4 Мавзу. Vektorlarning skalyar, vektor va aralash ko’paytmalari

4 – Мавзу. Vektorlarning skalyar, vektor va aralash ko’paytmalari.
Режа:

1. 
   Vektorlarning skalyar ko’paytmalari.
   
2. 
   Vektorlarning vektor va aralash ko’paytmalari
   

Vektorlarning skalyar ko’paytmasi.

Yuqorida, vektorlar ustidagi chiziqli amallar: vektorni qo’shish va ayirish, vektorni songa ko’paytirish amallari bilan tanishdik. Endi chiziqli bo’lmagan yangi amal, vektorni skalyar ko’paytirish amali bilan tanishaylik.
Fazoda (yoki tekislikda) va vektorlar berilgan bo’lsin. O nuqtaga vektorlarni qo’yamiz (11-chizma).


O,Q,N nuqtalar orqali aniqlangan tekislikda, OQ va ON nurlar yordamida ikkita burchak aniqlanadi, bulardan biri ikkinchisi .
Bu burchaklarning eng kichigini va vektorlar orasidagi burchak deb aytiladi va ko’rinishda belgilaymiz.
1-tarif. va vektorlarning uzunliklari bilan ular orasidagi burchak kosinusini ko’paytirishdan hosil bo’lgan son bu vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb aytiladi.
Vektorlarning skalyar ko’paytmasi yoki ko’rinishida yoziladi.
Ta’rifga ko’ra
(5.1)¹

Misol. bo’lib, bo’lsa, ni toping.
Echish: .
Natija. Nol vektorning har qanday vektorga skalyar ko’paytmasi nolga teng.

Skalyar ko’paytma xossalari

1⁰. Ixtiyoriy ikkita vektor uchun ; (komutativ)
2⁰. Ixtiyoriy uchta , va vektorlar uchun ;
3⁰. Ixtiyoriy vektor uchun
4⁰. coni vektorning skalyar kvadrati deyiladi va kabi belgilanadi. soni vektorning uzunligi deyiladi va | | bilan belgilanadi.
5⁰. Agar =0 bo’lsa, ²=0.²

Isbot. 1⁰-xossani isbotlaylik.
Ta’rifga ko’ra .
Kosinus juft funksiya ekanini e’tiborga olsak, u holda .
3⁰-xossa, skalyar ko’paytma ta’rifiga ko’ra , lekin va . Shuning uchun .
4⁰-xossa skalyar ko’paytma ta’rifidan
.
Agar va vektorlar perpendikulyar bo’lsa, skalyar ko’paytma nolga teng: (5.2)
Buning isboti ta’rifdan kelib chiqadi.
Ortanormallangan bazis uchun
(5.3)
Haqiqatan skalyar ko’paytma ta’rifidan

Xususiy holda
(5.4)

Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning skalyar ko’paytmasi.

Uch o’lchovli vektor fazoda ortonormal bazis berilgan bo’lsin, bu bazisga nisbatan , koordinatalarga ega:



va vektorlarning skalyar ko’paytmasini hisoblashda (5.2) va (5.4) larni e’tiborga olsak, quyidagilarga ega bo’lamiz.

Demak, koordinatalari bilan berilgan ikkita vektorning skalyar ko’paytmasi bu vektorlarning mos koordinatalari ko’paytmasining yig’indisiga teng. Ya’ni:
(6.1)
bu tenglikdan
Natijalar. 1. vektor uzunligi
(6.2)
2. Ikki , vektorlar orasidagi burchak (5.1) ga ko’ra
(6.3)
Agar va vektor koordinatalar bilan berilgan bo’lsa, bu vektorlar orasidagi burchak ushbu formula bilan aniqlanadi.³
(6.4)

1-misol. vektorlarning qaysi jufti perpendikulyar?

Yechish , , skalyar ko’paytmalarini tekshiramiz:
;
Bundan .
2-misol. vektorlar orasidagi burchakni toping.
Yechish (6.3) formuladan foydalanamiz.
. Bundan .
Foydalaniladigan adabiyotlar ro’yxati
Asosiy adabiyotlar:
1. Н.Д.Додажонов, М.Ш.Жўраева. Геометрия. 1-қисм, Тошкент. «Ўқитувчи», 1996 й. (ўқув қўлланма) 1-5 бет
2. X.X.Назаров, X.O.Oчиловa, Е.Г.Подгорнова. Геометриядан масалалар тўплами. 1- қисм. Тошкент «Ўқитувчи» 1993, 1997. (ўқув қўлланма)
Qo’shimcha adabiyotlar:
1. Baxvalov M. Analitik geometriyadan mashqlar to’plami. Toshkent UzMU, 2006 y. 3-10 bet.
2.K.X. Aбдуллаев и другие Геометрия 1-част ь. Тошкент, «Ўқитувчи» 2002й.
3.K.X. Aбдуллаев и другие. Сборник задач по геометрии. Тошкент, “Ўқитувчи” 2004 г.
4. Introduction to Calculus Volume II. p 7,10-11

Elektron ta’lim resurslari

1. www /Ziyo. Net
2. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/
3. http://www.allmath.ru/
4. http://www.pedagog.uz/
5. http://www.ziyonet.uz/
6. http://window.edu.ru/window/

1^ Introduction to Calculus Volume II. p 7

2^ Introduction to Calculus Volume II. p 7

3^ Introduction to Calculus Volume II. pp 10-11