Ko`p o`zgaruvchi funksiyalarning aniqlanish sohasi
Yüklə 88,29 Kb.
|
|
KO`P O`ZGARUVCHI FUNKSIYALARNING ANIQLANISH SOHASI Reja: Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya uzluksizligi Bir o`zgaruvchili funksiya hosilasi va differensiali Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar 1. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to`plami. n o`lchovli haqiqiy fazoda V = {M(x1; x2; …; xn)} є Rn nuqtalar to`plami berilgan bo`lsin. V to`plamga tegishli har bir M(x1; x2; …; xn) nuqtaga aniq biror-bir y haqiqiy sonni mos qo`yuvchi f qonunga x1, x2, …, xn o`zgaruv-chilarning V nuqtalar to`plamida berilgan funksiyasi deyiladi. n ta o`z-garuvchilarning funksiyasi y = f (M) yoki y = f (x1; x2; …; xn) ko`ri-nishda yoziladi. f (M) haqiqiy son u funksiyaning M nuqtada erishadigan qiymatini anglatadi. Xususan, agar V є R1 bo`lib, V to`plam R1={x} haqiqiy sonlar to`p-lamining qism osti to`plamidan iborat bo`lsa, V to`plamda bir o`zga-ruvchili y = f (x) funksiya berilgan deyiladi. Misollar: 1) f (x) = lnx – V = {x є R1 | x>0} to`plamda berilgan bir x o`zgaruvchili funksiya. Xususan, f (e) = lne = 1. 2) \ O ( 0 ; 0 ) to`plamda berilgan ikki x 1 va x 2 o`zgaruvchili funksiya. M(- 1; 2) nuqtada f (-1; 2) = 0,2. 3) to`plamda berilgan uch x1, x2 va x3 o`zgaruvchili funksiya. M(1; -1; 1) nuqtada f (1; -1; 1) = 2. y = f (M) = f (x1; x2; …; xn) funksiya berilgan Rn fazoga tegishli to`plamga uning aniqlanish sohasi deyiladi va D(f ) yoki D(y) yozuv bilan ifodalanadi. y = f (M) funksiya o`z aniqlanish sohasi D(f ) ning har bir nuqtasida qabul qilishi mumkin bo`lgan barcha qiymatlari to`plamiga esa uning qiymatlari to`plami yoki o`zgarish sohasi deyiladi. Funksiya qiymatlar to`plami R1 haqiqiy sonlar to`plamining qism osti to`plami bo`lib, E(f ) yoki E(y) belgilar bilan yoziladi. Misollar: Quyida berilgan funksiyalarning aniqlanish sohalarini to-ping va tegishli fazoda tasvirlang. Funksiyalarning qiymatlar to`plamini aniqlang: 1) y = log2(3–x), 2) , 3) y = arccos x1 + arccos x2 + arccos x3 . 1) bir o`zgaruvchili y = log2(3-x) funksiya aniqlanish sohasi D(y): 3–x > 0 tengsizlik yechimidan iborat. Shunday qilib, D(y) = (- ∞; 3) є R1. Funksiya aniqlanish sohasi sonlar o`qida (- ∞; 3) ochiq nur ko`rinishida tasvirlanadi: Funksiya qiymatlari to`plami esa sonlar o`qidan iborat, ya`ni E(y) = R1. 2) funksiya ikki o`zgaruvchili bo`lib, uning aniqlanish sohasi D(y) = {M(x1; x2) є R2 | x1 ≥ }. Funksiya aniqlanish sohasi haqiqiy koordinatalar tekisligi R2 da quyidagicha tasvirlanadi: Funksiya qiymatlari to`plami E(y) = [0; ∞). 3) berilgan uch o`zgaruvchili funksiya aniqlanish sohasi D(y) = {M(x1; x2; x3) є R3 | -1≤ x1≤ 1, -1≤ x2 ≤ 1, -1 ≤ x3 ≤ 1}. Funksiya aniqlanish sohasi R3 fazoda qirrasi 2 ga teng, simmetriya markazi koordinatalar boshida, yoqlari esa koordinatalar tekisliklariga parallel bo`lgan kubdan iborat: Funksiya qiymatlari to`plami E(y) = [0; 3π]. 2. Bir o`zgaruvchili funksiya umumiy xossalari va grafigi. Tes-kari funksiya. V R1 nuqtalar to`plamida aniqlangan bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiyaning grafigi deb, mumkin bo`lgan barcha (x; f (x)), x є V juf-tliklarning x0y to`g`ri burchakli koordinatalar tekisligidagi aksiga aytiladi. R1 fazoda, x = 0 nuqtaga nisbatan simmetrik, nuqtalarning V qism to`plami va unda aniqlangan y = f (x) funksiya berilgan bo`lsin. Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = f (x) tenglik o`rinli bo`lsa, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya V to`plamda juft funksiya deyiladi. Juft funksiya grafigi 0u ordinata o`qiga nisbatan simmetrikdir. Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = -f (x) munosabat o`rinli bo`lsa, y = f (x) V to`plamda toq funksiya deyiladi. Toq funksiya gra-figi esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikdir Masalan, juft natural darajali y = x2n (n є N) funksiya juft funksiyaga misol bo`lsa, toq natural darajali y = x2n–1 (n є N) toq funksiyaga misoldir. y = f (x) funksiya uchun shunday bir musbat t son mavjud bo`lsaki, funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday x va x + t nuqtalari uchun f (x+t) = f (x) tenglik bajarilsa, y = f (x) funksiya davriy funksiya deyiladi. t soni esa funksiya davri deb yuritiladi. Amalda funksiya davrlari ichidan eng kichigi T ni topish masalasi qo`yiladi, qolgan barcha davrlar uning butun karralisidan iborat bo`ladi. Masalan, y = 5sin(0,25πx) funksiyaning eng kichik musbat davri . y = f (x) funksiya V R1 to`plamda aniqlangan bo`lib, uning biror-bir V1 qism osti to`plamidan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x1 va x2 nuqtalar uchun x1 < x2 munosabatdan f (x1)< f (x2) (f (x1)≤ f (x2)) tengsizlik kelib chiqsa, u holda y = f (x) funksiya V1 to`plamda o`suvchi (kamayuvchi emas) deyiladi. Agarda funksiya aniqlanish sohasiga tegishli V1 to`plamdan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x1 va x2 nuqtalar uchun x1< x2 shartdan f (x1)>f (x2) (f (x1) ≥ f (x2) tengsizlik kelib chiqsa, y = f (x) funksiya V1 to`plamda kamayuvchi (o`suvchi emas) deyiladi. O`suvchi va kamayuvchi funksiyalarga qat`iy monoton funksiyalar deyiladi. Masalan, y = ex aniqlanish sohasi R1 da qat`iy monoton o`suvchi funksiyaga misol bo`lsa, x haqiqiy sonning butun qismi y = [x] esa kamayuvchimas funksiyaga misol bo`la oladi. y = f (x) funksiya D(y) R1 sohada aniqlangan bo`lib, Ye(u) uning qiymatlar to`plami bo`lsin. Ushbu funksiya uchun har qanday x1, x2 є D(y) lar qaralmasin, x1 ≠ x2 shart qanoatlantirilganda, f (x1) ≠ f (x2) munosabat bajarilsin. U holda, har bir u є E(y) songa f (x) = y tenglikni qanoatlantiruvchi aniq bir x є D(y) sonni mos qo`yish mumkin, boshqacha aytganda, E(y) to`plamda berilgan y=f (x) funksiyaga teskari x=g(y) funksiyani aniqlash mumkin. Berilgan y = f (x) funksiyaning qiymatlari to`plami E(y) teskari funksiya uchun aniqlanish sohasi bo`lsa, y = f (x) funksiyaning aniqlanish sohasi D(y) teskari funksiya uchun qiymatlar sohasi rolini o`taydi. Biror–bir [a; b] kesmada aniqlangan, qat`iy monoton va uzluksiz y = f (x) funksiya, o`zining [f (a); f (b)] kesmada aniqlangan, qat`iy monoton va uzluksiz x = g(y) teskari funksiyasiga ega. Masalan, y = sin x funksiya kesmada aniqlangan, qat`iy monoton o`suvchi va uzluksiz bo`lganidan, [ -1 ; 1 ] kesmada aniqlangan, qat`iy o`suvchi va uzluksiz x = arcsin y teskari funksiyasiga ega. O`zaro teskari f (x) va g(x) funksiya grafiklari birinchi chorak simmetriya o`qi y = x to`g`ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir. 3. Chegaralangan funksiya. Qavariq va botiq funksiyalar haqi-da tushuncha. V1 D(y) nuqtalar to`plamida berilgan y = f (x) funksiyaning V1 da erishadigan qiymatlari to`plami yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo`lsa, funksiya V1 da yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi. y = f (x) funksiyaning yuqoridan (quyidan) chegaralanganligi, shunday bir K son mavjudligini anglatadiki, barcha M є V1 nuqtalar uchun f (M) ≤ K (f (M) ≥ K) tengsizlik o`rinli bo`ladi. V1 D(y) nuqtalar to`plamida ham quyidan va ham yuqoridan che-garalangan funksiyaga, V1 to`plamda chegaralangan funksiya deb ataladi. Ushbu holda, agar V1 = D(y) bo`lsa, y = f (M) funksiya aniqlanish sohasida chegaralangan deyiladi va uning qiymatlari to`plami chegaralangan sonlar to`plamidan iborat bo`ladi. Agar y = f (M) funksiya V1 to`plamda yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan bo`lsa, V1 to`plamga tegishli {Mk} nuqtalar ketma-ketligi mavjudki, ( ) munosabat o`rinlidir. Misollar: 1) bir o`zgaruvchili y = x2 funksiya aniqlanish sohasi R1 da quyidan chegaralangan funksiyadir, chunki E(y)=[0; ∞); 2) ikki o`zgaruvchili funksiya o`z aniqlanish sohasi D(y) = {M(x1; x2) є R2 | x12 + x22 ≤ 1} to`plamda chegaralangandir, chunki E(y) = [0; 1]. y = f (M) funksiya qavariq V Rn nuqtalar to`plamida aniqlangan bo`lsin. V qavariq to`plamga tegishli har qanday ikki M1(x1; x2; …; xn) va M2(u1; u2; …; un) nuqtalar va ixtiyoriy 0 ≤ α ≤ 1 son uchun f (P) ≤ α f (M1) + (1-α) f (M2) (f (P) ≥ α f (M1) + (1–α) f (M2)) tengsizliklar o`rinli bo`lsa, bu yerda R(α x1 +(1–α)u1; α x2 +(1–α)u2; …; αxn +(1-α)un), u holda, y = f (M) funksiya V to`plamda qavariq (botiq) funksiya deyiladi. Masalan, y = x2 funksiya R1 da qavariq funksiyaga misol bo`lsa, y = -x2 funksiya esa R1 da botiq funksiyaga misol bo`ladi. n o`zgaruvchili chiziqli y = a1x1 + a2x2 + … +anxn funksiya Rn fazoda bir vaqtda ham qavariq va ham botiq funksiyadir. Qavariq funksiyalar quyidagi xossalarga ega: 1. –f (M) funksiya V to`plamda botiq bo`lgandagina, f (M) funksiya V da qavariq funksiya bo`ladi. 2. f1(M) va f2(M) funksiyalar V to`plamda qavariq bo`lsa, ularning ixtiyoriy nomanfiy k1 va k2 koeffitsientli chiziqli k1f1(M) + k2f2(M) kombinatsiyasi V to`plamda qavariq bo`ladi. 3. f (M) funksiya V to`plamda qavariq bo`lib, {M є V | f (M) ≤ b} to`plam bo`sh bo`lmasa, bu yerda b ixtiyoriy son, u holda to`plamning o`zi ham qavariq to`plamdir. Botiq funksiyalar ham yuqoridagi xossalarga o`xshash xossalarga ega. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti 1. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti haqida tushuncha. Ajoyib limitlar. Yaqinlashuvchi funksiya xossalari y = f (M) = f (x1; x2; …; xn) funksiya V Rn to`plamda aniqlangan bo`lib, nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi bo`l-sin. Funksiya limitining bir-biriga o`zaro teng kuchli Geyne va Koshi tillaridagi ta`riflari mavjud. Ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti Geyne yoki nuqtalar ketma-ketligi tilida quyidagicha ta`riflanadi: Har bir hadi V to`plamga tegishli va M0 quyuqlanish nuqtasidan farqli har qanday M1, M2, …, Mk, … nuqtalar ketma-ketligi M0 nuqtaga intilganda, mos funksiya qiymatlari f (M1), f (M2), …, f (Mk), … sonli ketma-ketligi b songa intilsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M0 dagi limiti deyiladi va yoki ko`rinishda yoziladi. limiti deyiladi va ko`rinishda yoziladi. Yüklə 88,29 Kb. Dostları ilə paylaş:
|