Wykład Wspomaganie procesów decyzyjnych – predykcja na podstawie liniowych modeli ekonometrycznych ze zmiennymi jakościowymi

Wykład_6. Wspomaganie procesów decyzyjnych – predykcja na podstawie liniowych modeli ekonometrycznych ze zmiennymi jakościowymi
Często w badaniach ekonomicznych wymaga się, aby zbiór zmiennych objaśniających oprócz zmiennych ilościowych obejmował także zmienne jakościowe. Zmiennymi jakościowymi są na przykład: płeć, wykształcenie, stan cywilny. Aby zmienne jakościowe mogły być uwzględnione w modelu ekonometrycznym, należy dokonać ich kwantyfikacji za pomocą zmiennych zero-jedynkowych (ang. dummy variables).

Jeśli zmienna jakościowa odnosi się do 2 możliwych wariantów A i B, to można zdefiniować odpowiadającą jej zmienną zero-jedynkową jako:

Wówczas w modelu

c₁ mierzy średni wpływ na zmienną objaśnianą wariantu A w odniesieniu do wariantu B (przy takim samym poziomie zmiennej ilościowej x_1i).

W przypadku, gdy zmienna jakościowa odnosi się do 3 możliwych wariantów A, B i C, to zmienne zero-jedynkowe określa się jako:

oraz

W modelu ze stałą nie należy uwzględniać już zmiennej odnoszącej się do trzeciego wariantu. Gdyby bowiem dołączona została zmienna z₃:

wówczas między stałą i zmiennymi z₁, z₂, z₃, zachodziłaby zależność liniowa, zatem nie możliwe byłoby jednoznaczne oszacowanie parametrów modelu.

Przykład 1.

Na podstawie 6 obserwacji ustalono, że zmienna jakościowa kolejno odpowiada wariantom C, C, B, A, A, B. Macierz X jest wówczas następująca:

gdzie x_1i – wartości i-tej obserwacji zmiennej ilościowej x₁, i=1,2,...,6, pierwsza kolumna odpowiada stałej, trzecia kolumna zmiennej z₁, czwarta – z₂, piąta –z₃. Gdy zsumuje się kolumny trzecią, czwartą i piątą, otrzyma się kolumnę pierwszą. Pomiędzy kolumnami macierzy X zachodzi więc liniowa zależność. W konsekwencji macierz jest osobliwa, nie można zatem jednoznacznie oszacować parametrów modelu

gdyż oceny parametrów wyznacza się ze wzoru (por. wykład_5):

.

Aby móc oszacować parametry modelu należy usunąć dowolną kolumnę, która jest związana z innymi kolumnami zależnością liniową.

Ogólnie, w modelu ze stałą, liczba zmiennych reprezentujących zmienną jakościową musi być o jeden mniejsza od liczby wariantów.

Jeśli w modelu , i=1,2,...,n,

usuniemy zmienną z_3i odpowiadającą wariantowi C, wówczas uzyskamy model

,

zatem po uporządkowaniu otrzymamy:

Z powyższego wzoru wynika, że ocena parametru występująca w modelu przy zmiennej reprezentującej dany wariant mierzy średni wpływ na zmienną objaśnianą tego wariantu odniesiony do wpływu wariantu pominiętego.

Wykorzystanie zmiennych jakościowych do analizy danych sezonowych.

Jeżeli w badanym zjawisku występują wahania sezonowe, które są liniowe i stałe dla poszczególnych kwartałów, to można opisać je w następujący sposób:

,

gdzie

z_l – zmienne zero-jedynkowe przyjmujące wartość jeden w l-tym kwartale każdego roku i wartość zero w pozostałych kwartałach, l=1, 2, 3, 4

x_j – pozostałe zmienne objaśniające, j=1, 2, ...,k.

Pamiętając o tym, że liczba zmiennych reprezentujących zmienną jakościową musi być o jeden mniejsza od liczby wariantów, podstawiamy i otrzymujemy

.

Model został zatem przekształcony do postaci:

, i=1,2,...,n,

gdzie

, , , ,

Wówczas c_l – oceny parametrów _l informują o średniej wielkości efektów sezonowych w stosunku do wielkości zmiennej objaśnianej w IV kwartale, l = 1, 2, 3.

Przykład empiryczny: rzeczowe aktywa trwałe w zł z Bilansu Firmy (Aktywa)



Zadanie: Wykorzystać model ekonometryczny ze zmiennymi jakościowymi do prognozowania wartości rzeczowych aktywów trwałych na rok 2012.

Dane empiryczne:

Mamy zbudować model o postaci:

Ze względu na współliniowość wariantem pominiętym przyjęliśmy kwartał IV i uzyskaliśmy model:

Po uporządkowaniu otrzymamy:

Oszacowanie modelu:

Interpretacja.

Jeżeli chcielibyśmy uzyskać informacje o odchyleniach od średniego kwartalnego poziomu zmiennej objaśnianej, to należałoby wyznaczyć oceny parametrów ₁, ₂, ₃ i ₄.

Ponieważ , , l=1, 2, 3, oraz , to rozwiązaniem takiego układu 5 równań z 5 niewiadomymi _l, l = 0, 1, 2, 3, 4 jest

,





Oblicz i zinterpretuj wartości parametrów.