Ta'rif Agar y fazoda ochilgan har bir o to'plam X fazoda ochilgan to'liq f –1 ( o ) teskari tasvirga EGA bo'lsa, f : X →Y xaritalash uzluksiz deyiladi. Izoh 1

Taklif 2.3. Xaritalash f bo'lsin : X  Y nuqtasi y nuqtasi ustida yopilgan  T  Y , bu erda T - Y dagi ixtiyoriy to'plam . Keyin pastki xaritalash g = f |  : f ^–1 ( T ) T y nuqtasi ustida yopilgan . Xususan, agar f xaritalash yopiq bo'lsa (har bir y nuqtasi ustida  T ), keyin g xaritalash ham yopiladi (har bir y nuqtasi ustida  T ).
Isbot. Keling, ixtiyoriy y nuqtasini olaylik  T  Y va g ^-1 ( y ) = f qatlamning ba'zi O qo'shnilari ^–1 ( y ), shunday
O = O '   f ^–1 ( T ),
Bu erda O - X dagi ochiq to'plam . Xaritalashdan boshlab f y nuqta ustida yopiq , y nuqtaning Y da f ^–1 ( O ' y ) qo'shni O ' y mavjud.  O' . U holda Tda y nuqtaning Oy qo'shnisi borki , Oy = Oy '   T , va f ^–1 ( Oy ) = g ^–1 ( Oy )  O '   f ^–1 ( T ) = Oh . Binobarin, xaritalash g y ustida yopiladi Y. _
Agar ko'rsatilsa f har bir y nuqtasi ustida yopiq bo'lsa , keyin g xaritalash har bir y nuqtasi ustida yopiladi .
Keling, ulangan va qatlam bo'yicha bog'langan yopiq xaritalar o'rtasidagi aloqani o'rnatamiz.
Taklif 2.4. Ko'rsatishga ruxsat bering f : X → Y y nuqtasi ustida yopiq Y va qatlam f ^–1 ( y ) uzilgan to‘plamdir. Keyin y nuqta ustida f xaritalash uziladi . Xususan, agar f xaritalash yopiq bo'lsa va uning har bir tolasi uzilgan bo'lsa, u holda har bir y nuqtasi ustida uziladi. Y. _
Isbot . f ^–1 ( y ) qavati uzilgan to‘plam bo‘lgani uchun f da shunday bo‘sh bo‘lmagan ochiqlar mavjud. ^–1 ( y ) O ₁ va O ₂ ni shunday o‘rnatadiki, O ₁ ∩ O ₂ = va O _{1 bo‘ladi.}   O ₂ = f ^–1 ( y ). U holda Xda Q ₁ va Q ₂ ochiq to'plamlar mavjud bo'lib, shunday qilib
O ₁ = Q ₁ f ^–1 ( y ), O ₂ = Q ₂  f ^–1 ( y ).
Keling, ushbu to'plamlarning yopilishini ko'rib chiqaylik va X da . _ Ularning kesishishi yopiq to'plam va F  f ^–1 ( y ) = (chunki O ₁ va O ₂ f da yopiq ^–1 ( y ), ochiqlarning to‘ldiruvchisi sifatida). O = ( Q ₁ ni o'rnating Q ₂ ) \ F X da ochiq va f ^–1 ( y ) Oh . Bu qo‘shni O uchun (kartalash f ning yopiqligi tufayli ) y nuqtaning Oy qo‘shnisi mavjud bo‘lib , f ^–1 ( Oy ) bo‘ladi. Oh . G ₁ bo'lsin = f ^–1 ( Oy ) Q ₁ va G ₂ = f ^–1 ( Oy ) Q ₂ f ^–1 ( Oy ) da ochiq to‘plamlardir . Chunki
 X \ f ^–1 ( Oy ),
keyin G ₁ ∩ G ₂ = . Keyin f ^-1 ( Oy ) = G ₁  G2._ _{_} _ Shuning uchun f kolbasi ^–1 ( Oy ) ulanmagan.
U _  Oy – y nuqtaning ixtiyoriy qo‘shniligi . Keyin va ajratilgan to'plamlar ochiladi f ^–1 ( U ), va bo'sh emas, chunki O ₁   va O ₂   . Shuning uchun, har qanday mahalla uchun U  Oy tube f ^–1 ( U ) ulanmagan. Ta'rifi bo'yicha f xaritalash y nuqtasi ustida uzilgan .
f xaritalash har bir y nuqtasi ustida yopiq bo'lsa  Y va uning har bir qatlami uzilgan bo'lsa, ixtiyoriy y nuqtasi uchun f xaritalash uning ustida uziladi, shuning uchun har bir y nuqtasi ustida  Y. _
Belgilangan taklifdan u avtomatik ravishda keladi
Xulosa 2.2. Ko'rsatishga ruxsat bering f : X → Y y nuqtasi ustida yopiq Y va ulangan y nuqtasi ustida . Keyin qatlam f ^–1 ( y ) bog‘langan to‘plamdir. Xususan, agar f yopiq va bog'langan xaritalash bo'lsa, u tolalar bilan bog'langan.
Taklif 2.5. Xaritalash f bo'lsin : X → Y yopiq va qavatma-qavat bog'langan. Keyin u izchil bo'ladi.
Isbot. Keling, ixtiyoriy y nuqtasini olaylik Y va f xaritalash y nuqtasi ustida uzilgan deb faraz qilaylik . So'ngra y nuqtaning Oy qo'shnisi borki , f ^–1 ( U ) trubkasi har bir U mahallasi ustidan uzilgan. Oy ball y . Keling, quyidagi shartlar bajarilgan ba'zi bir bog'langan U qo'shnisini tuzataylik:
f ^–1 ( U ) = O ₁   O ₂ , O ₁ ∩ O ₂ = ,
qaerda O ₁ va O ₂ - bo'sh bo'lmagan ochiq f ^–1 ( U ) ko'pchilik.
Qatlam f ^–1 ( y ) ulanadi va f ^–1 ( y )  f ^–1 ( U ), demak, f ^–1 ( y ) O ₁ yoki O ₂ tarkibida mavjud (1.4 teorema bo'yicha). X ₁ O ₁ ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqaylik . Bu nuqtaning tasviri f ( x ₁ ) = y ₁ U. _ Shartga ko'ra, f qatlami ^–1 ( y ₁ ) ulanadi va f ^–1 ( y ₁ ) O ₁ O ₂ = f ^–1 ( U ). O ₁ ∩ O ₂ = va x ₁ O _{1 bo‘lgani} uchun (1.4 teorema bo‘yicha), f. ^–1 ( y ₁ ) O ₁ . (Boshqacha qilib aytganda, agar qatlamning bir nuqtasi _O1 to'plamiga tegishli bo'lsa , unda butun qatlam ushbu to'plamga tegishlidir.)
x ₁ nuqta ixtiyoriy bo'lgani uchun O ₁ = f bo'ladi ^–1 ( f ( O ₁ )). Xuddi shunday O ₂ = f ekanligi isbotlangan ^–1 ( f ( O2 )) _.
f xaritalash yopilgan, keyin 2.3 teorema bo'yicha g kichik xaritasi = f : f ^-1 ( Oy ) Oy ham yopiq. Shunday qilib, to'plamlar f ( O ₁ ) = g ( O ₁ ) va f ( O2 ₎ = g ( O _{2 )} U va U da ajratilgan ochiq-yopiq bo'ladi = f ( O ₁ ) f ( O ₂ ), ya'ni. U mahallasi uzilgan. Bu mahallani tanlashga zid keladi U. _
Yopiq xaritalashlar uchun qatlamli ulanish va ulanish o'rtasidagi natijaviy munosabatlar endi quyidagi teorema ko'rinishida ifodalanishi mumkin:
2.3 teorema. Yopiq xaritalash f : X → Y faqat va faqat tolali ulangan bo'lsa ulanadi.
(Nulosa 2.1 va 2.5 taklifidan kelib chiqadi).
Oxirgi teorema va 2.2-2.3 takliflaridan quyidagi xulosalar olinadi:
Xulosa 2.3. Xaritalash f bo'lsin : X → Y yopiq, Z  X X da yopilgan. Submap g = f | _Z : Z  Y faqat va faqat tolali ulangan bo'lsa ulanadi.
Xulosa 2.4. Xaritalash f bo'lsin : X → Y yopiq, T  Y - ixtiyoriy to'plam. Kichik xarita g = f |  : f ^–1 ( T ) T , agar u tolali ulangan bo'lsa, ulanadi.
Bu yerda muhokama qilingan xususiyatlar keyingi paragraflarda ulangan va ajratilgan xaritalash misollarini yaratish uchun asos sifatida ishlatiladi.