Trigonometrik funksiyalar ko’paytmasini yig’indiga va aksincha almashtirish formulalari

Trigonometrik funksiyalar ko’paytmasini yig’indiga va aksincha almashtirish formulalari
Trigonometrik ifodalarni soddalashtirishda, ba’zi bir burchaklardagi trigonometrik funksiyalar qiymatlarini hisoblashda va trigonometrik tenglamalarni yechishda ko’pincha trigonometrik funksiyalar ko’paytmasini yig’indiga almashtirish formulalaridan foydalanish qulay bo’ladi. Bu formulalarni ikki burchak yig’indisi va ayirmasining trigonometrik fukntsiyalari uchun yozilgan formulalardan osongina keltirib chiqariladi. Masalan,
va formulalarni hadma-had qo’shib, so’ngra 2 ga bo’lib
formulani hosil qilamiz.

Xuddi shu kabi va lar uchun yozilgan formulalardan ,

formulalarni keltirib chiqaramiz.
Ba’zi hollarda , formulalardan ham foydalaniladi.
Misollar:
1. cos²5+cos²1-cos6 cos4 ni hisoblang.
Yechish: cos6 cos4 ekanligini e’tiborga olamiz.
cos²5+cos²1
=
= .
Javob: 1
2. sin⁴105⁰ cos⁴75⁰ ni hisoblang.
Yechish: sin⁴105⁰ cos⁴75⁰=(sin105⁰ cos75⁰)⁴=
= .
Javob:
3. ni hisoblang.
Yechish:
.
Javob: 1
4. cos92⁰ cos2⁰+0,5sin4⁰+1 ni hisoblang.
Yechish: cos92⁰ cos2⁰+0,5sin4⁰+1= sin4⁰+1=
sin4⁰+1=1.
Javob: 1
Trigonometrik ifodalarni soddalashtirishda, ba’zi bir burchaklardagi trigonometrik funksiyalarni qiymatlarini hisoblashda, trigonometrik tenglamalarni va tengsizliklarni yechishda bir xil nomdagi trigonometrik funksiyalar yig’indisi va ayirmasini ko’paytmaga almashtirish formulalaridan foydalanish qulay bo’ladi.
Bu formulalar bundan oldingi paragrafdagi formulalardan osongina keltirib chiqariladi. Masalan: yoki formuladagi ni x bilan ni y bilan almashtiramiz. So’ngra va larni x va y lar o rqali ifodalaymiz. Buning uchun sistemani dastlab hadma-had qo’shib, so’ngra hadma-had ayrib va larni hosil qilamiz. va larning bu ifodalarini ga qo’yamiz: Natijada: formulani hosil qilamiz. Xuddi, shu kabi , ,
formulalarni hosil qilamiz.
.
.
.


formulalarni esa tg va ctg lar o’rniga ularni sin va cos lar orqali ifodalarini qo’yib keltirib chiqariladi.
Ba’zi hollarda asin +bcos =r sin( + ) formuladan foydalanish qulay bo’ladi. Bu yerda , ,
Misollar:
1. sin10⁰+sin50⁰-cos20⁰ ni hisoblang.
Yechish: sin10⁰+sin50⁰-cos20⁰= -cos20⁰=
=2sin30⁰ cos20⁰-cos20⁰=2 cos20⁰-cos20⁰=cos20⁰-cos20⁰=0.
Javob: 0
2. ni hisoblang.
Yechish:
.
Javob:
3. ni hisoblang.
Yechish:
= 3.
Javob: 3
4. ni soddalashtiring.
Yechish:
tg .
Javob: tg
5. tg15⁰-ctg15⁰ ni hisoblang.
Yechish: tg15⁰-ctg15⁰=tg15⁰-tg75⁰=
.
Javob:
6. ctg2 -ctg ni soddalashtiring.
Yechish: ctg2 -ctg .
Javob: