1- mavzu: Teskari matrisa. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari.
Dars rejasi:
1.
Chiziqli tenglamalar sistemasi.
2.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish va tekshirish.
3.
Kramer qoidasi.
4.
Matritsa usuli.
Teskari matritsa.
6-ta’rif. Bizga A – kvadrat matritsa berilgan bo’lsin. Agar
X
– kvadrat matritsa (
tartibi
A
matritsanikiga teng) uchun
bo’lsa,
u holda
X
– matritsa
A
matritsaga teskari
matritsa deyiladi.
Umuman olganda matritsalarni ko’paytirish kommutativ bo’lmaganligi sababli
ligini hisobga olishimiz kerak,
lekin
matritsaga quyidagi ikki shart qo’yiladi:
va
. Bundan
matritsani
matritsa uchun ikki tomonlama
teskari matritsa deyish
mumkin. Agar boshqa
va
matritsalarni olsak va
va
bo’lsa, u holda
matritsa o’ng teskari matritsa,
esa chap teskari matritsa deyiladi. Agar o’ng va chap teskari
matritsalar teng bo’lsa, bunday matritsa teskari matritsa deyiladi:
.
Agar matritsa maxsus bo’lsa, unga teskari matritsa mavjud emas, agar matritsa maxsusmas
bo’lsa, unga teskari matritsa doimo mavjud.
1.
Matritsalarni qo'shish amali uchun kommutativlik – o'rin almashtirish xossasi o'rinli, ya'ni
A
B
B
A
;
2.
Matritsalarni qo'shish amali uchun assotsiativlik- guruhlash xossasi o'rinli, ya'ni
)
(
C
B
A
C
B
A
;
3.
Matritsalarni songa ko'paytirishda qo'shishga nisbatan distributivlik xossasi o'rinli, ya'ni
B
A
B
A
)
(
4.
Matritsalarnikupaytirishamalidakushishganisbatandistributivlikxossasio'rinli, ya'ni
C
A
B
A
C
B
A
yoki
C
B
C
A
C
B
A
)
(
;
5.
Matritsani songa ko'paytirish va matritsalarni matritsaga ko'paytirish orasida quyidagi xossa
o'rinli, ya'ni
.
B
A
B
A
B
A
;
6.
Matritsalarni ko'paytirish amali uchun guruhlash xossasi o'rinlidir, ya'ni
C
B
A
C
B
A
)
(
)
(
.
Natural
k
son uchun
quyidagi tenglik orqali
марта
k
k
A
A
A
A
...
A
matritsaning «
k
-darajasi» ni aniqlaymiz. U quyidagi xossalarga ega:
0
1
,
, (
)
,
.
m n
mn
m
n
m n
A
E A
A A
A
A A
A
Eslatma.
0
m
A
ekanligidan
0
A
kelib chiqdi.
Shartliravishda
E
A
0
va
A
A
1
debqabulqilinadi.
3
Biror
tartibli …matritsaning
ta yo’li va
ustunini olib,
kxk
tartibli kvadrat
matritsa tuzamiz. Bu kvadrat matritsa determinanti
A matritsaning
tartibli minori deyiladi.
Bunday k tartibli minorlar bir nechta bo’lib, ular turli xil qiymat qabul qilishi mumkin.
Ular orasida noldan farqli bo’lgan yuqori tartibli minorni topish muhimdir.
A matritsaning noldan farqli minorlarining eng yuqori tartibi uning rangi deyiladi va rang
A ko’rinishda belgilanadi.
Misol. rangini toping.
bo’lganligi uchun rang A
Rang hisoblashda turli xil deteminantlarni hisoblashga to’g’ri keladi. Shuning uchun rang
hisoblashning osonroq usullaridan birini keltiramiz.
Berilgan
matritsada
1) ikki parallel qator o’rinlarini almashtirish,
2) biror qatorni o’zgarmas songa ko’paytirish,
3) biror qatorga o’zgarmas songa ko’paytirilgan boshqa parallel qatorni qo’shish.
shu matritsaning elementar almashtirishlari deyiladi.
Elementaralmashtirishlarmatritsaranginio’zgartirmaydi.
Demak, matritsa dioganal ko’rinishga keltiriladi va rangi oson topiladi.
3
Gerd Baumann, Mathematics for Engineers.II. Oldenburg Wissenschaftsverlag
GmbH,Munchen, 2010.217-218 bet.