 17, 19, 23, 29, 31 ga berilgan 1321 sonni bo’linishini tekshiramiz. 
2 ga bo’linmaydi, chunki 1321 toq son; 
3 ga bo’linmaydi, chunki 1+3+2+1=7/3; 
5 ga bo’linmaydi, chunki 1321 ning oxirgi raqami 1; 
1321:7
≈
188; 
1321:11
≈
120; 
1321:13
≈
101; 
1321:17
≈
77; 
1321:19
≈
69; 
1321:23
≈
54; 
1321:29
≈
45; 
1321:31
≈
42 
Demak, 1321 36 gacha bo’lgan tub sonlarga bo’linmaydi. U tub son. 
2-misol. 
Berilgan
𝑎 = 126
sonining natural bo’linuvchilari soni va 
yig’indisini, undan kata bo’lmagan va u bilan o’zaro tub sonlar sonini toping. 
Yechish. Berilgan
𝑎
sonining natural bo’luvchilari soni
𝜏(𝑎)
va natural 
bo’luvchilari yig’indisini
𝜎(𝑎)
,
𝑎
dan kata bo’lmagan u bilan o’zaro tub sonlar soni

---

𝜑(𝑎)
jarni aniqlash uchun
𝑎
sonining tub ko’paytuvchilarga kanonik yoyilmasini 
topamiz. Agar
𝑎 = 𝑝
1
𝛼
1
∙ 𝑝
2
𝛼
2
∙ … ∙ 𝑝
𝑛
𝛼
𝑛
bo’lsa, u holda 
𝜏(𝑎) = (𝛼
1
+ 1) ∙ (𝛼
2
+ 1) ∙ … ∙ (𝛼
𝑛
+ 1)
; 
𝜎(𝑎) =
𝑝
1
𝛼1+1
−1
𝑝
1
−1
∙
𝑝
2
𝛼2+1
−1
𝑝
2
−1
∙ … ∙
𝑝
𝑛
𝛼𝑛+1
−1
𝑝
𝑛
−1
; 
𝜑(𝑎) = 𝑎 (1 −
1
𝑝
1
) (1 −
1
𝑝
2
) ∙ … ∙ (1 −
1
𝑝
𝑛
)
bo’ladi.
𝑎 = 126
ning tub ko’paytuvchilarga kanonik yoyilmasi
126 = 2
1
∙ 3
2
∙ 7
1
ko’rinishda ekan. U holda
a)
𝜏(126) = (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 2 ∙ 3 ∙ 2 = 12
. Demak, 126 ning natural 
bo’luvchilari 12 ta. Haqiqatdan ham ular: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126. 
b)
𝜎(126) =
2
2
−1
2−1
∙
3
3
−1
3−1
∙
7
2
−1
7−1
= 312
Haqiqatdan ham 1+2+3+6+7+9+14+18+21+42+63+126=312 
c)
𝜑(126) = 126 ∙ (1 −
1
2
) (1 −
1
3
) (1 −
1
7
) = 36
. 
Demak, 126 dan katta bo’lmagan, u bilan o’zaro tub sonlar soni 36 ta. 
3-misol.
23! ni tub ko’paytuvchilarga kanonik yoyilmasini toping. 
Yechish. Berilgan
𝑛!
sonning tub ko’paytuvchilarga yoyilmasini topish uchun,
𝑛
dan katta bo’lmagan tub sonlar qanday daraja bilan kanonik yoyilmada 
qatnashishini topamiz. 
23 dan katta bo’lmagan tub sonlar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 
2 ning 23! ning kanonik yoyilmasidagi darajasini topamiz. Buning uchun 23 ni 
2 ga bo’lamiz. Bo’linma 2 dan kichik son bo’lguncha bu jarayonni davom ettiramiz: 
23=2
∙
11+1 
11=2
∙
5+1 
5=2
∙
2+1 
2=2
∙
1+0 
Demak, 2 ning kanonik yoyilmadan darajasi 11+5+2+1=19.
3 ning darajasini topamiz:
23=3
∙
7+2 

---

7=3
∙
2+1, 3 ning darajasi 7+2=9. 
5 ning darajasini topamiz: 
23=5
∙
4+3, 5 ning darajasi 4. 
7 ning darajasi 3 23=7
∙
3+2. 
11 ning darajasi 2 23=11
∙
2+1. 
13 ning darajasi 1 23=13
∙
1+10. 
Huddi shunday 17, 19, 23 larning ham yoyilmadagi darajalari 1 ga teng. 
Demak,
23! = 2
19
∙ 3
9
∙ 5
4
∙ 7
3
∙ 11
2
∙ 13 ∙ 17 ∙ 19 ∙ 23
.