Mavzuning dolzarbligi

2. Optik rezonatorda modalarning hosil bo‘lishi
Rezonator ko‘zgularining qaytarish koeffitsiyenti ko‘pincha to‘lqin uzunligi 𝜆 ga sezilarli darajada bog‘liq bo‘lmaydi. Shu sababli ikki ko‘zgu orasida ixtiyoriy to‘lqin uzunligiga ega bo‘lgan yorug‘liklar bo'lishi mumkin desa ham bo‘ladi. Lekin, amalda bunday emas ekan.
Ideal rezonatorda ikki ko‘zgu o‘rtasida rezonatorning z o‘qi bo‘ylab o’ng tomonga tarqalayotgan to‘lqinning elektr maydoni quyidagicha bo‘ladi.

(1)

ayni shu o’q bo‘ylab chap tomonga tarqalayotgan elektr maydoni esa 𝜋 teng faza siljishiga ega bo’ladi:

(2)

Bunda, e-birlik qutblanish vektori, |u|-kompleks funksiya maydonning resonator bo`yicha fazoviy taqsimotinini 𝜑(r) bildiradi.

To'lqinning magnit maydoni haqida ham shunga oʻxshash ifodalarni yozish mumkin. Rezonatorda hosil boʻladigan elektromagnit toʻlqin kogerent bo'lganligi va qat'iy bir yoʻnalish (optik oʻq bo`yicha) boʻyicha yo`nalganligi sababli superpozitsiyalanadi, bu esa optik rezonatorda faqat ma'lum bir chastotaga ega boʻlgan elektromagnit tebranishlargina rezonans berib, ikkilangan amplitudali turgʻun toʻlqin hosil bo`lishiga olib keladi:

(3)

Ikki ko`zgu oʻrtasida ikki toʻlqin tarqaladi: koʻzguga tushayotgan va ko'zgudan qaytayotgan. Qaytarish koeffitsiyenti 100% boʻlgan (R=1) ideal ko`zgu bitta talabga javob berishi kerak — koʻzgu yuzasida yorugʻlik tebranishlarining amplitudasi nolga teng bo`lishi kerak, aks holda yorug`likning bir qismi ko’zgudan o’tib ketadi va bu holda koʻzgu ideal bo`la olmaydi. Bu shart ikkinchi ko`zgu uchun ham bajarilishi kerak.

Bunday holda qaytgan yorugʻlik fazasi tushayotgan yorugʻlik fazasiga teng boʻlishi uchun ko`zgular o`rtasida butun songa teng yarim to`lqin uzunligi joylashgan boʻlishi kerak (2-rasm).

2-rasm

Boshqacha aytganda, quyidagi shart bajarilishi kerak

(4)
bu yerda L-koʻzgular oʻrtasidagi masofa, q-1, 2,3 ... - butun son.
Demak, koʻzgular oʻrtasidagi masofa L boʻlsa, ular orasida to`lqin uzunligi (4) ifodaga boʻysunadigan elektromagnit toʻlqinlargina rezonans berishi mumkin ekan (3-rasm, q=1, q=10). Bu shart bajarilganda ikki koʻzgu oʻrtasida elektr va magnit maydon kuchlanganliklari fazoviy taqsimlangan kuchaygan turg'un to'lqin-lazer modasi paydo boʻladi. Bu turg'un to'lqinlarni rezonatorning chiqish elementlarida yo'qotishlar bo'lmasa aniqlash mumkin. Bunday to'lqinlarning rezonans chastotasi quyidagicha ifodalanadi:

(5)

Bu chastotalar rezonatorning xususiy tebranish chastotalari deb ataladi (3-rasm).

3-rasm. Optik rezonatorining xususiy tebranishlar chastotalarining spektri (a) va turg'un elektr maydoni taqsimoti (b).

Qo'shni chastotalar orasidagi masofa quyidagiga teng:

(6)

Bu shartlar bajarilishi natijasida hosil bo'lgan har bir turg'un to'lqin rezonatorning bo'ylama (aksial) modasi deb ataladi.

Masala: Rezonator uzunligi L = 10sm va unda hosil bo'lgan lazer nuri to'lqin uzunligi λ = 0.6mkm (qizil nur) bo'lsin. U holda ushbu rezonatorda
ta yarim to'lqin uzunligi joylashadi. Qo'shni
modalar orasidagi masofa esa Hz bo'lib, optik nurlanishning chastotalaridan ( ) juda kichik boʻladi.
Agar to'lqin rezonator o'qiga nisbatan burchak ostida tarqalayotgan boʻlsa, turg'un to'lqin paydo bo'lish sharti quyidagi ko'rinishga ega boʻladi:
(7)
Bunday to'lqin ko'ndalang moda deb ataladi va uning xususiy chastotasi quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
(8)

Rezonatorning asosiy vazifasidan biri energiya to'plash xususiyati boʻlganligi uchun, uning aslligi fizik jihatdan muhim ahamiyatga ega. Ochiq optik rezonatorning aslligini uning klassik ta'rifiga ko'ra aniqlaymiz.

(9)
bu yerda - rezonator chastotasidagi nurlanish kengligi, - rezonatorda to'plangan energiya, - bir tebranish davrida rezonatorda yo'qotilgan quvvat.
Faraz qilaylik, ko'zguning qaytarish koeffitsiyenti , koʻzguning qaytarish koeffitsiyenti esa qisman shaffof boʻlib, ma'lum bir nurlanishni o'tkazishga mo'ljallangan bo'lsin (1-rasm). Ma'lumki, nurlanish rezonator o'qi boʻylab ikki tomonga tarqaladi, u holda bir tebranish davrida (siklida) rezonatorda to'planadigan energiya

Yoʻqotiladigan quvvat esa

ga teng boʻladi, bu yerda a - ko'zgu radiusi, I - nurlanish intensivligi, - nurlanish energiyasi zichligi.
va ni (9) ifodaga qo'ysak, rezonator aslligi uchun quyidagi ifodani olamiz:

(10)

bu yerda - nurlanish ko'zgudan chiqib ketgunicha boʻlgan

rezonatorning effektiv uzunligi, - nurlanishning rezonatorda boʻlish vaqti, -nurning rezonatorda ikki marta o'tishi natijasida hosil boʻladigan "aktiv yo'qotishlar" koeffitsiyenti:
(11)
Shuni ta'kidlash kerakki, nurlanish energiyasi nafaqat ochiq optik rezonatorning faqat optik o'qi bo'ylab tarqalayotgan to'lqinlarda, balki qaytish va o'tishlar soni yetarlicha ko'p bo'lsa optik o'qqa nisbatan kichik burchak ostida tarqalayotgan to'lqinlarda (ko'ndalang moda) ham to'planishi mumkin. Diffraksion yo'qotishlarni hisobga olmasak, quyidagi shart bajarilganda rezonanslarning ustma-ust tushishi ro'y bermaydi:

(12)
bu yerda - Frenel soni. Ma'lumki, geometrik optika uchun >>1 to'lqin optikasi uchun esa ~ 1.