Parabolik-giperbolik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalalar”

1.2-§. Xususiy hosilali tenglamalar
1. Quyidagi tenglama
(1.30)
2-tartibli ikki o‘zgaruvchili xusisiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Bu yerda - erkli o‘zgaruvchilar, esa noma’lum funksiya, - berilgan funksiya bo‘lib, ushbu shartni qanoatlantiradi:
.
Agar (1.30) tenglama berilgan sohada aniqlangan, uzluksiz funksiya, bu tenglamada qatnashayotgan xususiy hosilalarga ega bo‘lib, uni ayniyatga aylantirsa, u holda bu funksiya (1.30) tenglamaning regulyar yechimi deyiladi.
Ushbu
(1.31)
yuqori tartibli hosilalarga nisbatan tenglama chiziqli tenglama, agar koeffisientlar lardan tashqari larga ham bog’liq bo‘lsa, u holda bunday tenglama kvazi chiziqli tenglama deyiladi.
Agar funksiya funksiya va uning barcha tartibdagi hosilalariga nisbatan chiziqli bo‘lsa, u holda (1.30) tenglama chiziqli tenglama deyiladi:
, (1.32)
bu yerda - berilgan funksiyalar.
Agar bo‘lsa, chiziqli tenglama bir jinsli, bo‘lsa, bir jinsli bo‘lmagan tenglama deyiladi.
(1.31) tenglamani qaraymiz. _- erkli o‘zgaruvchilarni yangi - o‘zgaruvchilarga shunday almashtiraylikki, (1.31) tenglama sodda ko‘rinishga kelsin:
. (1.33)
Bu almashtirish teskari almashtirishga ega bo‘lsin, ya’ni
(1.31) tenglamada qatnashayotgan hosilalarni yangi o‘zgaruvchilarga almashtiramiz:
,
,
(1.34)
.
(1.34) tengliklarni (1.31) tenglamaga olib borib qo`yamiz. U holda
(1.35)
bu yerda


funksiya 2-tartibli hosilalarga bog’liq bo‘lmaydi.
va larni shunday tanlab olamizki, bo‘lsin.
Quyidagi 1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamani qaraymiz:
(1.36)
(1.36) tenglamaning biror xususiy yechimi bo‘lsin. (1.36) ni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:
(1.37)
va buni soddalashtiramiz,

(1.38)
Bu yerdan
, (1.39)
. (1.40)
Ta’rif: (1.39), (1.40) tenglamalar (1.31) tenglamaning xarakteristik tenglamalari deyiladi, ularning yechimlari
(1.41)
esa - xarakteristikalari deyiladi.
Belgilash kiritamiz:
Ta’rif. (1.31) tenglama 1) bo‘lsa, giperbolik tipga tegishli,
2) bo‘lsa, parabolik tipga tegishli,
3) bo‘lsa, elliptik tipga tegishli deyiladi.
Misollar keltiramiz:
1. - elliptik tipdagi tenglama, chunki,
2. bu tenglamada . Bu tenglama da elliptik, da giperbolik, da parobolik tipga tegishli.
Ushbu 3 ta holni ko‘rib chiqamiz.
bo‘lsin. (1.31) tenglama sohada giperbolik tipga tegishli.
Demak (1.39), (1.40) xarakteristik tenglamalar va ularning yechimlari haqiqiy va xar hil bo‘ladi. Ularning umumiy integrallari haqiqiy xarakteristikalar oilasini aniqlaydi.
(1.31) tenglamada quyidagi almashtirishni bajaramiz.
(1.42)
o‘rinli. Shu sababli, tenglamada xosmas almashtirish bajarish natijasida tenglamaning tipi o‘zgarmaydi.
(1.35) da: bo‘ladi. Demak,
. (1.43)
Bu yerda ; (1.43) – giperbolik tenglamaning kanonik ko`rinishi deyiladi.
(1.43) da quydagi almashtirishni bajaramiz: (1.43) dan

kelib chiqadi.
Demak, tenglamani kanonik ko‘rinishga keltirish uchun:

1. 
   (1.39), (1.40) sistemani yozamiz;
   
2. 
   (1.41) yechimni topamiz;
   

3. 
   (1.42) almashtirishni bajaramiz.
   

bo‘lsin. (1.31) tenglama parabolik tipga tegishli.

Bu holda

almashtirishni bajaramiz, - ihtiyoriy φ ga bo‘g’liq bo‘lmagan funksiya.
O‘zgaruvchilarni bunday tanlaganimizda

bo‘ladi, chunki _, bu yerdan:

(1.35) tenglamani oldidagi koeffitsiyentga bo‘lsak, parabolik tipdagi tenglama uchun kanonik formani olamiz:
.
Agar o‘ng tomondagi Φ funksiya ga bog’liq bo‘lmasa, u holda bu tenglama ξ - ga parametr sifatida bog’liq bo‘lgan oddiy differensial tenglama bo‘ladi.
bo‘lsin. (1.31) tenglama elliptik tipga tegishli. Bu holda, (1.39), (1.40) xarakteristik tenglamalarning o‘ng tomonlari kompleks bo‘ladi.
(1.39) tenglamaning ko‘mpleks integrali bo‘lsin, u holda (1.40) qo‘shma tenglamaning umumiy integrali bo‘ladi. Kompleks o‘zgaruvchilarga o‘tamiz:

Shuning uchun elliptik tipdagi tenglama ham huddi giperbolik tipdagi tenglama ko‘rinishiga keladi.
Kompleks o‘zgaruvchilardan haqiqiy o‘zgaruvchilarga o‘tamiz. Buning uchun yangi α, β o‘zgaruvchilarni kiritamiz:


_Bundan

bu holda



ya’ni
(1.35) tenglamani oldidagi koeffitsiyentga bo‘lgandan keyin quyidagi ko‘rinishga keladi:

Shunday qilib, ifodaning ishorasiga qarab, (1.31) tenglamaning kanonik formalari quyidagicha:
(giperpolik tip) yoki ;
(elliptic tip) ;
(parabolik tip) .
2. Ikkinchi tartibli kvazichiziqli differensial tenglamani qaraymiz [10],[11]
(1.44)
bu yerda koeffitsiyentlar biror yopiq sohada uzluksiz haqiqiy funksiyalar bo‘lib, , -berilgan funksiya, - noma’lum funksiya.
Agar sohada (1.44) tenglamani elliptik (giperbolik) tipga tegishli bo‘lib, ya’ni ( ), sohaning butun chegarasida yoki bu chegaraning biror qismida bo‘lsa, u holda (1.44) tenglamani buziluvchan elliptik (buziluvchan giperbolik) tenglama deyiladi. soha chegarasining bu qismi esa (1.44) tenglama uchun buzilish chizig’i yoki parabolik chizig’i deyiladi.
parabolik chiziq nuqtalarida ikkita hol bo‘lishi mumkin:yoki
(1.45)
yoki
(1.46)
Agar (1.445) shart bajarilsa, u holda (1.44) tenglama birinchi tur buziluvchan elliptik (giperbolik) tenglama deb ataladi. Agar (1.46) bajarilsa - ikkinchi tur buziluvchan elliptik (giperbolik) tenglama deb ataladi.
Endi regulyar yechim tushunchasini keltiramiz.
(1.44) tenglamaning sohadagi regulyar yechimi deb, bu tenglamani sohaning barcha nuqtalarida qanoatlantiruvchi funksiyani ataymiz.