2. Aniq integralning xossalari
Agar integral ostidagi funksiya birga teng bo‘lsa, u holda
bo‘ladi.
Ozgarmas ko‘paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish
mumkin, ya’ni
, .
Chekli sоndаgi funktsiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali
qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni
.
Аgаr kesmа bir nechа qismgа bo‘lingan bo‘lsa, u hоldа kesma bo‘yicha оlingаn аniq integrаl hаr bir qism bo‘yichа оlingаn аniq integrаllаr yig‘indisigа teng bo‘ladi. Masalan,
,
Аgаr kesmаdа funksiya o‘z ishоrаsini o‘zgаrtirmаsа, u hоldа funksiya аniq integrаlining ishоrаsi funksiya ishоrаsi bilаn bir хil bo‘lаdi, ya’ni:
dа bo‘lganda ;
dа bo‘lganda .
Аgar kesmаdа bo‘lsа, u hоldа
bo‘ladi.
. Аgаr vа sоnlаr funksiyaning kesmаdаgi eng kichik vа eng kаttа qiymаtlarii bo‘lsа, u hоldа
bo‘ladi.
Bu хоssа аniq integrаlni bаhоlаsh hаqidаgi teоremа deb yuritiladi.
1. Nyuton-Leybnis formulasi
Aniq integralni integral yig‘indining limiti sifatida hisoblash hatto oddiy funksiyalar uchun ham ancha qiyinchiliklar tug‘diradi. Shu sababli aniq integralni hisoblashning (15.3) formulaga asoslangan, amaliy jihatdan qulay bo‘lgan hamda keng qo‘llaniladigan usuli bilan tanishamiz.
2-teorema ( integral hisobning asosiy teoremasi). Agar funksiya kesmada uzluksiz bo‘lgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda kesmada funksiyadan olingan aniq integral funksiyaning integrallash oralig‘idagi orttirmasiga teng bo‘ladi, ya’ni
. (15.4)
(15.4) formulaga Nyuton-Leybnis formulasi deyiladi.
ayirmani shartli ravishda deb yozish kelishilgan.
Bu kelishuv natijasida Nuyton-Leybnis formulasi
(15.5)
ko‘inishda ifodalanadi.
Misollar
1. .
2.
Nyuton-Leybnis formulasidan uning qo‘llanish shartlarini hisobga olmagan holda formal foydalanish xato hatijaga olib kelishi mumkin.
Masalan, funksiya uchun boshlang‘ich funksiya sifatida ni yoki ni olish mumkin. Avval deb olamiz:
Bunda Nyuton-Leybnis formulasi to‘g‘ri qo‘llanildi, chunki funksiya kesmada uzluksiz va tenglik butun kesmada bajariladi.
Endi deb olamiz:
Bunda Nyuton-Leybnis formulasi noto‘g‘ri (formal) qo‘llanildi, chunki da funksiya uzilishga ega va u kesmada boshlang‘ich funksiya bo‘la olmaydi. Natijada xatolik kelib chiqdi.
Demak, Nyuton-Leybnis formulasini qo‘llashda boshlang‘ich funksiya berilgan kesmada uzluksiz deb faraz qilinadi (ayrim shartlarda Nyuton-Leybnis
formulasi uzilishga ega bo‘lgan funksiyalar uchun ham o‘rinli bo‘lishi mumkin).
Aniq integralning asosiy xossalari
1) chekli sondagi integrallanuvchi funksiyalar algebraik yig‗indisining aniq integrali
qo‗shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‗indisiga teng, ya‘ni
f1 (x)
a
f 2 (x) f3 (x)dx
a
b
f1 (x)dx
a
b
f 2 (x)dx
a
f3 (x)dx;
2) o‗zgarmas ko‗paytuvchini aniq integral belgisidan chiqarish mumkin, ya‘ni
b b
kf (x)dx k f (x)dx ;
a a
3)
a,b
kesmada
f (x) 0 bo‗lsa,
b
f (x)dx 0. bo‗ladi;
a
4) a,b kesmada f (x) g(x) tengsizlik bajarilsa,
b b
f (x)dx g(x)dx bo‗ladi;
a a
5) c
a, b
kesmadagi biror nuqta bo‗lsa,
МАЙ 2021
Страница 59
b c
f (x)dx
a a
b
f (x)dx
c
f (x)dx tenglik o‗rinli bo‗ladi;
6) m va M sonlar y f (x) funksiyaning
a,b
kesmadagi mos ravishda eng kichik
va eng katta qiymatlari bo‗lsa,
b
m(b
a)
yig‗indisining limitini hisoblash ancha qiyinchilikka olib keladi. Shuning uchun aniq integralni
hisoblash uchun, boshqa aniqmas integral bilan aniq integral orasidagi bog‗lanishga asoslangan
usuldan foydalaniladi.
F(x), a,b
Xulosa
O‘quv jarayonining texnologik shakl modeli va uning amaliy tadbiqi yangilik xususiyatiga ega bo‘lib, an’anaviy ta’limni qayta shakllantiradi. “Pedagogik texnologiya” so‘z birikmasi asosida “Texnologiya”, “Texnologik jarayon” tushunchasi yotadi. Bu tushuncha orqali sanoatda tayyor mahsulotni olish uchun bajariladigan ishlarning ketma – ketligi haqidagi hujjat, ta’limda esa fan bo‘yicha uslubiy tadbirlar majmuasi tushuniladi. Pedagogik texnologiyada asosiy yo‘l aniq belgilangan maqsadlarga qaratilganlik, ta’lim oluvchi bilan muntazam o‘zaro aloqani o‘rnatish, pedagogik texnologiyaning falsafiy asosi hisoblangan ta’lim oluvchining xatti – harakati orqali o‘qitishdir. O‘zaro aloqa pedagogik texnologiya asosini tashkil qilib, o‘quv jarayonini to‘liq qamrab olish kerak.
Foydalanilgan adabiyotlar ro`yxati:
1. Q. SAFAEVA, F. SHOMANSUROVA Iqtisodiyotda matematika.
2. https://fayllar.org/1-aniq-integralga-keltiriladigan-masalalar-aniq-integra.html?page=7
3. Begmatov.A Aniq integralning tadbiqlari. Samarqand 2011
Dostları ilə paylaş: |