4-Mavzu: Matritsalar va ularning ayrim хоssalari

Matritsani butun musbat darajaga oshirish.

Matritsani k-butun musbat darajaga oshirish amali k tabir xil kvadrat matritsani ketma-ket ko’paytirish amalidan iborat,ya’ni:

A^k  _A _––A_ A_–..._–_A
k
Takidlash lozimki:

A⁰  E ,
A¹  A
deb qabul qilingan.

Transponirlangan matritsa va uning xossalari.

Tranponirlash amali qo’llash degani A matritsaning satr va ustun elementlarini
almashtirib yozish tusuniladi.A matritsaning transportirlangan matritsasini _𝐴^𝑇orqali belgilanadi.

^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛 ^𝑎11 ^𝑎21 ^{⋯ 𝑎}𝑛1
_A=[^{𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛}] bo’lsa, 𝐴^𝑇=[^{𝑎12 𝑎22 ⋯ 𝑎𝑛2} ] bo’lsa

⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^𝑎𝑚1 ^𝑎𝑚2 ^{⋯ 𝑎}𝑚𝑛
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^𝑎1𝑚 ^𝑎2𝑚 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑚

Agar A matritsaning o’lchamlari m×n bo’lsa, u holda _𝐴^𝑇 matiritsaning o’lchami n×m bo’ladi.

Matritsalarni transponirlash, qo’shish va ko’paytirish amallari quydagi xossalarga ega:

1. 
   ⁽𝐴^𝑇)𝑇 =A
   
2. 
   (𝑎 · 𝐴)^𝑇=𝑎𝐴^𝑇,
   
3. 
   (𝐴 + 𝐵)^𝑇=𝐴^𝑇+𝐵^𝑇.
   
4. 
   (𝐴 · 𝐵)^𝑇=𝐵^𝑇𝐴^𝑇
   

Teskari matritsa haqida tushuncha. Dastavval xos va xosmas matritsa tushuncalarini kiritamiz.

1. 
   Ta’rif. Berilgan A matritsaning determinanti noldan farqli bo’lsa , A –xosmas matritsa deyiladi. Aks holda, yani determinant nol bo’lsa, A-xos matritsa deyiladi.
   
2. 
   Ta’rif. Berilgan 𝐴_𝑛×𝑛 matritsaga qo’shma matritsa deb quyidagicha aniqlanadi.
   

^𝐴11 ^𝐴21 ^{… 𝐴}𝑛1

𝐴^* = [
^𝐴12 ^𝐴22 ^{… 𝐴}𝑛2 _]
… … … …

^𝐴1𝑛 ^𝐴2𝑛 ^{… 𝐴}𝑛𝑛
𝐴^* matritsaga aytiladi . Bu yerda 𝐴_𝑖j lar berilgan A matritsa 𝑎_𝑖j elementlarining algebraik to’ldiruvchilari.

3. 
   Ta’rif. Agar quyidagi
   

𝐴⁻¹ · 𝐴 = 𝐴 · 𝐴⁻¹=E
Tenglik o’rinli bo’lsa , 𝐴⁻¹ orqali belgilangan matritsa berilgan A matritsaga
teskari matritsa deyiladi.
Teorema:(teskari matritsa mavjudligi haqidagi teorema) Berilgan A matritsaning teskarisi 𝐴⁻¹ mavjud bo’lishi uchun A ning xosmas bo’lishi zarur va yetarli bo’lib,teskari matritsa yagonadir.
Ushbu teoremaning isbotini keltirmagan holda xosmas A matritsaning teskari matritsasini aniqlash formulasini keltiramiz:

_𝐴−1 ₌ ^1
|𝐴^|
𝐴11 ^𝐴21 ^{⋯ 𝐴}𝑛1 _[^𝐴12 ^𝐴22 ^{⋯ 𝐴}𝑛2 _]
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^𝐴1𝑛 ^𝐴2𝑛 ^{⋯ 𝐴}𝑛𝑛

Matritsalar ustida amallar mavzusini davom ettirib , matritsalarni bo’lish amalini ko’paytirish amaliga teskari amal sifatida qaraymiz , ya’ni A va B matritsalar uchun A:B ifodani A· 𝐵⁻¹ kabi tushunamiz.
Teskari matritsani aniqlashning yana bir usuli haqida.Berilgan xosmas A matritsaga teskari 𝐴⁻¹ matritsani A matritsa elementlarining algebraik to’ldiruvchilari orqali (1) formula yordamida aniqlashni ko’rib o’tdik. Endi teskari matritsani aniqlashning elementar almashtirishlarga asoslangan usulini ko’rib chiqamiz . Bunda elementar almashtirishlarni kengaytirilgan (A|E) matritsaga nisbatan qo’llash natijasida (E|𝐴⁻¹) matritsani hosil qilamiz.
Misol. Berilgan matritsaga teskari matritsa toping.

2	0	1
^A=^[1	−1	0^]
0	1	1

Yechish:Kengaytirilgan matritsa tuzamiz:

2	0	1 1	0	0
^(1	−1	0^|0	1	0^)
0	1	1 0	0	1

Birinchi va ikkinchi satrlarning o’rinlarini almashtiramiz:

1	−1	0 0	1	0
^(2	0	1^|1	0	0^)
0	1	1 0	0	1

Ikkinchi satrga (-2) ga ko’paytirilgan birinchi satrni qo’shamiz:

1	−1	0 0	1	0
^(0	2	1^|1	−2	0^)
0	1	1 0	0	1

Uchinchi satrni (-2) ga ko’paytirilgan birinchi satrni qo’shamiz:

1 −1 0
⁽0 2 1
0 1 0
^|1 −2 0 ⁾

0 0 −1 1 −2 −2
Ikkinchi va uchinchi satr elementlarini qo’shamiz:

1 −1 0
⁽0 2 0
0 0 −1
0 1 0
^|−2 −4 −2⁾
1 −2 −2

Ikkinchi satr elementlarini 2 ga bo’lib , birinchi satr elementlariga qo’shamiz:

2 0 0
⁽0 2 0
2 −2 −2
^|2 −4 −2⁾

0 0 −1 1 −2 −2
Birinchi va ikkinchi satr elementlarini (0,5) ga , uchinchi satr elementlarini esa (-1) ga ko’paytiramiz:

1 0 0
⁽0 1 0^|
1 −1 −1
1 −2 −1⁾

0 0 1 −1 2 2
Shunday qilib ,berilgan A matritsaning teskari matritsasi:
1 −1 −1

𝐴⁻¹ = [
1 −2 −1^]

−1 2 2
Teorema: Agar A matritsa uchun 𝐴⁻¹ teskari matritsa mavjud bo’lsa,u quyidagi xossalarga ega bo’ladi:
1. ⁽𝐴⁻¹⁾⁻¹ = 𝐴 2. ⁽𝐴^𝑇)−1 = ⁽𝐴^−1)𝑇 3. ⁽𝐴^−1)𝑚 = ⁽𝐴^𝑚)−1

4. |𝐴⁻¹|= ^1
|𝐴^|

Matritsaning rangi.

5. 
   ⁽𝐴𝐵⁾⁻¹=𝐵⁻¹ · 𝐴⁻¹
   

Matritsaning rangi matritsalar algebrasining asosiy tushunchalaridan biridir.
Bizga o’lchami m× 𝑛 bo’lgan A matritsa berilgan bo’lsin. k=min(m,n) deb aniqlanadi.
A matritsada m-k ta satr va (n-k) ta ustunni o’chirib k-tartibli kvadrat matritsani hosil qilamiz.Hosil bo’lgan matritsaning 𝑀_𝑘 determinant A matritsaning k-tartibli minori deyiladi. O’lchami m× 𝑛 bo’lgan Amatritsada birinchi,ikkinchi,uchinchi va h.k. k- tartibli minorlari bor mavjud.
Masalan,(5× 3) o’lchamli matritsaning birinchi,ikkinchi va uchinchi tartibgacha minorlari mavjud.
Tarif. A matritsaning rangi deb noldan farqli minorlarining eng yuqori tartibiga aytiladi. A matritsaning rangi rangA yoki r(A) kabi belgilanadi.

Agar matritsaning rangi k ga teng bo’lsa,bu matrtsaning hech bo’lmaganda bitta noldan farqli k-tartibli minori borligini va k dan yuqori tartibli har qanday minori nolga tengligini bildiradi.

Matritsa rangining xossalari.

1. 
   Nol matritsaning rangi nolga teng.
   
2. 
   Ixtiyoriy (m×n) o’lchamli matritsa uchun r(A)≤min(m,n) bo’ladi.
   
3. 
   Matritsa satr va ustunlarining o’rinlarini almashtirilsa (transponirlansa) matritsaning rangi o’zgarmaydi.
   
4. 
   Matritsani noldan farqli songa ko’paytirilsa uning rangi o’zgarmaydi.
   
5. 
   Matritsadagi hamma nol bo’lgan satr o’chirilsa uning rangi o’zgarmaydi.
   
6. 
   Matritsada elementlar almashtirishlar bajarilsa,uning rangi o’zgarmaydi.
   
7. 
   Elementar almashtirishlar natijasida matritsa o’ziga ekvivalent matritsaga aylanadi.
   

n-tartibli kvadrat A matritsada r(A)=n bo’lishi uchun |A|≠0 bo’lishi zarur va yetarlidir.

	1	0	1	0
1-misol. Matritsaning rangini aniqlang	^A=^[1	0	1	0^]
	0	1	0	0

Berilgan A matritsa uchun r(A) ≤ min(3,4)=3. Buni tekshirish uchun hamma uchinchi tartibli minorlarni hisoblaymiz.

1	0	1		1	0	0		1	1	0
^𝑀^(1)^=^[1	0	1^]^=0	,	^𝑀^(2)^=^[1	0	0^]^=0	,	^𝑀^(3)^=^[1	1	0^]^=0	,
0	1	0		0	1	0		0	0	0
0	1	0
^𝑀^(4)^=^[0	1	0^]^=0
1	0	0

3 3 3


3

Demak, matritsa rangi 2 dan kata emas.Endi noldan farqli ikkinchi tartibli minorini toppish qiyin emas.

2
Masalan , 𝑀 =[^{1 0}]=1. Demak , r(A)=2 ekan
0 1
Matritsa rangini minorlar orqali aniqlash juda qiyin masala.Bundan qulayroq usul sifatida matritani elementar almashtirishlar orqali ekvivalent ko’rinishga keltirish tavsiya etiladi.

	1	0	0	0	5
2-misol.	^[0	0	0	0	0
10=1≠ 0	2	0	0	0	11

1 0 0 0 5
] ~ [
1 5
] ~ [
] , [^{1 5}
]=11-

2 0 0 0 11
2 11
2 11

RangA=2

3. 
   misol. Matritsa rangini aniqlang.
   

3	5	7	4	8	12	1	2 3
^[1	2	3^]^~^[1		2	3 ^]^~^[1		2 3
1	3	5	1	3	5	1	3 5

1 2 3 1 2

1 3
RangA=2

3. 
   misol. Matritsa rangini aniqlang.
   

2 −1 3 − 2 4
] ~ [_{1 3 5}] , [
]=3-2=1≠ 0

^A=[4 −2 5 1 7 ^]
2 −1 1 8 2
Yechish: ikkinchi satrga (-2)ga ko’paytirilgan birinchi satr elementlarini,uchinchi satrga(-1)ga ko’paytirilgan birinchi satr elementlarini qo’shamiz:
2 −1 3 − 2 4 2 −1 3 − 2 4
^[4 −2 5 1 7 ^{] ~ [}0 0 −1 5 − 1 ^{] ~}
2 −1 1 8 2 0 0 −2 10 − 2
Uchinchi satrga (-2) soniga ko’paytirilgan birinchi satr elementlarini qo’shamiz:

2 −1 3 − 2 4
2 −1 3 − 2 4
2 −1 3 − 2 4

^[0 0 −1 5 − 1 ^{] ~ [}0 0 −1 5 − 1^{] ~ [}_{0 0 −1 5 − 1}^]
0 0 −2 10 − 2 0 0 0 0 0
Noldan farqli elementlari bor satrlar soni 2 ta,demak, r(A)=2.

2
noldan farqli minorlaridan biri 𝑀 =[^{−1 3}
0 −1
]=1. Demak, r(A)=2

Misol. Matritsa rangini aniqlang.

1	2	1	3	4
^[3	4	2	6	8
1	2	1	3	4

1 2 1 3 4 1 2

3 4
] ~ [_{3 4 2 6 8}] , [
]=4-6=-2≠ 0 RangA=2