Ikki qatlamli ayirmali sxemalarning kanonik shakli va turg`unligi

3. Boshlang`ich qiymatlar bo`yicha turg`unlik teoremasi
H<sub>h</sub> da ta`sir etuvchi D operator energetik norma deb ataluvchi - normaga ega.
2-teorema. Faraz qilamiz (3) da A operator musbat, o`z-o`ziga qo`shma va n dan bog`liq bo`lmagan operator bo`lsin. Agar
(20)
operator tengsizlik bajarilsa, u holda (3) sxema boshlang`ich qiymatlar bo`yicha tekis turg`un bo`ladi va (11) bir jinsli tenglama echimi uchun quyidagi baholash o`rinli bo`ladi
(21)
Isbot. belgilash kiritamiz va (11) ni ga skalyar ko`paytiramiz
,
va bu tenglikni quyidagicha o`zgartiramiz
(22)
Ushbu
Ay + 0,5Ay_t = A(y + 0,5y_t) = 0,5A(y_n + y_n+1)

tenglik asosida (22) ni quyidagi ko`rinishda yozamiz

(23)
A o`z-o`ziga qo`shmaligi, uning n dan bog`liq emasligi va musbatligidan foydalanib quyidagini hosil qilamiz

Bu erdan va (23) dan
(24)
ga kelamiz.
(20) dan ni hosil qilamiz, bundan (24) ga ko`ra (11) echimi uchun (21) bilan mos tushadigan o`rinli. Teorema isbotlandi.
1-izoh. 2-teoremada V operator o`z-o`ziga qo`shma emas va n dan qanday bo`lmasin bog`liq bo`lishi mumkin.
2-izoh. Agar A – musbat o`z-o`ziga qo`shma operator bo`lsa, u holda (20) shart (21) baholash bajarilishining zaruriy sharti ham hisoblanadi. Xaqiqatdan, (21) va (24) dan (20) ga ekvivalent bo`lgan tengsizlikni hosil qilamiz.
2-teorema ikkiqatlamli AS turg`unligini o`rganishda quyidagi qoidani ishlatishga imkon beradi. Avval AS ni (3) kanonik ko`rinishiga keltirish va A va V operatorlarni aniqlash kerak. Keyin A ning xossalarini o`rganish lozim. Agar u o`z-o`ziga qo`shma, musbat va n dan bog`liq bo`lmasa, u holda (20) operator tengzizlikni tekshirish lozim. Odatda u berilgan AS turg`unlik shartlarini ko`rsatuvchi  va h larga nisbatan qandaydir chegaralashga, munosabatga keltiriladi.
Yuqorida qaralgan operator 2-teorema shartlarini qanoatlantiradi. (20) turg`unlik sharti

ko`rinishni oladi va har qanday yH_n uchun

bo`lishi kerak.
tenglikdan ko`ramizki, sxema quyidagi tengsizliklarda turg`un

yoki
. (28)
Shunday qilib, quyidagi tengsizlik turg`unlikning yetarli sharti hisoblanadi
. (29)
Oshkor sxema uchun =0. (29) dan
yoki
kelib chiqadi.
Bu shart oshkor sxema turg`unlik sharti hisoblanadi. 0,5 dan boshlab sxema shartsiz turg`un.