16
.
)
(1
)
(1
1/2)
(
1)
(
=
)
(
1/2
2
1
1
dt
e
t
t
α
π
α
x
λ
i
E
xt
λ
i
α
α
Γ
Γ
Заметим, что
x
e
x
E
=
)
(
1/2
.
Преобразование Данкля функции
F
,
)
(
1,
R
L
f
задается по формуле
.
),
(
)
(
)
(
:=
)
(
R
F
R
λ
x
μ
d
x
f
x
λ
i
E
λ
f
α
α
α
Отметим, что для каждого
R
x
справедлива оценка
1
)
(
ix
E
α
( [5], стр. 295).
Заметим, что
1/2
F
совпадает с преобразованием Фурье
F
, заданным по формуле:
.
,
)
(
)
(2
:=
)
(
1/2
R
F
R
λ
dx
x
f
e
π
λ
f
x
λ
i
Теперь переходим к определению потенциалов Бесселя, порожденных операторам
Данкля (
потенциалов Данкля-Бесселя или
D
-потенциала Бесселя). Рассмотрим оператор
2
2
)
(
D
I
, определенный в образах Данкля как
.
)
(1
=
)
(
2
2
1
2
2
f
F
F
f
D
I
Показано, что он реализуется в виде интегрального оператора типа свертки, порожденного
оператором обобщенного сдвига Данкля. Следовательно, Бесселевый потенциал,
порожденной оператором Данкля определен следующим образом:
),
(
)
(
))
(
(
=
)
)(
(
=
)
(
,
,
,
y
d
y
f
y
G
x
f
G
x
f
J
x
R
где ядро
D
-потенциала Бесселя
,
,
)
2
(
2
)
2
1
(
=
)
(
1
/2
2
|
|
0
,
R
x
t
dt
t
e
β
α
c
x
G
α
β
t
x
t
α
α
β
Γ
Γ
где
2
1
1))
(
(2
=
c
.
Из определения оператора
2
2
)
(
D
I
следует, что
,
)
(
=
)
(
2
2
,
f
D
I
x
f
J
f
D
)
(
R
,
0
,
т.е. оператор
,
J
реализует отрицательные степени оператора
2
D
I
.
Для
D
-потенциал Бесселя имеет место следующий аналог теоремы Харди-
Литтлвуда-Соболева. Эта теорема является основным результатом, в котором получены
достаточные условия для
D
- потенциала Бесселя
,
J
типа Данкля.
Теорема. Пусть
)
(
,
R
p
L
f
,
p
1
и
,
J
определено как (2). Тогда
1) Если
p
1
, то оператор
,
J
ограниченно действует из
)
(
,
R
p
L
в
)
(
,
R
p
L
.
Более того,
α
p
L
α
p
L
α
β
f
f
J
,
,
,
;
17
2) Если
2
2
<
<
0
,
2
2
<
<
1
p
, и
2
2
=
1
1
q
p
, тогда оператор
,
J
ограниченно действует из
)
(
,
R
p
L
в
)
(
,
R
q
L
. Более того,
;
,
1
,
,
p
L
q
L
f
C
f
J
(3)
3) Если
1
=
p
,
2
2
=
1
1
q
, тогда оператор
,
J
ограниченно действует из
)
(
1,
R
L
в
)
(
,
R
q
WL
. Более того,
;
1,
1
,
,
L
q
W L
f
C
f
J
(4)
4) Если
2
2
=
p
,
=
q
, тогда оператор
,
J
ограниченно действует из
)
(
,
R
p
L
в
)
(
R
L
. Более того,
;
,
2
,
p
L
L
f
C
f
J
(5)
5) Если
q
p
1
,
)
1
1
2)(
(2
>
q
p
α
β
, тогда оператор
,
J
ограниченно
действует из
)
(
,
R
p
L
в
)
(
,
R
q
L
. Более того,
.
,
1
,
,
p
L
q
L
f
C
f
J
(6)
Доказательство. 1) получается из неравенства Юнга с учетом того, что
1,
L
- норма ядра
)
(
,
x
G
,
R
x
равна единиче, т.е.
1
=
1,
,
L
G
. Чтобы доказать 2) и 3), ядро
)
(
,
x
G
представим в виде
),
(
)
(
=
)
(
2
1
,
x
G
x
G
x
G
где
t
x
t
x
x
G
x
G
|
|
,
0
|<
|
,
)
(
=
)
(
,
1
и
.
|>
|
,
)
(
|
|
,
0
=
)
(
,
2
t
x
x
G
t
x
x
G
Тогда
),
,
(
)
,
(
=
)
)(
(
)
)(
(
=
)
(
2
1
,
t
x
C
t
x
A
x
f
G
x
f
G
x
f
J
и значит,
.
*
,
2
,
1
,
,
q
L
q
L
q
L
f
G
f
G
f
J
Учитывая асимптотические равенства имеем
2,
2
<
<
0
0,
|
|
,
|
|
|
|
=
)
(
2
2
2
2
1
1
и
x
при
x
o
x
C
x
G
и
|
|
2
1
2
=
)
(
x
e
O
x
G
, при
.
|
|
x
Пусть
k
-любое целое число. Суммируя для любого
0,
<
k
имеем
Dostları ilə paylaş: |