11-mavzu: Boshlangʻich funksiya va aniqmas integralning ta’rifi, xossalari. Integrallash usullari. Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral. Integrallash jadvali

11-mavzu: Boshlangʻich funksiya va aniqmas integralning ta’rifi, xossalari. Integrallash usullari.
Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral. Integrallash jadvali.
Elementar funksiyalar integrallari jadvali.

2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10. 11.

Integralni toping:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Misol. .
Yechish.
Aniqmas integrallarni hisoblang:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
Quyidagi kasrlarni integrallang:
1. 7.
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
6. 12.
Aniqmas integralni o‘zgaruvchini almashtirish usuli bilan integrallash.
Ushbu bo‘limda o‘rniga qo‘yish (o‘zgaruvchini almashtirish) usuli orqali murakkab integrallarni sodda holga keltirish bilan shug‘ullanamiz.
O‘zgaruvchini almashtirish usuli integrallash uchun juda zarur qoidadir. Buning uchun anti-differensialni, va larni differensial funksiyalar deb olamiz.
Qimmatli bo‘lgan ushbu qoida ni hosilasi quyidagi
(5.30)
ko‘rinishda bo‘ladi deb hisoblaydi.
Integral ko‘rinishida esa quyidagicha yozish mumkin
(5.31)
yoki ni funksiyaning boshlang‘ichi ekanligi inobatga olsak
(5.32)
Maqsadimizga erishish uchun deb olishimiz bizga qulay bo‘ladi, u holda tenglik differensial ko‘rinishda . Bunday belgilashda (5.31) ni
(5.33)
ko‘rinishda ifodalash mumkin.
(5.32) dagi yangi o‘zgaruvchi
va (5.34)
almashtirish natijasida (5.33) ifodaning kelib chiqishi – almashtirish
usuli deyiladi. Bu erda bizni diqqatimiz integrallashga emas, balki yangi o‘zgaruvchi o‘zgaruvchi kiritib hisoblashni engillashtirishga qaratilgan.
Ushbu usulning qanday ishlashini quyidagi misolda ko‘ramiz.
Misol. O‘rniga qo‘yib integrallash.
integralni hisoblang.
Yechish. Agar desak, u holda bundan kelib chiqadi. Demak berilgan integralni quyidagi holda yozishimiz mumkin

Simvolik ravishda Mathematica yordamida hisoblangan natijaga mos keladi
= .
Integralni toping:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Aniqmas integrallarni bo‘laklab integrallashdan foydalanib hisoblang:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.

Aniqmas integrallarni bo‘laklab integrallashdan foydalanib hisoblang:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
Integralni toping:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
Aniqmas integralni bo’laklab integrallash usuli bilan integrallash.
Aniqmas integrallarni bo‘laklab integrallashdan foydalanib hisoblang:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
Integralni toping:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.