11-ma’ruza Mavzu: Trigonometriyaga kirish. Haqiqiy argumentli trigonometrik funksiyalar va ularning xossalari. Reja

11-ma’ruza
Mavzu: Trigonometriyaga kirish.
Haqiqiy argumentli trigonometrik funksiyalar va ularning xossalari.
Reja.
1.Trigonametrik funksiyalar va ularning xossalari.
2.Argumentning ba’zi qiymatalarida trigonametrik funksiyalarning qiymatlari.
3.Trigonametrik funksiyslarning berilgan qiymatiga ko’ra yoyini,burchagini yasash.

Tayanch tushunchalar:Trigonametrik funksiyalar,yoy,burchaklar.

Agar F(x,y,…..,z) elementar transendent funksiya bo‘lsa, F(x,y,…..,z) = 0 (F) tenglama elementar transendent tenglama deyiladi.
F₁=0, F₂=0,….., F_k=0 (F_i) tenglamalar sistemasiga kirgan tenglamalardan hech bo‘lmaganda bittasi transendent bo‘lsa, bu sistema transendent deyiladi.
F₁(x,y,…..,z) = F₂(x,y,…..,z)
tenglama unga ekvivalent bo‘lgan
F₁(x,y,…..,z)-F₂(x,y,…..,z) = 0
tenglama transendent bo‘lganda transendent tenglama deyiladi.
Masalan, x²+2^x = 1+2^x tenglama x²-1=0 algebraik tenglamaga ekvivalent, shuning uchun transendent hisoblanmaydi.
Umumiy holda, elementar transendent tenglamalarni elementar usullar bilan yechib bo‘lmaydi. Berilgan parametrlar ustida ketma-ket arifmetik amallar, elementar operatsiyalar bajarib, tenglamaning umumiy yechimini hosil qiladigan qoidani yaratish mumkin emas.
Xususiy holda transcendent tenglamalarning umumiy yechimini bir ma’lum sonlar ustida elementar operatsiyalarni o‘z ichiga olgan bir yoki bir necha formulalar ko‘rinishida ifodalash mumkin.
Trigonometriyada trigonometrik tenglama deb, noma’lumlar ustida trigonometrik operatsiyalarni o‘z ichiga olgan tenglamalarning xususiy ko‘rinishlariga aytiladi. Masalan, trigonometrik funksiyalar belgisi ostida qatnashgan noma’lumlarni ham o‘z ichiga olgan tenglamaga trigonometrik tenglama deyiladi degan ta’rifga elementar usullar bilan yechib bo‘lmaydigan ko‘pgina tenglamalar ham kiradi.
Masalan, x+sinx=1 tenglama x va sinx ga nisbatan chiziqli bo‘lib, elementar usullar bilan yechib bo‘lmaydi. Boshqa tomonda agar noma’lumlar faqat trigonometrik funksiyalar belgisi ostida qatnashishi kerak degan fikr ta’rifga to‘g’ri kelmaydi. Masalan,
yotda trigonometrik tenglamalarni yechishda ko‘proq f(x)=0 ko‘rinishdagi tenglamalar uchraydi, bunda f(x) –funksiya davriy funksiya. Davriy funksiyalarni o‘z ichiga olgan tenglamalarni yechish uchun uning tenglamaning davri uzunligiga teng biror yarim elementdagi, masalan, 0 yarim segmentga tegishli hamma yechimlarini topish yetarli.
x₁, x₂,…., x_k,… (f) tenglamaning yarim segmentdagi hamma yechimlari to‘plami bo‘lsin, u holda berilgan tenglamaning davriyligini e’tiborga oladigan bo‘lsak, uning hamma yechimlari ikki tomonlama
x₁+k₁l, x₂+k₂l, x₃+k₃l,… (k₁, k₂, …-ixtiyoriy butun sonlar) ayirmasi l ga teng bo‘lgan arifmetik progressiyadan iborat. Masalan, 1-progressiyani
….., x₁-2l, x₁-l, x₁, x₁+l, x₁+2l,… ko‘rinishida yozish mumkin. Yuqoridagilardan ko‘rinadiki, davriy tenglamalarning hamma yechimlari ayirmasi davrga teng ikki tomonlama arifmetik progressiya ko‘rinishda yozish mumkin.
Xususiy holda oddiy trigonometrik tenglamalarning umumiy yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.

Tenglama	Umumiy yechim
a) cosx = m davri 2	agar bo‘lsa x= arccos m+2 k; agar bo‘lsa, yechim yo‘q.
b) sinx = m davri 2	agar bo‘lsa, x = (-1)^narcsin m+ n; bo‘lsa, yechim yo‘q
c) tgx = m davri	x = arctg m+ , m-ixtiyoriy butun son
d) ctgx = m davri	x = arcctg m+ , m-ixtiyoriy butun

Bu qo‘shimcha ta’rif asosan tahlilda qo‘llaniladi. Maktab elementar kursi limitga o‘tish prinsipini qo‘llashdan voz kechadi. Aytilganlar nuqtai nazaridan 2 ta hol bo‘lishi mumkin: ni biror qiymati da yoki lardan birortasi ma’nosini yo‘qotadi.
1. Birinchi nuqtai nazardan maxsus holda ildizga qo‘shimcha ta’rif qabul qilinmaydi. Shuning uchun teglama ildizi hisoblanmaydi.
2. Ikkinchi nuqtai nazaridan limitni tekshirish kerak, agar bu limit mavjud bo‘lmasa yoki noldan farqli bo‘lsa u holda bu tenglama ildizi bo‘lmaydi. Agar limit 0 ga teng bo‘lsa, a tenglama ildizi bo‘ladi.