gamomcemloba
inteleqti
Tbilisi 2012
guram gogiSvili,
Teimuraz vefxvaZe
ia mebonia,
lamara qurCiSvili
maTematika XII
maswavleblis wigni
(
meTodikuri rekomendaciebi, sakontrolo weris
variantebis nimuSebi da miTiTebebi amocanebis amosaxsnelad)
redaqtori
Teimuraz vefxvaZe
grifi mieniWa 2012 wels ssip ganaTlebis xarisxis ganviTarebis
erovnuli centris (brZaneba # 375, 18. 05. 2012) mier
ISBN 978-9941-439-13-1
© gamomcemloba `inteleqti~, 2012.
guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe,
ia mebonia, lamara qurCiSvili
m a T e m a t i k a
XII klasi
maswavleblis wigni
gamomcemloba inteleqti
Tbilisi 2012
Guram Gogishvili, Teimuraz Vepkhvadze,
Ia Mebonia, Lamara Kurchishvili
MaThs XII
Teacher's Book
InTeLeKTI Publishers
Tbilisi 2012
gamomcemloba inteleqti
Tbilisi, ilia WavWavaZDis gamz. 5. tel.: 2-25 05 22
, 2-91 22 83.
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intelekti Publishers
5 ilia Chavchavadze Ave., Tbilisi, Georgia. Tel.: (995 32) 2-25 05 22
, 2-91 22 83.
3
s a r G e v i
Sesavali .......................................................................................................................................... 7
XII klasis erovnuli saswavlo gegma .................................................................................. 10
Sinaarsisa da miznebis ruka .................................................................................................. 14
saswavlo masalis wardgenis fazebi da gakveTilis
dagegmvis zogadi principebi .................................................................................... 17
sa ni mu So gak ve Ti le bi ............................................................................................................... 25
I Tavi
gameoreba. zogierTi saxis gantolebisa da
utolobis amoxsna. simravlis asaxva ............................................. 39
§1.1. utolobis amoxsna intervalTa meTodiT ............................................................. 39
§1.2. utolobaTa sistema ...................................................................................................... 46
sakontrolo wera .......................................................................................................... 57
$1.3. iracionaluri gantolebis amoxsna ......................................................................... 58
$1.4. simravle. moqmedebebi simravleebze ...................................................................... 63
$1.5. ori simravlis dekartuli namravli ...................................................................... 76
$1.6. asaxva. Seqceuli asaxva ............................................................................................... 80
$1.7. grafTa Teoriis elementebi ..................................................................................... 84
$1.8. debulebaTa dasabuTebis xerxebi ............................................................................ 91
sakontrolo wera .......................................................................................................... 95
§ 1.9. kombinatorika ................................................................................................................. 97
proeqti ....................................................................................................................................... 103
II Tavi
albaToba ......................................................................................................... 104
$2.1. xdomilobaTa sivrce. xdomilobis albaToba .................................................... 104
$2.2. operaciebi xdomilobebze ........................................................................................ 111
$2.3. damoukidebeli xdomilobebi .................................................................................. 116
$2.4. pirobiTi albaToba. xdomilobaTa namravlis albaToba ............................... 121
proeqti .......................................................................................................................... 126
$2.5. did ricxvTa kanonis Sesaxeb .................................................................................. 127
sakontrolo wera ........................................................................................................ 135
III Tavi
algoriTmi. evklides algoriTmi ....................................................137
§ 3.1. algoriTmi ..................................................................................................................... 138
§ 3.2. evklides algoriTmi .................................................................................................. 143
amocanebi jgufuri muSaobisTvis ..........................................................................147
4
§3.3. evklides algoriTmis gamoyeneba .......................................................................... 149
proeqti .......................................................................................................................... 156
$3.4. ricxvTa Teoriis gamoyenebis Sesaxeb ...................................................................157
sakontrolo wera ........................................................................................................ 165
IV Tavi
funqcia .............................................................................................................167
§ 4.1. ricxviTi funqcia. ricxviTi funqciis mocemis xerxebi ................................167
§ 4.2. operaciebi funqciebze. funqciaTa kompozicia. .............................................177
§ 4.3. wrfivi funqcia. funqciis cvlilebis siCqare ................................................. 186
§ 4.4. polinomuri funqcia ................................................................................................. 192
§ 4.5. zogierTi racionaluri da iracionaluri funqcia ....................................... 198
§ 4.6. maCvenebliani da logariTmuli funqciebis gamoyenebis magaliTebi ....... 209
sakontrolo wera ........................................................................................................ 221
V Tavi
geometriuli figurebi .......................................................................... 223
§5.1 veqtorebi sivrceSi .................................................................................................... 223
proeqti .......................................................................................................................... 228
§5.2. koordinatebi sivrceSi ............................................................................................. 229
§5.3. veqtorebis da koordinatebis gamoyeneba .......................................................... 236
§5.4. vagrZelebT veqtorebisa da koordinatebis gamoyenebis
magaliTebis ganxilvas. geometriuli gardaqmnebis gamosaxva
dekartul koordinatebSi. ....................................................................................... 244
§5.5. moculoba ....................................................................................................................... 249
proeqti .......................................................................................................................... 261
§5.6. zedapiris farTobi .................................................................................................... 274
sakontrolo wera ........................................................................................................ 275
VI Tavi
monacemTa analizi da statistika ................................................. 278
§6.1. populacia da SerCeva ................................................................................................ 278
§6.2. SerCevis ricxviTi maxasiaTeblebi
(mediana, saSualo, saSualo kvadratuli gadaxra) .......................................... 282
§6.3. dawyvilebuli monacemebi. korelacia. ganbnevis diagrama ........................... 290
sakontrolo wera ........................................................................................................ 299
VII Tavi
vemzadebiT gamocdebisTvis ............................................................... 301
§7.1. samkuTxedis kuTxeebis jami.
monakveTis SuamarTobisa da kuTxis biseqtrisis Tvisebebi ........................ 301
§7.2. racionaluri ricxvebi. ricxvis xarisxi ............................................................ 302
§7.3. proporcia. proporciis ucnobi wevris povna.
ricxvis dayofa mocemuli SefardebiT.
proporciuli da ukuproporciuli sidideebi. procenti............................ 303