Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti

8. Zarrachalarning eni cheklangan potensial to`siqdan o`tishi. Tunnel effekti

Energiyasi E bo`lgan x o`qi yo`nalishida harakatlanayotgan zarrachaning yo`lida to`g`ri burchakli, kengligi  va balandligi U bo`lgan potensial to`siq turgan bo`lsin (1-rasm). Bunday potensial to`siq uchun quyidagi shart o`rinli bo`ladi,

Zarrachaning energiyasi E < U bo`lganda у to`siqning orqa tomoniga o`ta olish yoki o`ta olmasligini aniqlash talab qilinsin. Klassik mexanikada bunday masala sifatida v tezlik bilan gorizontal silliq joyda harakatlanayotgan jism balandligi h bo`lgan tepalikka duch kelsa, uni bu tepalikdan o`ta olish yoki o`taolmasligini aniqlash masalasini olish mumkin. Klassik mexanikada bunday masalaga osonlikcha javob topsa bo`ladi. Agar jismning kinetik energiyasi mv²/2>mgh bo`lsa, u to`siqdan o`tadi, agar mv²/2

1-rasmdan ko`rinadiki, to`lqin funksiya to`siqning ichki qismida ham nolga teng emas. To`siqning kengligi uncha katta bo`lmaganda to`siqdan keyingi 3 sohada ham u o`shanday impuls va chastotadagi de-Broyl to`lqinidan iborat bo`ladi, faqat amplitudasi kichiklashadi. Demak, zarrachaning energiyasi E< U bo`lsa ham, uni to`siqdan o`tish ehtimolligi noldan katta ekan. Shunday qilib, kvant mexanikasi butunlay yangi, o`ziga xos hodisaga duch keldi. Kvant mexanikasida zarrachalarni potensial to`siq orqali o`tishiga tunnel effekti deyiladi.

Tunnel effektini tasvirlash uchun potensial to`siqning shaffoflik koeffitsenti tushunchasi kiritilgan. Shaffoflik koeffitsentini topish uchun xuddi optikadagidek to`siqdan o`tayotgan de-Boryl to`lqini intensivligini, to`siqqa tushayotgan de-Broyl to`lqini intensivligiga bo`lish kerak:

D= (8.1)

Bu koeffitsiyentni de-Broyl to`lqinini to`siqdan o`tish ehtimoli sifatida qabul qilish mumkin. Hisoblashlar to`g`ri burchakli potensial to`siqning shaffoflik koeffitsiyenti

(8.2)

formula bilan aniqlanishini ko`rsatadi.

(8.2) formuladagi D_o o`zgarmas koeffitsentning qiymati 1 ga yaqin. (8.2) formuladan ko`rinadiki, D zarrachaning massasi m ga, to`siqning kengligi  ga va energiya farqi (U-E) ga kuchli bog`lik. To`siq qancha keng bo`lsa, zarrachani undan o`tish ehtimolligi shuncha kichik bo`ladi. quyidagi 1-jadvalda energiya farqi U-E= 5 eV bo`lganda D ning  ga bog`liq holda o`zgarishi ko`rsatilgan.

 ()	1	1,3	1,5	1,8	2,0	5,0	10,0
D	0,1	0,04	0,03	0,016	0,008	5,5∙10^-7	1,4∙10^-12

Jadvaldan ko`rinib turibdiki, to`siqning kengligi 1 dan 10 gacha ortganda D bir necha marta kamaymoqda. Dning jadvaldagi oxirgi qiymatlari zarrachani to`siqdan umuman o`tmasligini bildiradi. Ixtiyoriy shakldagi potensial to`siqning (1-rasm) shaffoflik koeffitsiyenti integrallash bilan topiladi:

D=D₀

bu yerda U=U(x)

Zarrachaning energiyasi Ek+U(x) bo`lsa, U(x)>E bo`lganda E_k<0 bo`ladi. Kvant mexanikasi nuqtai nazaridan qaraganda bunda hech qanday qarama-qarshilik yo`q. Agar zarracha to`siq tomon harakat qilayotgan bo`lsa, u ma`lum bir energiyaga ega. Agar zarrachani to`siq bilan o`zaro ta`siri t vaqt oralig`ida sodir bo`lsa, noaniqliklar munosabatiga ko`ra uning energiyasi Еh/t noaniqlikka ega bo`ladi (1-rasm). Agar energiyaning bu noaniqligi E to`siqning balandligi bilan to`liq energiya farqidan katta bo`lsa (E<sub>k</sub> >U-E ), zarracha to`siqdan o`tib ketadi. Bu hodisa fizikada tunnel effekt deb ataladi. Zarrachalarni potensial to`siq orqali o`tishi ko`p tajribalarda tasdiqlandi. Masalan, metallarda elektronlarning sovuq emissiya hodisasi kuzatiladi. Elektron metaldan vakuumga chiqishi uchun, ya`ni vakuum bilan metall chegarasidagi potensial sakrashni engishi uchun, unga juda katta elektr maydoni ta`sir etish kerak. Lekin tunnel effekti tufayli yuz barovar kichik elektr maydoni ta`sirida ham metallarda elektronlar emissiyasi sodir bo`laveradi. Qattiq jismlar fizikasida metall bilan yarim o`tkazgich, yarim o`tkazgich bilan yarim o`tkazgich chegarasidan elektr tokini o`tish qonuniyati ham ko`p hollarda shu tunnel effekti bilan tushintiriladi.

Atom yoki molekulalarni klassik fizikada ko`rsatilganidan kichik elektr maydonlari ta`sirida ham ionlashishi tunnel effekti bilan izohlanadi. Bu hodisa fizikada nurlanish hodisasi deb yuritiladi. Radioaktivlikdagi - sochilish ham shu effekt tufayli yuz beradi.

9. Kvant kimyosida chiziqli garmonik otsilyator.

Klassik va kvant nazariyalarning ko`p masalalarini echishda elastik kuchga o`xshagan kuch ta`sirida tebranma harakat qiluvchi sistemadan model sifatida foydalaniladi va uni chiziqli garmonik ostsillyator deb ataladi.

Prujinali, fizik va matematik mayatniklar garmonik ossillyatorlarga misol bo`la oladi. Garmonik ossillyatorning potensial energiyasi

U= (9.1)

formula bilan aniqlanishi bizga ma`lum. Bu yerda <sub>0</sub> - ossillyatorning xususiy chastotasi, m - ossillyatorning massasi. (9.1) bog`lanish grafigi paraboladan yoki boshqacha aytganda parabola shaklidagi "potensial chuqurlikdan" iborat bo`ladi (1-rasm).

Ossillyatorning to`liq energiyasi uni potensial va kinetik energiyalarining yig`indisiga teng va u vaqt o`tishi bilan o`zgarmaydi:

Е=E_k +U=m²A²/2 Е=E_k +U=m²A² (9.2)

(9.2) formula energiyaning saqlanish qonunini ifodalaydi. Doimo potensial energiyaning maksimal qiymati, kinetik energiyaning minimal qiymatiga va ularning har biri ostsillyatorning to`plagan to`liq energiyasiga teng:

U_max=E_kmax =Е

Energiyaning saqlanish qonuniga ko`ra to`liq energiya ossillyatorga berilgan dastlabki energiyaga teng bo`ladi. Ossillyatorning to`liq energiyasi uni tebranishi davomida potensial va kinetik energiya orasida turlicha taqsimlanadi. Agar 1-rasmda ko`rsatilgan grafikda to`liq energiyaga mos joydan gorizontal chiziq o`tkazsak, bu chiziqni koordinatalari x=A bo`ladi, bu yerda A- ostsillyatorning tebranish amplitudasi. Ostsillyator -A,+A oraliqdan chiqa olmaydi. Agar u bu oraliqdan chiqadi desak, uni potensial energiyasi to`liq energiyadan katta bo`lib, energiyaning saqlanish qonuni buziladi. Demak, klassik ossillyator chegaralangan fazo sohasida tebranadi. Yuqorida garmonik ostsillyator haqida yuritgan fikrimiz klassik mexanika nuqtai nazaridan to`g`ri.

Kvant kimyoda chiziqli garmonik ossillyator - kvant ossilyator deb ataldi. Kvant ossillyatorga misol qilib, kristall panjara tugunida tebranma harakat qilayotgan atomni, molekulani va umuman olganda tebranma harakat qilayotgan har qanday mikrozarrachani olish mumkin.

Kvant ostsillyatori uchun Shredinger tenglamasi quyidagi ko`rinishda bo`ladi:

(9.3)

Bu yerda U= - ossillyatorning potensial energiyasi.

E-ossillyatorning to`liq energiyasi.

Differensial tenglamalar nazariyasidan ma`lumki, (9.3) ko`rinishdagi differensial tenglama energiyaning

E_n=(n+1/2)h₀ (9.4)

bo`lgan xususiy qiymatlarida yyechimga ega. (9.4) formuladan ko`rinadiki, kvant ostsilliyatorning energiyasi diskret qiymatlarni qabul qilib o`zgaradi, ya`ni uning energiyasi kvantlanadi. Kvant ossillyatorning ham eng kichik energiyasi vertikal devorli potensial o`ra ichidagi zarrachaning energiyasiga o`xshab, noldan katta bo`ladi. Ossillyatorning bu eng kichik energiyasi (9.4) formuladan n=0 bo`lganda

E₀=(0+1\2)h₀=1\2h₀ bo`ladi.

Bu minimal energiya-nolinchi tebranish energiyasi deb ham ataladi va uning bo`lishligi noaniqliklar munosabati bilan bevosita bog`liqdir.

Ossillyatorning nolinchi tebranishini mavjudligi zarrachani potensial chuqurning tubiga hech qachon tushmasligini ko`rsatadi yani E<sub>0</sub>=0 bo`lishi mumkin emas va bu xulosa har qanday shakldagi "potensial chuqur" uchun ham to`g`ridir. Zarrachani potensial o`raning tubiga tushishi noaniqliklar munosabatiga zid keladi. Chunki, u o`raning tubiga tushgan taqdirda, uning impulsi va impulsining noaniqligi ham nol bo`ladi, koordinatasining noaniqligi ∆x→∞ esa cheksiz katta bo`lib qoladi. Bu holda zarrachani chuqur ichida bo`lishi ham noaniq bo`lib qoladi. Kvant ossillyatorida nolinchi tebranish energiyasini bo`lishi klassik nazariyaga butunlay zid keladi. Chunki, klassik nazariyada ostsillyatorning eng kichik energiyasi uni tebranmasdan tinch turgan holatiga mos keladi. Haqiqatdan ham, bu vaqtda uning energiyasi nol bo`lishi kerak. Masalan, klassik fizikaga ko`ra temperatura T=0 bo`lganda kristall pajara tugunlaridagi atomlarning tebranma harakat energiyasi ham nol bo`lishi kerak. Shuningdek atomlarning tebranishi to`htashi tufayli yorug`likning moddada sochilishi ham yo`qolishi kerak. Lekin temperatura absolyut nolga yaqinlashganda (T0) ham yorug`likning moddada sochilishi nol bo`lmasdan, qandaydir o`zgarmas chegara qiymatga intiladi. Bu absolyut nol temperaturada ham atomlar tebranishdan to`xtamasligini, ya`ni nol tebranish energiyasi mavjudligini tasdiqlaydi. Absolyut nolga juda yaqin temperaturada geliyning suyuq holda qolishi ham nol tebranish energiyasi orqali izohlanadi.

(9.4) formuladan ko`rinadiki, ostsillyatorning energiya sathi kvant soni n ga bog`liq bo`lmaydi va ular bir-biridan bir xil oralikda joylashadi Vertikal devorli cheksiz chuqur o`rada bo`lsa, n ortishi bilan energiya sathlari orasidagi masofa ham ortib boradi (1-rasm). (9.4) formulada n>>1 (n+1/2n) bo`lganda ossillyatorning energiya sathlari uchun

E_n=n ^. h₀

formulani yozish mumkin. Bu formula absolyut qora jism nurlanishining kvant nazariyasini yaratishda M.Plank gipoteza tarzida keltirgan formulaning o`zi.

Kvant garmonik ostsillyatorning n=0,1 va 2 kvant holatlar uchun to`lqin funksiyasi grafigi 2-rasmda ko`rsatilgan. _n n-to`lqin funksiyaning nolga aylanadigan nuqtalari to`lqin funksiya tugunlari deb ataladi. Ya`ni , <sub>0</sub> (x) ni ikki chekkasida tugun yo`q. n =1 bo`lganda <sub>1</sub> (x) funksiyani x=0 bo`lgan nuqtada bitta tuguni bor. n=2, bo`lganda <sub>2</sub>(x) funksiyani ikkita tuguni bor. Demak, to`lqin funksiyadagi tugunlar soni kvant soniga teng bo`ladi.

Kvant ostsillyator haqidagi masalaning yyechimidan klassik fizikaga xos bo`lmagan yangi natija kelib chiqadi. Kvant ossillyatori sifatida harakatlanayotgan zarracha klassik fizika nuqtai nazaridan mumkin bo`lmagan sohada ham bo`lishi mumkin. Klassik nuqtai nazardan qaraganda zarracha (-A va +A) oraliqdan chiqa olmasligi kerak. Ammo kvant ossillyatori parabola shaklidagi potensial chuqurdan ham tashqariga chiqishi mumkin.

3-rasmda n=1 kvant holati uchun kvant mexanikasidagi ehtimollik zichliklari solishtirilgan. Grafikdan ko`rinib turibdiki, kvant ostsillyator zichligi klassik fizika ruxsat bermagan sohada ham bo`lishi mumkin. Bu zarrachaning to`lqin xususiyatidan, bevosita Shredinger tenglamasining yyechimidan kelib chiqadi. Bu yechim murakkab bo`lgani uchun biz unga to`xtalmaymiz.

10. Mikrozarrachaning sferik simmetrik potensial maydondagi harakati uchun Shredinger tenglamasi.

Bor atom nazariyasining kamchiliklari aniq bo`lib qolgandan keyin atomlardagi jarayonlarni to`laligicha tushuntirib beruvchi umumiy atom nazariyasini yaratishga kirishildi. Atomning bunday nazariyasini kvant mexanikasi asosida yaratishga harakat qilindi. Natijada atomning Bor nazariyasida postulot tarzida qabul qilingan elektron energiyasining kvantlanishi Shredinger tenglamasi yechimidan o`z-o`zidan kelib chiqishi ma`lum bo`ldi. Bor atom nazariyasini postulotga tayanib yaratgan bo`lsa, atomning yangi nazariyasida bunga hojat bo`lmadi.

Kvant mexanikasida zarrachaning harakati, holat funksiyasi va energiyasi uni qanday maydonda harakat qilayotganligiga bog`liq. Biz oldingi ma`ruzalarda zarrachalarning bir o`lchovli potensial maydondagi harakatlari bilan tanishdik. Ko`pincha potensial maydonlar markaziy simmetrik yoki boshqacha aytganda sferik simmetrik bo`ladi, bunday maydonga misol qilib atom yadrosining Kulon maydonini olish mumkin. Zarrachaning markaziy sferik potensial maydondagi harakatini o`rganish, atom tuzilishini, undagi elektronlarning holat funksiyasini va energiyasini aniqlash uchun xizmat qiladi. Atom yadrosining massasi atomdagi barcha elektronlarning massasidan ham bir necha marta katta. Masalan, vodorod atom yadrosi massasi elektron massasidan 1836 marta katta. Atom yadrosi atrofidagi markaziy simmetrik maydonda elektronlar harakat qiladi. Elektronlarning bu harakatini o`rganish uchun sanoq sistemasining boshi sifatida atom yadrosini olamiz. Bunday sistemada atom yadrosi elektronlar harakatlanayotgan maydon kuchlarining manbai hisoblanadi. Yadro bilan elektronlar orasidagi Kulon o`zaro ta`sir kuchlari, atom zarrachalarining magnit momentlarining o`zaro ta`sir kuchidan bir necha marta katta bo`lgani uchun asosiy hisoblanadi.

Vodorod atomining asosiy turg`un holati uchun Shredinger tenglamasi qanday ko`rinishda bo`lishini ko`raylik. Elektronning holati faqat yadrodan elektrongacha bo`lgan r masofaga bog`liq bo`lgan sferik to`lqin funksiya  ni o`z ichiga olgan Shredingerning turg`un holat tenglamasi bilan ifodalanadi.

(10.1)

Bu formulada E atomdagi elektronning to`liq energiyasi. (10.1) tenglamadagi qavs ichidagi ikkinchi ifoda vodorod atomi yadrosi bilan elektron orasidagi masofa r ga bog`lik bo`lib u:

U(r)= - (10.2)

ko`rinishda yoziladi.

U(r) funksiyaning grafigi 1-rasmda yo`g`on egri chiziq bilan tasvirlangan. Rasmdan ko`rinib turibdiki, elektron yadroga yaqinlashgan sari U (r) cheksiz kamayib (moduli cheksiz ortib) boradi.

(10.1) ko`rinishdagi differentsial tenglamani yechish anchagina murakkab matematik amallarni talab qiladi. Shuning uchun tenglamani qanday yechish yo`llariga to`xtalmay, uni tayyor yechimini muhokama qilamiz.

(10.1) ko`rinishdagi tenglama ikki holda, ya`ni elektron energiyasi Ye>O bo`lgandagi E ning har qanday qiymatida va E ning

(10.3) (n=1, 2 3, .) shartni qanoatlantiruvchi manfiy diskret qiymatlarida yechimga ega bo`lar ekan. E>O bo`lgan hol yadro yaqinidan o`tib, undan cheksizlikkacha uzoqlashayotgan elektronga, EO qiymatlaridagi yechimlari vodorod atomini emas, balki atom bo`lib birikmagan yadro va fazodagi erkin elektronni aks ettiradi. E

Demak, (10.3) formuladan ko`rinadiki, vodorod atomida elektronning energiyasi diskret energetik sathlar bo`yicha o`zgaradi. Bu sathlarini joylashishi Е<sub>1</sub>, Е<sub>1</sub>, Е<sub>2</sub>, Е<sub>3</sub>, . . . energiyalar uchun 1-rasmda ko`rsatilgan.

Energiyasi eng kichik bo`lgan E1 sath elektronning asosiy turg`un holatini ifodalaydi. Bu minimal energiyadan katta bo`lgan energiya sathlari (Е<sub>n</sub>>E<sub>1</sub>, n=2,3, . . .) atomning uyg`ongan holatiga mos keladi. Elektron energiyasini E<0 bo`lishi uni bog`langan ekanini va giperbolik potensial o`rada joylashganini ko`rsatadi. Rasmdan ko`rinadiki, bosh kvant sonlari n ortishi bilan energetik sathlar zichroq joylashib boradi va n= bo`lganda E=0 bo`ladi. Energiyasi E>0 bo`lganda elektron erkin elektronga aylanadi va uning energiyasi uzluksiz o`zgaradi (shtrixlangan soha, 1-rasm).

(10.3) formuladan turg`un holatda bo`lgan vodorod atomi uchun ionizatsiya energiyasini hisoblash mumkin:

E_i=-E₁==13,55 eV

Demak, asosiy holatda bo`lgan vodorod atomidan elektronni uchirib chiqarish uchun 13,55 eV energiya kerak. Bu atomning ionlashish energiyasidir. Atomni ionlashish energiyasi tushunchasi bilan birga ionlashish potensiali tushunchasi ham ishlatiladi. Atomning ionlashish potensiali deb, atomdan elektronni ajratib chiqarish uchun kerak bo`lgan energiyani elektronning zaryadiga nisbatiga aytiladi. Ionlash potensialini Frank va Gers tajribalaridagi qurilma yordamida o`lchash mumkin. Bunda simob bug`larini vodorod bilan almashtiriladi. To`rga berilgan kuchlanish 13,6 V ga yetkuncha zanjirda tok hosil bo`lmaydi. Kuchlanish 13,6 V ga borganda tok hosil bo`lib, kuchlashishning keyingi ortishida u tez ortib boradi. Zanjirda tokning hosil bo`lishi vodorod atomlarini energiyasi 13,6 eV ga etgan elektronlar bilan to`qnashishi natijasida ionlashishi bilan tushuntiriladi. Bundan ko`rinadiki, vodorod atomining tajribada topilgan ionlashish energiyasi nazariy hisoblangan qiymatga mos keladi.

11. Vodorod atomi: kvant sonlari, energetik spektri, orbital impuls momenti va uning fazoviy kvantlanishi.

Kvant mexanikasida vodorod atomidagi elektronning holati uchta kvant soni bilan aniqlanadi: n-bosh kvant soni, -orbital kvant soni, m-magnit kvant soni. Bosh kvant soni n-elektron ega bo`ladigan energiya qiymatlarini ifodalash bilan birga elektron orbitasi diametrini ham belgilaydi.

Orbital kvant soni orbita shaklini, ya`ni eliptiklik darajasini aniqlasa, magnit kvant soni elektron orbitasining fazodagi orentatsiyasini (vaziyatini) bildiradi.

Kvant mexanikasi atomning Bor nazariyasidagi elektronning impuls momentini kvantlanishiga aniqlik kiritdi. Bor nazariyasida energiyaning kvantlanishi elektronning impuls momentini kvantlanish shartidan kelib chiqqan bo`lsa, kvant mexanikasida u impuls momentini kvantlanishiga bog`liq bo`lmagan holda Shredinger tenglamasining yyechimidan kelib chiqadi. Qandaydir En energetik sathdagi elektronning energiyasiga impuls momentining n ta qiymati mos keladi. Impuls momenti ixtiyoriy qiymatlarini qabul qilmasdan, quyidagi

(11.1)

formula bilan aniqlanuvchi diskret uzunlik (tayinli) qiymatlarini qabul qiladi. Bu formuladagi  -orbital kvant soni bo`lib, yan n-1 gacha bo`lgan n ta qiymatlarni qabul qiladi:

 = 0, 1, 2, . . . , n-1 (11.2)

Elektronning impuls momenti ellips shaklidagi orbitaning ekssentrisitetiga, ya`ni orbitaning shakliga ta`sir kiladi. Bir xil energiyali, impuls momentlari har xil bo`lgan elektron katta o`qini uzunligi bir xil bo`lgan, lekin ekstsentrisitetlari bilan farqlanuvchi turli elliptik orbitalar bo`ylab aylanadi. Demak,  ning har bir qiymatiga mos orbitalar mavjud.

Kvant mexanikasida orbital kvant sonini =0 qiymatiga mos keluvchi atom holatiga s-holat, n=1 bo`lgandagi holatiga p-holat, =2 bo`lgandagi holatiga d-xolat mos keladi deb belgilanadi. Keyingi holatlar f, g, h harflar bilan ifodalanadi. Ya`ni, atom holatlari lotin alifbosidagi kichik harflar bilan belgilanadi.

Magnit kvant soni ml elektronning impuls momenti vektori L ni tashqi magnit maydoni ta`sirida h ga karrali bo`lgan ma`lum vaziyatlarni olib joylashish tartibini ko`rsatadi. Ya`ni z yo`nalish bo`yicha impuls momentining proyeksiyasi

(11.3)

ifoda bilan aniqlanadi. Bu erda ml=magnit kvant soni bo`lib, u -  dan 0 orqali +l gacha bo`lgan butun sonli qiymatlarni oladi, ya`ni

m_ = - , - ( - 1), . . . , - 1, 0, +1, . . . , ( - 1), + 

bo`lib, hammasi bo`lib 2+1 qiymatini qabul qiladi. Demak, elektronning impuls momenti vektori fazoda 2+1 vaziyatlarni olib joylashishi mumkin.

Vodorod atomidagi elektron energiyasining (11.3) formula bilan aniqlanuvchi har bir qiymatiga bir necha to`lqin funksiya mos keladi, ular bir-biridan l va m kvant sonlari bilan farqlanadi. Misol tariqasida n=2 ga teng bo`lgan holni muhokama qilaylik. Orbital kvant soni l, (11.2) shartga asosan, 0 yoki 1 qiymatga ega bo`la oladi. = 0 (S-holat) bo`lganda magnit kvant soni ml, (11.3) shartga asosan faqat 0 qiymatini oladi. Bunda elektronning mexanik impuls momenti ham nolga teng bo`ladi. Bu holatda elektron mavjud bo`ladigan fazodagi soha sferik simmetriyaga ega bo`ladi. Ya`ni, yadro ma`lum qalinlikdagi dumaloq elektron buluti bilan o`ralgan deyish mumkin. Elektron bulutini zich joylari elektron orbitasining birinchi Bor radiusiga (r₁=0,53.10^-10м) mos keladi. Kvant mexanikasida elektronning "orbita" tushunchasi o`z ma`nosini yo`qotadi. Lekin, kvant mexanikasi elektronning fazoning qaysi nuqtasida qayd qilinishi ehtimolligi haqida axborot bera oladi.

(1(a)-rasm). Bunda L vektorini qiymati

L= bo`ladi.

Agar =2 (d-holat 1 (b)-rasm) bo`lsa, m=-2; m=-1; m=-0; m=1; m=2 qiymatlariga mos holda L vektorining besh vaziyati kuzatilishi mumkin.

l = 3 (f -holat) bo`lganda L ning ettita vaziyati mavjud bo`ladi va vo hokazo.

Atomda bir energetik sathga bittadan ko`p holatlar to`g`ri kelishiga sathning turlanishi (aynishi) deyiladi.

Bir xil energiyali holatlar soniga turlanish karraligi deyiladi. Vodorod va vodorodga o`xshagan atomlarda n=1 bo`lgan asosiy turg`un holati turlanmagan sath hisoblanadi. Lekin elektronning spinini hisobga olsak, vodorod atomidagi n=1 holat ham ikki karra turlangan bo`lishligi kelib chiqadi. Bunga keyin to`xtalamiz. Kvant soni n=2 bo`lgan sath to`rt karra turlangan bo`ladi, bunda orbital kvant soni =0 (ml=0) bo`lgan bir holat va =1 (m<sub></sub>=0, 1 bo`lgan uch holat.Keyingi n=3 va n=4 bo`lgan sathlar mos holda 9 va 16 karra turlangan bo`ladi (1-jadval). Atomdagi umumiy holatlar sonini aniqlash uchun elektronning spinini hisobga olib turlanish karraligini ikkiga ko`paytirish kerak. Bunday bo`lishi Paulining ta`qiqlash prinsipidan kelib chiqishini keyingi ma`ruzada ko`rib chiqamiz.

Bosh kvant soni, n	Orbital kvant soni, 	Magnit kvant soni, m	holatning belgilanishi	Turlanish karraligi (orbital impuls momenti bo`yicha)
1	0	0	1S^2	1hil
2	0 1	0 0, 1	2S^2 2Р^6	1hil 3hil
3	0 1 2	0 0, 1 0, 1, 2	3S^2 3Р^6 3d^10	1hil 3hil 5hil
4	0 1 2 3	0 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3	4S^2 4Р^6 4d^10 4f^14	1hil 3hil 5hil 7hil

Elektronning orbital mexanik momenti bilan magnit momenti orasida quyidagicha bog`lanish bor:

Р_m = L (11.4)

Bu yerda  - giromagnit nisbat deyilib, у =e/2m formula bilan aniqlanishi bizga elektromagnetizm kursidan ma`lum.  ning yuqoridagi ifodasini va L ning (7.4) formulasini (7.8) ga qo`ysak.

(11.5)

ifoda hosil bo`ladi. Bunda

kattalik Bor magnetoni deb ataladi.

Yuqoridagi (11.5) ifoda mexanik momenti ℓ ning kvantlanishidan magnit momenti P_m ni ham kvantlanishi kelib chiqishini ko`rsatadi.

Orbital magnit momentini tashqi magnit maydoni yo`nalishidagi tashkil etuvchisi

ko`rinishida aniqlanadi. Bu yerda m<sub>ℓ</sub> - magnit kvant soni. Mexanik moment bilan magnit moment elektronni zaryadi manfiy bo`lgani uchun antiparalel, ya`ni qarama-qarshi yo`nalgan va ular fazodagi vaziyati kvantlanadi. Masalan s-holatda ( = 0, m = 0) har ikkala moment ham nolga teng. Elektronning mexanik va magnit momentlarini fazoda kvantlanishi tajribada tasdiqlanishi kerak edi. Bunday tajribani 1922 yilda nemis fiziklari Otto Shtern va Valter Gerlax o`tkazdilar.

Kvant sonlari n,  va m_ Bor nazariyasidan olingan vodorod atomining chiqarish (yutilish) spektrini hosil bo`lishini to`liq tasvirlashga imkon beradi.
12. Kvant o`tishlar uchun tanlash qoidasi. Vodorodsimon atomlar nurlanish spektri.

Kvant mexanikasida atomdagi elektronni bir sathdan boshqa sathga o`tishini chegaralovchi tanlash qoidasi bor. Bu qoidaga ko`ra yadroning markaziy-simmetrik maydonida elektronning ixtiyoriy o`tishlari amalga oshmaydi.Atomda orbital kvant sonlari faqatgina bir-birlikka o`zgaradigan, ya`ni l=1 bo`ladigan o`tishlargina amalga oshadi, 1-rasmda vodorod atomi spektral seriyalarining kvant mexanikasi nuqtai nazaridan hosil bo`lishi tasvirlangan.

Vodorod nurlanish spektridagi Layman seriyasi nр1s (n=2,3,...) o`tishlarga, Balmer seriyasi esa nр2s, ns2р, nd2р (n=3,4,....) o`tishlarga mos keladi. Elektronni asosiy holatdan qo`zg`algan holatga o`tishi atomning energiyasini ortishi bilan, ya`ni uni foton yutishi bilan bog`liq. Vodorodning yutilish spektrida faqat Layman seriyasi kuzatiladi, u atomni asosiy holatdan turli energiyali qo`zg`algan holatlarga o`tishini ko`rsatuvchi kvant o`tishlarga mos keladi.

Vodorodsimon atomlarning energetik sathi vodorod energiya sathidan Z² marta farq qilib, ular uchun Balmer formulasi

ko`rinishda ifodalanadi. Bunda Z Mendeleyev davriy sistemasidagi atomning tartib raqami. Yuqoridagi formuladan ko`rinadiki, vodorodsimon atomlarning spektri qisqa to`lqin uzunlik tomon siljigan bo`ladi. Masalan, Z>10 bo`lganidayoq birinchi spektral seriyaning to`lqin uzunligi rentgen nurlanishi to`lqin uzunligi oralig`ida bo`ladi. Og`ir ionlarning nurlanish energiyasi esa 100 keV atrofidadir. Lekin n ning katta qiymatlarida og`ir ionlardan ham ko`zga ko`rinuvchi va IQ sohaga mos keluvchi spektral chiziqlar ham qayd qilinadi. Ishqoriy metallarning spektri vodorod spektriga o`xshash bo`ladi. Chunki, ularning ham tashqi elektron qobig`ida bittadan elektroni bor. Lekin bu tashqi elektronning energiya sathi vodorodnikiga qaraganda ancha yuqori joylashgan, u quyiroq energetik sathlarga o`taolmaydi. Chunki, bunga Paulining ta`qiqlash prinsipi yo`l qo`ymadi. Masalan, Na da (Z=11) 1s, 2s, 2p holatlar elektron bilan to`la bo`ladi, uning tashqi elektronining asosiy holati 3s energetik sathdir. Natriy atomi qo`zg`atilganda bu elektron 3p, 3d, 4s, 4p, 4d va boshqa holatlarga o`tishi mumkin. Natriyning nurlanish spektri quyidagi formulaga aniq mos tushadi.

bu yerda n=3,4,..., n₂=n₁+1, n₁+2, .... qiymatlarni oladi. Formuladagi a_l tuzatma s holat uchun 1,35 ga teng. Boshqa holatlarda u nolga yaqinlashadi.

Tashqi elektron qobig`ida bir nechta elektroni bo`lgan atomlarning spektri murakkab va turli xildir. Bunday atomlar valent elektronlarining energiyasi ham vodorod atomi elektron energiyasiga yaqin bo`lib, u elektronni yadrodan qanchalik masofada joylashishiga bog`liq. Turli elementlarning tashqi elektronlarining energiya sathlari bir necha eV atrofida. Shuning uchun, murakkab atomlarning nurlanish va nur yutish spektri ham IQ yoki ko`zga ko`rinuvchi sohasida joylashgan va elementning tartib raqami bilan bog`lanishi ancha murakkabdir.

Atomlar birikib moleklalar va kristallar hosil qilganda ularning tashqi elektron qobiqlarida murakkab o`zgarishlar yuz beradi. Shuning uchun molekulalar va kristallarning spektrlari atomlarnikidan farq qiladi, ularga keyingi ma`ruzalarda to`xtalamiz.

Kvant mexanikasi atomdagi elektronni orbitasi haqidagi tassavurni inkor etgani bilan atomning energetik sathi haqidagi klassik tassavurni saqlab qoldi. Kvant mexanikasi ham vodorod va vodorodga o`xshagan ionlar uchun energetik sathlarning kvantlanishida Bor nazariyasidagidek bir xil natijaga keladi. Lekin, kvant mexanikasi bu masalaga ma`lum aniqliklar kiritdi. Kvant mexanikasidagi noaniqliklar munosabatlari faqat zarrachani koordinatasi bilan impulsining koordinat o`qlaridagi proektsiyasini bog`lab qolmasdan, u zarrachaning energiyasi bilan uning shu energiyali holatda bo`lish vaqtini ham bir-biriga bog`laydi. Buni biz oldingi ma`ruzada ko`rib o`tgan edik.

Zarrachaning ma`lum holatda bo`lish vaqtining noaniqligi t, uni energiyasining noaniqligi E bilan quyidagicha bog`langan:

Bu munosabatni atomdagi elektronga qo`llaylik. Bizga ma`lum ki, atomning asosiy turg`un va qo`zg`algan holatlari mavjud. Tabiiyki, atom asosiy turg`un holatda istagancha uzoq vaqt bo`lishi mumkin. Lekin "qo`zg`algan holda atom qancha vaqt bo`lishi mumkin?" degan savol tuqiladi. Atomning qo`zg`algan holatda bo`lish vaqti juda qisqa (10<sup>-8</sup>  10<sup>-9</sup> s). Atomning turli energetik sathlariga mos keluvchi har xil qo`zg`algan holatlarda bo`lish vaqti ham bir-biridan farq qiladi.

Qo`zg`algan holatdagi atom o`z-o`zidan (spontan holda) quyiroq energetik holatga o`tishi mumkin.

Qo`zg`algan holatdagi atomlar sonini e marta kamayishi uchun ketgan vaqt, atomning qo`zg`algan holatda yashash vaqti deyiladi. Lekin atomda, shunday metastabil holatlar bo`lishi mumkinki, bu holatda uning yashash vaqti ancha katta, sekundning o`ndan bir ulishlarida bo`lishi mumkin. Kvant mexanikasida atomning o`rtacha yashash vaqti haqida gapiriladi. Ma`lum bir atomning qo`zg`algan holatda qancha vaqt bo`lishini kvant mexanikasi aytib beraolmaydi. Atomning qo`zg`algan holatdan normal holatga o`tishi tasodifan sodir bo`ladi. Demak, atomni qo`zg`algan holatda bo`lish vaqtida t noaniqlik diomo bo`ladi. Shu vaqtning noaniqligi energiyaning noaniqligi bilan bog`langan, ya`ni


Agar atomning qo`zg`algan holatda o`rtacha yashash vaqti t=10^-8s ekanini hisobga olsak, energiyaning noaniqligi uchun quyidagi natijani olamiz:

eV
E ning bu qiymati energetik sathlar farqiga nisbatan juda kichik son.
Atomning har bir energetik sathni (chizig`i) o`rtacha E 10^-7 eV oraliqda tasodifiy o`zgarishi mumkin. Bu energetik sathi enliroq bo`lishga olib keladi. Atomning qo`zg`alish energiyasi ortishi bilan uni o`rtacha yashash vaqti qisqarib boradi. Natijada yuqori energetik sathlarning kengligi E ortib boradi (2-rasm). E10^-7 eV qiymat energetik sathning tabiiy kengligi hisoblanadi.

Energetik sathni kengayib ketishi atom spektral chizig`ini ham ma`lum miqdorda yoyilishiga olib keladi. Ya`ni :

Bundan atom sochayotgan nurlanishni Bor nazariyasi ko`rsatgandek qat`iy monoxromatik emasligi kelib chiqadi. Spektral chiziq ma`lum kenglikka ega bo`lib, spektrda ma`lum sohani egallaydi. Olingan  qiymat spektral chiziqning tabiiy kengligi deb qabul qilingan. Spektroskopiyada =10⁸ Gs qiymat juda kichik hisoblanadi.

Ko`zga ko`rinadigan yorug`lik chastotasi 10<sup>14</sup> Gs atrofida bo`lishini hisobga olsak, ekanligi kelib chiqadi. Spektral chiziqlarni kengayishini boshqa sabablari ham bor. Bunga misol qilib spektral chiziqning doplercha kengayishini olish mumkin. Doplercha kengayish nurlanayotgan atomlarning issiqlik tezligi bilan bog`liqdir. Nurlanayotgan atom spektrometrga yaqinlashayotgan bo`lsa, uni chastotasi (Dopler effektiga ko`ra) ortadi, agar u, spektrometrdan uzoqlashayotgan bo`lsa, chastotasi kamayadi. Natijada spektrometr qayd qilayotgan spektral chiziq ikki tomonga kengayadi. Umuman olganda harakatlanayotgan atomning nurlanish chastotasi tinch turgan atomnikidan farq qiladi. Spektral chiziqning Dopler effekti tufayli kengayishi uni biz yuqorida aytib o`tgan tabiiy kengayishidan ancha katta. Shunday qilib, kvant mexanikasi atomlar monoxramatik bo`lmagan nurlanish spektri hosil qiladi degan xulosaga keladi.
13.Pauli prinsipi va elektronlarni murakkab atomlarda holatlar bo`yicha taqsimlanishi. Kvant sonlari.

Atomlarning chiziqli spektrini o`rganish, atom ichiga "nazar solishga" imkon beradi deyish mumkin. Pauli ham atom spektrlarini o`rganib atomda ma`lum bir holatda n, , m<sub></sub>, m<sub>s</sub> to`rtala kvant sonlari bir xil bo`lgan bittadan ortiq elektronni bo`lishi mumkin emas degan xulosaga keldi. Bu fizikada Paulining ta’kidlash prinsipi deb yuritiladi. Pauli prinsipiga yana boshqacha ta'rif berish mumkin: bir xil fermionlardan ikkitasi bir vaqtning o`zida ayni bir holatda bo`lishi mumkin emas.

Tabiatda holati faqat antisimmetrik to`lqin funksiya bilan ifodalanuvchi fermionlar juftini uchratish mumkin. Bundan, agar to`rtala kvant sonlaridan hech bo`lmaganda bittasi bilan, masalan, spin kvant sonlari bilan farq qilsa, bir holatda ikkita elektron bo`lishi mumkin degan xulosa kelib chiqadi. Paulining ta’qiqlash prinsipi shunday kuchli prinsipki, u xatto fizik sistemani o`z-o`zidan eng kichik energiyali xolatni olishga intilishidan ham ustun keladi.

Lekin bozonlar uchun Pauli prinsipi bajarilmaydi. Ayni bir holatda bir xil bozonlardan istagancha sonidagisi bo`lishi mumkin. Atomdagi elektronlarning energetik sathlar (holatlar) bo`yicha taqsimlanishi ham Pauli prinsipiga amal qiladi.

Pauli prinsipini atomdagi elektronlarga tadbiq qilib, quyidagicha ta'riflash mumkin. Atomda n, l, m, s kvant sonlar to`plami bilan ifodalanuvchi ixtiyoriy energetik sathda bittadan ortiq elektronni bo`lishi mumkin emas. Atomda bir energetik sathda ikkita elektron bo`lsa, ular qarama-qarshi spinga ega bo`lishi kerak. Atomda ayni bir n bosh kvant soni uchun bo`lishi mumkin bo`lgan energetik sathlarining umumiy sonini hisoblaylik. Agar n va l larning qiymatlari o`zgarmasdan m va s lari bilan farqlanuvchi sathlar sonini topish kerak bo`lsa, har bir n va m ning 2l+1 ruxsat etilgan qiymati bor. Demak, n va s larning aynan to`plami (2l+1) sathdan iborat. Nihoyat, ayni n uchun l, m va s lari bilan farqlanuvchi sathlar sonini topaylik. Ayni n uchun l ning qiymatlari O dan (n–1) gacha bo`lgan butun sonlarni olishi mumkin. Shuning uchun asosiy kvant soni n ning ayni bir qiymati bilan ifodalanuvchi sathlar soni (arifmetik progressiya hadlarining yig`indisi formulasiga asosan) bo`ladi.

Sathlar soni ham elektronlar soniga teng bo`ladi. 8.2-jadvalda n=1; n=2 va n=3 bo`lgan energetik pog`onalar tasvirlangan. n=1 bo`lgan pog`onalar soni 2 ta, n=2 bo`lgandagi elektronlar soni 8 ta, n=3 bo`lsa, elektronlar soni 18 ga teng. Masalan; vodorod atomida n=1 bo`lgan ikkala pog`onalar bir xil energiyaga ega yoki n=2 bo`lgan sakkizta elektronning hammasi aynan bir xil energiyaga ega bo`ladi. Lekin ko`p elektronli atomlarda o`zaro ta`sir tufayli atomdagi energetik pog`onalarning energiyalari boshqa kvant sonlariga ham bog`liq bo`lib qoladi.

n		m	S
1	0(1s)	0	1/2
		+1	1/2
2	1(2р)	0	1/2
		-1	1/2
	0(2s)	0	1/2
		+2	1/2
		+1	1/2
	2(3d)	0	1/2
		-1	1/2
3		-2	1/2
		+1	1/2
	1(2р)	0	1/2
		-1	1/2
	0(3s)	0	1/2

Bosh kvant soni , n	1	2		3			4				5
Qobiq belgisi	K	L		M			N				О
Qobiqdagi elektronlarning maksimal soni	2	8		18			32				50
Orbital kvant soni ,	0	0	1	0	1	2	0	1	2	3	0	1	2	3	4
Qobiqchani belgisi	1s	2s	2p	3s	3p	3d	4s	4p	4d	4f	5s	5p	5d	5f	5g
Qobiqchadagi elektronlarning maksimal soni	2	2	6	2	6	10	2	6	10	14	2	6	10	14	18