3-Ma’ruza: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechish Reja

_{3-Ma’ruza: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechish}
Reja:

1. 
   CHiziqli tenglamalar sistemasini iteratsiya usulida yechish.
   
2. 
   Iteratsiya usulining yaqinlashish shartlari
   
3. 
   Gauss – Zeydelning iteratsiya usuli.
   

Tayanch so’z va iboralar: iteratsiya usuli, yaqinlashish shartlari, matritsa, ustun vektor
Aytaylik,
(3. 58)
ko‘rinishdagi chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin, bu chiziqli tenglamalar sistemasini biror usul bilan

ko‘rinishga keltiramiz.
Bu yerda C-matritsa, - ustun vektor.
Ixtiyoriy boshlang‘ich

vektordan foydalanib quyidagi iteratsiya jarayonini tuzamiz:

yoki buning yoyilmasi
(3.59)
Bu jarayonni bajara borib quyidagi vektorlar ketma-ketligiga olamiz:

2. Iteratsiya usulining yaqinlashish shartlari
Fundamental adabiyotlarda bu jarayon ixtiyoriy boshlang‘ich vektor olinganda yuqorida olingan ketma-ketlik yagona yechimga yaqinlashishi uchun S matritsa elementlari
(3.60)
yoki
(3.61)
shartlardan birortasini qanoatlantirishi etarli ekanligi isbotlangan. Sistemaning aniq yechimi cheksiz davom etadigan jarayon natijasida topiladi, yuqoridagi ketma-ketlikning vektori taqribiy yechimni ifodalaydi. taqribiy yechim xatoligini quyidagi formulalardan biri yordamida baholash mumkin:
agar (3.27) shart bajarilsa,
(3.62)
yoki (3.61) shart bajarilsa,
(3.63)
bu baholardan mos ravishda quyidagilar kelib chiqadi:
(3.64)
yoki
(3.65)
yuqoridagi baholashlar o‘ng tamoni berilgan aniqlikka erishilganligini bildirishi bilan jarayonni to‘xtatamiz. Boshlang‘ich vektor , umuman, ixtiyoriy tanlanishi mumkin. Ba’zan uni kabi tanlanadi.
Berilgan (3.58) sistemani (3.59) ko‘rinishga keltirishning har xil usullari mavjud bo‘lib, ulardan birini tanlashda, asosan, (3.60) yoki (3.61) shartlardan atiga bittasining bajarilishiga ahamiyat berish maqsadga muvofiqdir.
Quyida bunday usullardan ba’zi birlarini misollar orqali keltiramiz.
Berilgan (3.58) sistemadagi A matritsaning diagonal elementlari noldan farqli bo‘lsa, ya’ni
a_ii0 (i=1,2, …, n)
(3.58) sistemani quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
(3.66)
Bu holda C matritsaning elementlarini C_ij=-a_ij/a_ii (ij), c_ii=0 kabi aniqlab (3.60) va (3.61) shartlarni quyidagicha yozamiz:


(3.67)
(3.68)
A matritsaning diagonal elementlari
(3.69)
shartni qanoatlantirganda, (3.67), (3.68) shartlar bajariladi.
Umuman olganda, asosiy matritsasi maxsus bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun yaqinlashuvchi iteratsiya usuli mavjud bo‘ladi. Lekin bu usullarni amaliy hisoblashlarda doim ham qo‘llab bo‘lavermaydi.
Agar iteratsiya usuli yaqinlashuvchi bo‘lsa, u boshqa usullarga qaraganda quyidagi afzalliklarga ega ekanligini payqash mumkin:
1)iteratsiya etarlicha tez yaqinlashuvchi bo‘lib, sistemani berilgan aniqlikda yechish uchun n dan kam iteratsiya kerak bo‘lgan holda hisoblash vaqtidan yutamiz, chunki bitta iteratsiya uchun zarur bo‘lgan arifmetik amallar soni n² ga . Gauss usulida esa bu son n³ ga ‘ro‘ortsional bo‘ladi;
2)iteratsiya usulida yaxlitlash xatoligi Gauss usulidagidan kam bo‘ladi. Bundan tashqari iteratsiya usuli O‘z-o‘zini to‘g‘rilovchi bo‘lib, hisoblashdagi ba’zi xatolar natijaga ta’sir qilmaydi. CHunki, iteratsiya jarayonidagi har bir yaqinlashishni yangi boshlang‘ich vektor deb qarash mumkin;
3) iteratsiya usuli bilan ma’lum sondagi koeffitsientlari nolga teng bo‘lgan sistemalarni yechish qulay bo‘ladi;
4) iteratsiya jarayonini kompyutyerda hisoblash uchun dasturlash juda qulay.
Bu usulni quyidagi misol yordamida tushuntiramiz.
3.17-masala. Oddiy iteratsiya usuli bilan quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini =10^-3 aniqlikda yeching.
(3.70)
Yechish. Berilgan (3.70) sistemani (3.66) kabi ko‘rinishga keltiramiz:




hosil bo‘lgan sistemaning koeffitsientlari (3.67) shartni qanoatlantirishini tekshiramiz.


iteratsiya jarayoni yaqinlashuvchi bo‘lib, oxirgilardan <1 ekanligini olamiz. Bunda bo‘ladi. Sistemaning ozod hadlarini boshlang‘ich vektorning mos elementlari uchun qabul qilamiz, ya’ni

Hisoblash jarayonini
max
shart bajarilguncha davom ettiramiz.
Hisoblashni ketma-ket bajara borib, quyidagilarni olamiz:
K=1 da





K=2 bo‘lganda



K=3 bo‘lganda



K=4 bo‘lganda



K=5 bo‘lganda





K=6 uchun hisoblash kerak:

Demak, sistemaning yechimi
x₁=0.8000, x₂=1.0000, x₃=1.2000, x₄=1.4000.