Trigonometrik funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash

3-§. Trigonometrik almashtirishlar yordamida integralni hisoblash.
integrallarning xususiy hollarini hisoblashni yuqorida qarab o‘tdik. Hisoblashning bir necha usullari mavjud bo‘lib, bunda biz avval trigonometrik almashtirishlariga asoslangan hisoblash usulini ko‘rib o‘tamiz.
ax²+bx+c kvadrat uchhadni to‘la kvadratini ajratish va o‘zgaruvchini almashtirish natijasida ko‘rinishga keltirish mumkin. Shunday qilib, quyidagi uch turdagi integrallarni qarash yetarli
I₁ integral u=ksint (u=kcost) almashtirish natijasida sint va cost ga nisbatan ratsional funksiya integraliga keltiriladi. Haqiqatdan ham, u=ksint, k>0 almashtirishdan foydalansak, ,
bo‘ladi.
I₂ integral esa u=ktgt yoki u=kctgt almashtirish yordamida sint va cost ga nisbatan ratsional funksiya integraliga keltiriladi.
Haqiqatdan ham, u=ktgt, k>0 almashtirish bajaramiz. U holda va

bo‘ladi.
I₃ integral yoki almashtirish yordamida sint va cost ga nisbatan ratsional funksiya integraliga keltiriladi. Haqiqatdan ham, almashtirish bajaraylik.
U holda va

bo‘ladi. sint va cost ga nisbatan ratsional funksiya integrallari avvalgi paragrafda aytilgan metodlar yordamida hisoblanadi.
7-misol. ni hisoblang.
Yechish. bo‘ladi. integralni hisoblashni o‘quvchilarga havola qilamiz.
integralni quyidagicha bo‘laklab integrallash ham mumkin.

=
ni tenglikning chap tomoniga o‘tkazib, quyidagini hosil qilamiz:

Izoh. integrallarni ham bo‘laklab integrallash mumkin.
4-§. Ba’zi trigonometrik funksiyalarni integrallash
1. Ushbu ko’rinishdagi integrallar berilgan


Bu ttransdent funktsiyalarning integralini hisoblash uchun quyidagi formulalardan foydalanib, berilgan integrallarni integrallash mumkin.



1-misol.

2-misol.

3-misol.

2. integral berilgan (p va q butun sonlar).
A) p va q butun sonlardan hech bo’lmaganda biri toq son bo’lsa, q=2K+1 u holda
bo’ladi.
sinx=t bilan belgilaymiz dt=cosxdx bo’ladi.
Demak, t ga nisbatan ratsional funktsiyaga keladi.
4-misol.


B) p va q sonlar musbat va juft sonlar bo’lsin. q=2K,
q=2S u holda ushbu formulalardan foydalanamiz. Bu formulalar yordamida sinus va kosinuslar darajasi 2 marta pasayadi.

5-misol.


V) p va q sonlar juft bo’lib, ulardan biri manfiy bo’lsa, boshqa almashtirish qilinadi.
6-misol.

G) p va q sonlardan ixtiyoriy tarsional sonlar bo’lsa, u holda olib sin²x=t almashtirish qilamiz.
Natijada ga ega bo’lamiz va integralni hisoblaymiz.
3. ushbu integralni integrallash uchun quyidagi umumiy usul mavjuddir. Bunda almashtirish qilinadi.
bu yerda ifodalar o’rinli.
Demak, berilgan integral ratsional funktsiyani integrallashga keltiriladi.
5-§. Asosiy trigonometrik funksiyalarning darajalari ixtiyoriy butun ko`rsatkichli bo`lganda integrallash.
a) deyilik.
Bu integralda n=–2;–1;0;1 bo`lsa, jadval integrallarini olamiz, ya`ni

(1)


Aytaylik, n ning qiymati bu ko`rilgan qiymatlardan farq qilsin, u vaqtda,

ni bo`laklab integraliaymiz:



.
Buni S_n ga nisbatan yechib,
n=2,3,… (2)
ga nisbatan yechib esa,
, n=-1,-2,… (3)
rekkurrent formulalarni olamiz. Bu (2) va (3) lar yordamida (1) ni hisobga olgan holda nZ uchun J_n integrallarni topa olamiz.
b) , (n Z) bo`lsin.
Bu integral n= –2; –1; 0; 1 bo`lganda jadval integrallaridir, ya`ni
(4)
Endi n ning boshqa butun qiymatlarini qaraymiz. Oldingi banddagidek ishlarni bajarib,
(5)
(6)
rekkurrent formulalarni olamiz.
c) deylik
T_-1­ =ln|sinx|+C, T₀=x+C, T₁ = – ln |cosx|+C (7)
jadval integrallaridir.

Bundan
n=2,3,… (8)
yoki
n= 0,-1,-2,… (9)
rekkurrent formula larni olamiz.