Tema: Baslanǵısh funksiya hám anıq emes integraldıń tariypi, ózgeshelikleri. Anıq emes integral kestesi. Integrallawdıń tiykarǵı usılları: ózgeriwsheń almastırıw hám bóleklep integrallaw Joba

Tema: Baslanǵısh funksiya hám anıq emes integraldıń tariypi, ózgeshelikleri. Anıq emes integral kestesi. Integrallawdıń tiykarǵı usılları: ózgeriwsheń almastırıw hám bóleklep integrallaw


Joba:
1. Baslanǵısh funksiya hám anıq emes integral túsinikleri
2. Anıq emes integraldıń ápiwayı ózgeshelikleri
3. Integrallaw qaǵıydaları hám tiykarǵı integrallar kestesi
4. Integrallaw usılları
4. 1. Tikkeley integrallaw usılı.


1. Baslanǵısh funksiya hám anıq emes integral túsinikleri
Differensial esaptıń tiykarǵı máselelerinen biri berilgen f (x) funksiyaǵa kóre onıń tuwındı f x () ni tabıwdan ibarat edi. Bul máseleniń terissi, yaǵnıy
tuwındına ko„ra funksiyanıń o„zini qayta tiklew máselesi úlken áhmiyetke iye bo„lib, integral esaptıń tiykarǵı máselelerinen esaplanadı.
f (x) funksiya qandayda bir (a, b) (chekli yamasa sheksiz) intervalda anıqlanǵan bo„lsin.
1-tariyp. Eger (a, b) de f (x) funksiya qandayda bir F (x) funksiyanıń tuwındına teń, ya‟ni (a, b) intervaldan alınǵan qálegen x ushın F‟ (x) = f (x) bo„lsa, ol halda F (x) funksiya (a, b) intervalda f (x) funksiyanıń baslang„ich funksiyası dep ataladı. Mısalı,
1
1) f (x) = bolsin. Bul funksiyanıń (0;+) intervalda baslang„ich funksiyası F (x) =2 x boladi, sebebi (0;+) de F x ()  (2 x)    f x ();
2 dıń (-;+) aralıqta baslang„ich funksiyası F (x)  x3 2) f (x) =x
3
bo„lishi ayqın.
Ayqınki, eger qandayda bir aralıqta F (x) funksiya f (x) dıń baslang„ich funksiyası bo„lsa, ol halda qálegen o„zgarmas C san ushın
F (x) +C (1)
funksiya da f (x) dıń baslang„ich funksiyası bo„ladi, sebebi
(F (x) +C) '=F' (x) =f (x).
Bunnan tómendegi juwmaq kelip shıǵadı : eger f (x) funksiya qandayda bir baslang„ich funksiyaǵa iye bo„lsa, ol halda onıń baslangish funksiyaları sheksiz kop boladi.
Tómendegi soraw tug„ilishi tábiyiy: qandayda bir aralıqta berilgen f (x) funksiyanıń barlıq baslang„ich funksiyaları (1) formula menen ańlatıladıma, basqasha aytqanda f (x) funksiyanıń (1) formula menen ańlatpalanmaydigan baslang„ich funksiyaları barma?
Bul sorawǵa tómendegi teorema juwap beredi.
1-teorema. Eger qandayda bir aralıqta F (x) funksiya f (x) dıń baslang„ich funksiyası bo„lsa, ol halda f (x) funksiyanıń qálegen baslang„ich funksiyası C o„zgarmasning qandayda bir ma`nisinde (1) formula járdeminde ańlatıladı.
Tastıyıqı. Shama menen oylayıq G (x) funksiya qaralayotgan aralıqta f (x) funksiyanıń baslang„ich funksiyası bo„lsin. Bul  (x) =G (x)-F (x) járdemshi funksiyanı qaraymız. Bul funksiya ushın ' (x) =G' (x)-F' (x) =f (x)-f (x) =0 bo„ladi, ya‟ni, qaralayotgan aralıqta  (x) funksiya ushın funksiyanıń turaqlılıq shárti atqarıladı. Basqasha aytqanda G (x)-F (x) =C, ya‟ni G (x) =F (x) +C bo„ladi. Sonday eken, G (x) funksiya (1) formuladan S dıń qandayda bir ma`nisinde ónim bo„ladi.
Sonday etip, eger aralıqta berilgen f (x) funksiyanıń bir F (x) baslang„ich funksiyası ma‟lum bo„lsa, ol halda onıń barlıq baslang„ich funksiyaları F (x) +C, bul jerde C qálegen o„zgarmas san, ko„rinishda ańlatpalanar eken.
2-tariyp. (a, b) intervalda berilgen f (x) funksiya baslang„ich funksiyalardıń ulıwma ańlatpası F (x) +C, bul jerde C=const, sol f (x) funksiyanıń anıq emes integralı dep ataladı hám ol  f (x) dx sıyaqlı belgilenedi. Bunda  - integral belgisi, f (x) integral astındaǵı funksiya, f (x) dx - integral astındaǵı ańlatpa, x - integrallaw o„zgaruvchisi dep ataladı.
Sonday eken, ta‟rifga ko„ra
 f (x) dx=F (x) +C, (2)
bul jerde F (x) funksiya f (x) dıń qandayda bir baslang„ich funksiyası.
Mısalı, (-;+) de f (x) =cosx bo„lsin. Bul halda (sinx) ‟=cosx bo„lgani ushın cosxdx=sinx+C bo„ladi.
(2) formuladan ko„rinadiki, berilgen f (x) funksiyanıń qandayda bir baslang„ich funksiyasın jáne onıń anıq emes integralın tabıw máseleleri derlik birdey máseleler bolıp tabıladı. Usınıń sebepinen f (x) funksiyanıń baslang„ich funksiyasın tabıwdı da, anıq emes integralın tabıwdı da f (x) funksiyanı integrallaw dep ataymız.
Integrallaw differensiallashga salıstırǵanda teris amal bolıp tabıladı.
Integrallaw ámeliniń to„g„ri orınlanǵanlıǵın tekseriw ushın alınǵan nátiyjeni differensiallash jetkilikli: differensiallash nátiyjesinde integral astındaǵı funksiya ónim bo„lishi kerek.

Mısalı, 3 x dx x C2  3 ekenligin tekshirish uchun teńliktiń ong tomonidagi funksiyadan hosila olamiz: (x3+C) ‟=3 x2, demak, integrallash to„g„ri orınlanǵan.
Geometriyalıq kózqarastan bul teorema f (x) funksiyanıń anıq emes
integralı y=F (x) +C bir parametrli 1-súwret iymek sızıqlar shańaraǵın ańlatadı (C-parametr). Bul iymek sızıqlar shańaraǵı tómendegi qasiyetke iye: iymek sızıqlarǵa abssissası x=x0 bo„lgan noqatında o„tkazilgan urınbalar bir-birine parallel bo„ladi (1-súwret).
F (x) +C iymek sızıqlar shańaraǵı integral iymek sızıqlar dep ataladı. Olar birbirlari menen kesilispeydi, biri-birine urınbaydı. Tegisliktiń hár bir noqatınan tek bir integral sızıq o„tadi. Barlıq integral sızıqlar biri ekinshisidan Ay o„qiga parallel ko„chirish nátiyjesinde ónim bo„ladi.
Mısal. Abssissası x bo„lgan noqatında o„tkazilgan, urınbasınıń múyesh koefficiyenti k=x3 formula menen ańlatılatuǵın hám (2;5) noqattan o„tuvchi iymek sızıqtı tabıń.
Sheshiw. Ma‟lumki, y'=k=x3, bul shártni qánaatlantıratuǵın y funksiyanıń
x4
ulıwma ańlatpası y  x dx3 bo„ladi. Bul integraldı esaplab y  4 C ańlatpaǵa iye
bo„lamiz. Ízlenip atırǵan iymek sızıq (2;5) noqattan o„tadi. Usınıń sebepinen funksiya ańlatpasına berilgen noqat koordinatalarınıń qo„yamiz hám S dıń kerekli ma`nisin
24
tabamız. Nátiyjede 5  C C, 1 ónim bo„ladi. Sonday eken, ızlenip atırǵan iymek sızıq 4
x4
teńlemesi y  1 eken.
4
Endi tómendegi sorawǵa juwap izleymiz: qandayda bir aralıqta berilgen hár qanday f (x) funksiyanıń baslang„ich funksiyası barma?
Bul sorawdıń juwabı Darbu teoremasidan kelip shıǵadı (vII bap, 1-§, 5 teorema).
Bul teoremaga tiykarlanıp tómendegi
0, agar  2  x  0, f x ()  
1, agar 0  x  2
funksiya [-2;2] de baslang„ich funksiyaǵa iye emes, sebebi bul funksiya 0 hám 1 bahalardı qabıl etip, olar arasındaǵı bahaların qabıl etpeydi.
Hár qanday funksiyaning ham boshlang„ich funksiyasi mavjud bo„lavermaydi, lekin tómendegi teorema o„rinli.
2-teorema. Eger f (x) funksiya qandayda bir aralıqta úzliksiz bo„lsa, ol halda onıń baslang„ich funksiyası ámeldegi bo„ladi.
Bul teoremaning tastıyıqı kelesinde ko„rsatiladi, usınıń sebepinen bul bapta úzliksiz funksiyalardı integrallaw haqqında gápiriladi. Úziliske iye bo„lgan funksiyalar ushın integrallaw máselesi onıń ol yamasa bul úzliksizlik aralıqları ushın qaraladı.
1
Mısalı, f x ()  funksiya x=0 noqatda úziliske iye. Bul funksiya (0;+) x
hám (-;0) aralıqlarda úzliksiz. Birinshi aralıqta
dx
 x  ln x C
formula o„rinli. Biraq ekinshi aralıq ushın bul formula ma‟noga iye emes. Lekin bul aralıqta tómendegi formula o„rinli bo„ladi: dx
 x  ln (x) C.
Bul eki formulanı tómendegishe ulıwmalastırıp jazıw múmkin: dx
 x  ln| x| C.
2. Anıq emes integraldıń ápiwayı ózgeshelikleri
10. Anıq emes integraldıń differensiali (tuwındı ) integral astındaǵı ańlatpaǵa (funksiyaǵa ) teń:
d f (x) dx=f (x) dx ( ( f (x) dx) ‟ =f (x)).
Tastıyıqı. Ta‟rif ko„ra df (x) dx=d (F (x) +C) =dF (x) =F' (x) dx= f (x) dx.
20. Qandayda bir funksiya differensialining anıq emes integralı sol funksiya menen o„zgarmas san yig„indisiga teń: dF (x) =F (x) +C.
Tastıyıqı. dF (x) = F' (x) dx=F (x) +C.
30. Eger f (x) dıń baslang„ich funksiyası ámeldegi bo„lsa, ol halda qálegen k (k0) san ushın
kf (x) dx=kf (x) dx (1)
bo„ladi, ya‟ni o„zgarmas ko„paytuvchini integral belgisi aldına shıǵarıw múmkin.
Tastıyıqı. f (x) dx=F (x) +C bo„lsin. Ol halda kf (x) dx=k (F (x) +C) =kF (x) +kC (2)
bo„ladi. (kF (x)) ‟=kF' (x) =kf (x) hám kC qálegen o„zgarmas san bo„lganligi ushın kF (x) +kC ańlatpa kf (x) funksiyanıń barlıq baslang„ich funksiyaların beredi, ya‟ni kf (x) dx= kF (x) +kC (3)
bo„ladi. (2) hám (3) den (1) kelip shıǵadı.
1-túsindirme. k=0 bo„lganda (1) teńlik o„rinli emes. Haqıyqattan da, bul teńliktiń shep tárepi 0 f (x) dx=0 dx=C, C -qálegen o„zgarmas san, o„ng tárepi bolsa 0f (x) dx=0 (F (x) +C) =0.
2-túsindirme. Integrallardı tabıwda kC jazılmaydı. Onıń o„rniga C jazıladı, sebebi qálegen o„zgarmas sannı jazıw usılı zárúrli emes. Bunda o„zgarmas qo„shiluvchining qálegen baha qabıl ete alıwı zárúrli esaplanadı.
Eger C-qálegen o„zgarmas san bo„lsa, ol halda C3, 4 C - qálegen o„zgarmas san bo„ladi. Lekin C2, sinC - qálegen o„zgarmas san emes, sebebi C20,| sinC|1.
40. Eger f (x) hám g (x) larning baslang„ich funksiyaları ámeldegi bo„lsa, ol halda
 (f (x)  g (x)) dx=f (x) dx  g (x) dx
bo„ladi, ya‟ni eki funksiya algebraik yig„indisining integralı anıq emes integrallar algebraik yig„indisiga teń.
Tastıyıqı. Aytaylik F (x) hám G (x) lar uyqas túrde f (x) hám g (x) larning baslang„ich funksiyaları bo„lsin. Ol halda
f (x) dxg (x) dx= (F (x) +C1)  (G (x) +C2) = (F (x) G (x)) + (C1C2)
Biraq, F (x) G (x) funksiya f (x) g (x) dıń baslang„ich funksiyası, sebebi (F (x) G (x)) '=F' (x) G' (x) =f (x) g (x), C1C2 bolsa -qálegen eki o„zgarmas sanlardıń algebraik yig„indisi- taǵı qálegen o„zgarmas san bo„ladi.
Usınıń sebepinen (F (x) G (x)) + (C1C2) ańlatpa f (x) g (x) dıń barlıq baslang„ich funksiyaların beredi, ya‟ni  (f (x) g (x)) dx ga teń bo„ladi.
Bul qasiyetti chekli sandaǵı funksiyalar ushın da tastıyıqlaw múmkin. Onıń ushın matematikalıq induksiya metodınan paydalanıw jetkilikli.
3-túsindirme. Integrallardı tabıwda C1C2 o„rniga C jazıladı.
Mısalı,  (cos x  3 x dx2)  cos xdx  3 x dx2  sin x  x3 C.
50. Eger F (x) funksiya f (x) dıń baslang„ich funksiyası bo„lsa, ol halda
1
 f ax ( b dx)  a F ax ( b) C (a0)
teńlik o„rinli bo„ladi.
Tastıyıqı. Teńliktiń o„ng tárepiniń tuwındı integral astındaǵı funksiyaǵa
teń ekanligini ko„rsatish yetarli. Rasında ham,
 1 a F ax ( b)   1 a (F ax ( b))   f ax ( b).
60. (integrallaw formulasınıń invariantligi). Eger integrallaw formulasında integrallaw o„zgaruvchisini sol o„zgaruvchining qálegen differensiallanuvchi funksiyası menen almastırsak integrallaw formulasınıń forması ozgarmaydi, ya‟ni eger  f x dx ()  F x () C hám ol funksiya x dıń differensiallanuvchi funksiyası bolsa, ol halda  f ol du ()  F ol () C bo„ladi.
Tastıyıqı. Birinshi tártipli differensialning invariantlik formasınan paydalanamız. Buǵan ko„ra, eger dF (x) =F' (x) dx hám u=u (x) differensiallanuvchi funksiya bo„lsa, ol halda dF (ol) =F' (ol) du bo„ladi.  f ol du ()  F ol () C ekenligin tastıyıqlaymız. Onıń ushın so„ngi teńliktiń eki tárepinen differensial alamız :
d ( f ol du () )  f ol du (), d F ol ( () C) F ol du' ()  f ol du ().
Bul differensiallarning teńliginen 60 qasiyettiń o„rinli ekenligi kelip shıǵadı.