1
8-MA’RUZA
TASODIFIY MIQDORLARNING SONLI XARAKTERISTIKALARI.
MATEMATIK KUTILISH VA UNING XOSSALARI. BOSHLANG’ICH VA
MARKAZIY MOMENTLARI DISPERSIYA, O’RTACHA KVADRATIK
CHETLANISH
Reja:
8.1. Tasodifiy miqdorning
matematik kutilish
8.2. Matematik kutilishning xossalari
8.3.
Tasodifiy miqdorning
dispersiyasi
Tayanch iboralar: Diskret tasodifiy miqdor, uzluksiz tasodifiy miqdor,
matematik kutilish,
dispersiya,
taqsimot zichligi,
o’rtacha kvadrat chetlanish.
8.1.
Tasodifiy miqdorning matematik kutilish
Ushbu diskret tasodifiy miqdor berilgan bo’lsin:
n
n
p
x
p
x
p
x
X
...
...
2
2
1
1
8.1– ta’rif. X
diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
X
M
(
yoki
x
m bilan belgilanadi) deb,
X miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarini mos
ehtimolliklarga ko’paytmalari yig’mndisiga teng songa aytiladi, ya’ni
n
k
k
k
n
n
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M
1
2
2
1
1
...
(8.1)
X tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari soni cheksiz, ya’ni
X miqdor
...
...
...
...
2
2
1
1
n
n
p
x
p
x
p
x
X
taqsimotga ega bo’lgan holda uning matematik kutilishi
1
2
2
1
1
...
...
k
k
k
n
n
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M
(8.2)
formula bilan aniqlanadi. Bunda (8.2) qator absolyut yaqinlashadi deb faraz qilinadi.
Aks holda bu tasodifiy miqdor matematik kutilishga ega bo’lmaydi.
2
8.
2– ta’rif. Mumkin bo’lgan qiymatlari
b
a,
intervalga tegishli bo’lgan
X
uzluksiz tasodifiy miqdorning
matematik kutilishi
deb
dx
x
xf
X
M
b
a
aniq
integralga aytiladi, bunda
x
f
taqsimot zichligi. Bu formula (8.1)
formulaning integral shaklidir. Agar
X miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari
butun
Ox
o’qni qoplasa, u holda uning matematik kutilishi ushbu formula bilan
ifodalanadi:
dx
x
f
x
X
M
.
Bunda (8.2) integral absolyut yaqinlashadi deb faraz qilinadi. Aks holda bu
X tasodifiy miqdor matematik kutilishga ega bo’lmaydi.
8.2.
Matematik kutilishning xossalari
1– xossa.
O’zgarmas miqdorning matematik kutilishi shu o’zgarmasning
o’ziga teng,
ya’ni
C
C
M
.
Isbot.
C
o’zgarmas miqdorniyagona
C
qiymatini 1 ga teng ehtimollik bilan
qabul qiladigan tasodifiy miqdor deb qarash mumkin. Shu sababli
C
C
C
M
1
.
2– xossa.
Chekli sonlagi tasodifiy miqdorlar yig’indisining matematik kutilishi
ular
matematik
kutilishlarning
yig’indisiga
teng,
ya’ni
n
n
X
M
X
M
X
M
X
X
X
M
...
...
2
1
2
1
.
3– xossa.
Chekli sondagi bog’liqmas tasodifiy miqdorlar ko’paytmasining
matematik kutilishi ular matematik kutilishlarining ko’paytmasiga teng,
ya’ni
n
n
X
M
X
M
X
M
X
X
X
M
...
....
2
1
2
1
.
4 – xossa.
b
X
aM
b
aX
M
.
8.3.
Tasodifiy miqdorning dispersiyasi
X-tasodifiy miqdor, M(X) uning matematik kutilishi bo’lsin.
Yangi tasodifiy
miqdor sifatida X-M(X) ayirmani qaraymiz.
8.3-ta’rif
. Chetlanish deb ,tasodifiy miqdor bilan uning matematik kutilishi
orasidagi farqqa aytiladi
.
3
Praktikada ko’pincha tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarini uning
o’rtacha qiymati atrofida tarqoqligini baholash talab qilinadi. Masalan, arteilleriyada
otilgan snaryadlar urib tushirilishi lozim bo’lgan nishon atrofiga qanchalik yaqin
tushishini bilish muqimdir. Birinchi qarashda, tarqoqlikni baholash uchun eng sodda
yo’l tasodifiy miqdor chetlanishining mumkin bo’lgan barcha qiymatlarini hisoblash,
keyin uning o’rtacha qiymatini topishdan iboratdek tuyuladi. Ammo bunday yo’l
hyech qanday natija bermaydi, chunki chetlanishning o’rtacha qiymati, ya’ni M(X-
M(X)) istalgan tasodifiy miqdor uchun nolga teng. U musbat bo’lsa,
boshqalar
manfiy, ularning o’zaro yo’qotilishi natijasida chetlanishning o’rtacha qiymati nolga
teng bo’ladi. Bu molohazalar mumkin bo’lgan chetlanishlarni ularning absalyut
qiymatlari yoki kvadratlari bilan almashtirish maqsadga muvofiqligi xaqida darak
beradi. Amalda ham shunday qilinadi. To’g’ri, mumkin bo’lgan chetlanishlarni
ularning absolyut qiymatlari
bilan almashtirilganda, absalyut miqdorlar bilan ish
tutishga to’g’ri keladi, bu esa ba’zan jiddiy qiyinchiliklarga olib keladi. Shuning
uchun ko’pincha boshqacha yo’l tutiladi, ya’ni chetlanish kvadratining o’rtacha
qiymati hisoblanadi va uni odatda dispersiya deyiladi.
8.4-ta’rif
. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarqoqligi) deb, tasodifiy
miqdorni o’zining matematik kutilishidan chetlanishi kvadratning matematik
kutilishiga aytiladi.
.
)
(
)
(
2
X
M
X
M
X
D
8.5-ta’rif. X
tasodifiy miqdorning o’rtacha kvadrat chetlanishi deb,
dispersiyadan olingan kvadrat ildiziga aytiladi:
)
(
)
(
X
D
X
Dispersiyaning o’lchamligi tasodifiy miqdor o’lchamining kvadratiga
tengligini ko’rsatish qiyin emas. O’rtacha kvadrat chetlanish dispersiyadan olingan
kvadrat ildiziga teng bo’lgani uchun
)
(
)
(
X
D
X
ning ulchamligi X ning
o’lchamligi bilan bir xil bo’ladi.
Shu sabali tarqoqlik bahosi o’lchamligi tasodifiy mikdor o’lchamligi
bilan bir
bo’lishi maksadga muvofik bo’lgan hollarda dispersiya emas, balki o’rtacha
kvadratik chetlanish hisoblanadi. Masalan, chiziq metrlarda o’lchansa, u xolda
4
)
(
)
(
X
D
X
ham chiziqli metrlarda o’lchanadi. D(X) esa kvadrat metrlarda
o’lchanadi.
Dispersiyani hisoblash
uchun ko’pincha ushbu formuladan foydalanish
qulay bo’ladi:
,
2
2
X
M
X
M
X
D
ya’ni
dispersiya tasodifiy miqdor kvadrati matematik kutilishi bilan uning matematik
kutilishi kvadrati orasidagi ayirmaga teng.
Isbot.
X
M
X
M
X
X
M
X
M
X
M
X
D
2
2
2
2
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
X
M
X
M
X
M
X
M
X
M
X
M
M
X
M
X
M
X
M
Isbotda biz matematik kutilishining xossalaridan hamda
X
M
va
X
M
2
ning o’zgarmas sonlar ekanligidan foydalandik.
Misol. X tasodifiy miqdorning dispersiyasini formula bo’yicha hisoblang:
5
,
0
6
2
,
0
4
3
,
0
2
X
Yechish
.
16
,
12
24
,
10
4
,
22
,
4
,
22
5
,
0
36
2
,
0
16
3
,
0
4
,
2
,
3
5
,
0
6
2
,
0
4
3
,
0
2
2
2
2
X
M
X
M
X
D
X
M
X
M
Dispersiyaning xossalari.
1– xossa.
O’zgarmas miqdorning dispersiyasi nolga teng,
ya’ni
0
C
D
2– xossa.
O’zgarmas ko’paytuvchini kvadratiga ko’tarib dispersiya belgisidan
tashqariga chiqish mumkin,
ya’ni ushbu formulaga o’rinli:
X
D
k
X
k
D
2
Isboti:
2
2
X
kM
kX
m
kX
M
kX
M
kX
D
.
2
2
2
2
2
2
X
D
k
X
M
X
M
k
X
M
X
k
M
X
M
X
k
M
3– xossa.
Chekli sondagi bog’liqmas tasodifiy miqdorlar yig’indisining
dispersiyasi ular dispersiyalarining yig’indisiga teng:
n
n
X
D
X
D
X
D
X
X
X
D
...
...
2
1
2
1