Uputstvo za autore (naslov)

PRIMENA MONTE-KARLO SIMULACIJE U ANALIZI POUZDANOSTI SISTEMA
APPLICATION OF MONTE-CARLO SIMULATIONS TO SYSTEM RELIABILITY ANALYSIS
Dr Dragan Milčić^* i Miroslav Mijajlović^*,**
*Mašinski fakultet Niš, Aleksandra Medvedeva 14, 18000 Niš

^**Stipendista Ministarstva nauke i zaštite životne sredine Republike Srbije, Nemanjina 22, 11000 Beograd

Abstract: Monte-Carlo simulation uses statistics to create mathematical model of real process and determine probability of possible problem’s solutions. Before execution of Monte-Carlo simulation, statistical distribution of times before failures and times of maintenances for all elements of considered system must be determined. This paper presents appliance of Monte-Carlo simulation on several thermo-energetic systems.
Key words: Monte-Carlo Simulation, Reliability, Thermo-energetic systems

1. UVOD
Ideja Monte-Karlo simulacije je da se, umesto opisa slučajne pojave pomoću analitičkih veza, izvede simulacija iste pojave u cilju realizovanja iste (dobijanje realizacije). Dobijanje realizacije se izvodi imitacionim modeliranjem ili simuliranjem, pomoću slučajnih brojeva. Nakon svakog ponavljanja postupka, u rezultatu se dobija po jedna realizacija proučavane slučajne pojave. Simulacija se izvodi određeni broja puta, a skup dobijenih realizacija predstavlja statistički materijal, koji se određenim statističkim metodama obrađuje i interpretira. Stoga se metoda Monte-Karlo naziva i metoda statističkih ispitivanja, a kao nedovoljno precizna definicija može se uzeti da je to numerička metoda kojom se modeliranjem pogodnih, slučajnih promenljivih rešavaju zadaci različitog (i stohastičkog i determinističkog) karaktera.

Svaki postavljeni problem, prethodno treba pokušati rešavati analitički jer se na taj način (ako je moguće) može doći do tačnog rešenja, dok će Monte-Karlo dati približno rešenje. Ako nije moguće doći do analitičkog rešenja, Monte-Karlo predstavlja koristan i veoma praktičan alat za dobijanje traženog rezultata.

Današnjica, kao prednost metodi Monte-Karlo, donosi računare velikih brzina obrade podataka, koji mukotrpan posao sračunavanja pojednostavljuju do minimalnih granica. Iako je ova metoda, u velikom broju slučajeva, znatno jednostavnija od primene analitičkih metoda, primena ove metode je ispravna samo u slučaju nemogućnosti modeliranja analitičke zavisnosti između parametara, ili radi provere analitičke metode.

Inače, Monte-Karlo simulacija je razvijena 1940. godine, kao deo programa atomske bombe. Naučnici u Los Alamos National Laboratory, u Americi, su je koristili da bi odredili slučajnu difuziju neutrona. Naučnici, koji su razvili ovu simulaciju, nazvali su je Monte-Karlo, prema gradu u Monaku i njegovim mnogobrojnim kazinima. Danas, Monte-Karlo simulacija se koristi u širokoj oblasti, uključujući: fiziku, ekonomiju (finansije) i pouzdanost sistema.

2. OSNOVE MONTE-KARLO SIMULACIJE
Monte-Karlo analiza koristi statistiku da matematički modelira realni proces i zatim utvrđuje verovatnoću mogućih rešenja. Pre izvršenja Monte-Karlo simulacije, mora se utvrditi statistička raspodela vremena otkaza i vremena održavanja. U većini slučajeva, raspodela vremena do otkaza se najbolje prikazuje Veibulovom raspodelom, dok se lognormalna raspodela uglavnom koristi za prikazivanje raspodele vremena održavanja. Neki izuzeci, vredni pažnje, su elektronska kola, koja teže da imaju eksponencijalnu raspodelu vremena do otkaza (Times To Tailure -TTF) i modularni tip održavanja, koji češće ima eksponencijalnu raspodelu (Times To Repair -TTR). Jednom, kada se odrede raspodela vremena otkaza i raspodela vremena održavanja, Monte-Karlo simulacijom se može izmodelirati proces, zavisno od vremena. Da bi se izvela simulacija, generiše se slučajni broj, između 0 i 1, da predstavi verovatnoću pojave stanja u određenom trenutku. Iz verovatnoće, odgovarajuće vreme događaja se može izračunati, koristeći statističku raspodelu, odabranu za modelirani proces. Na primer, ako slučajno generisani broj 0.7785 povežemo sa stanjem u otkazu, Monte-Karlo simulacija će utvrditi verovatnoću stanja u otkazu 77.85%. Ako su stanja u otkazu, u ovoj situaciji, predstavljena Veibulovom raspodelom, sa parametrima =2 i =10000 sati, onda postoji šansa od 77.85% da će nastupiti stanje u otkazu posle 12275 sati vremena u radu (uz predpostavku da smo vreme počeli da merimo od 0). Kao cilj, Monte-Karlo simulacija radi unazad od određene verovatnoće do određivanja vremena događaja.

Uključujući sličan model za stanje u radu, ciklus “stanje u radu”-“stanje u otkazu” se može simulirati za svaki vremenski period. Sledeća verovatnoća generisana slučajnim brojevima odrediće vreme održavanja (popravke) za opremu u otkazu. Kalendar se zatim ažurira, i simulacija se nastavlja proračunavanjem sledećeg stanja u radu od trećeg slučajnog broja, napred objašnjenom metodom. Stoga, ako je simulriano vreme popravke bilo 12 sati i vreme narednog otkaza je 8900 sati, kalendar simulacije bi bio na t=12275+12+8900=21187 sati. Simulacija će se nastaviti ako je specificirano radno vreme veće nego trenutno kalendarsko vreme od 21187 sati. U drugom slučaju simulacija će biti zaustavljena.

Kombinujući, individualne jedinice za formiranje većih sistema, mogu se simulirati čitave fabrike. Kada su i ekonomska razmatranja uzeta u obzir, kao što je gubitak i cena popravke, Monte-Karlo simulacija može biti moćno oruđe za optimizaciju održavanja. Simulacije manjih sistema se mogu izvršiti korišćenjem bilo kog softvera, kao što je Microsoft Excel, sa obavezno ugrađenim statističkim funkcijama raspodele. Veći sistemi, vrlo brzo mogu postati suviše komplikovani za manipulisanje, bez pomoći softvera za simulaciju. Sledeći primeri ilustruju kako su simulacije Monte-Karlo primenjene na analizu pouzdanosti sistema.
3. PRIMERI PRIMENE MONTE-KARLO SIMULACIJE KOD TERMOENERGETSKIH SISTEMA
Primer 1:

Koristeći Monte-Karlo metodu, odrediti predviđenu raspoloživost parne turbine u periodu narednih 10 godina. Koliko otkaza treba očekivati u tom vremenskom periodu? Raspodele stanja u radu i stanja u otkazu data su izrazima

(1)

(2)
Kako lognormalna raspodela nema rešenje za kumulativnu funkciju raspodele, napravljene su standardizovane tabele, od numerički dobijenih rešenja. Standardizovane tabele su korišćene prvi put, za izračunavanje parametra z, kao što sledi:
(3)
Rešenje:

1. 
   Prvo odrediti nasumične brojeve za svaki proces (stanje u radu i stanje u otkazu). Najjednostavniji način za izvršenje ovoga, je korišćenje funkcije za slučajno biranje brojeva, ugrađene u matematički softver koji se koristi. Sledeći slučajno odabrani brojevi biće korišćeni u ovom primeru:
   

Prvi niz #1=0.647552, 0.420674,0.435368

Drugi niz #2=0.034957, 0.773936, 0.719203

2. 
   Izračunati prvo vreme otkaza. Da bi to uradili, jednačina 1 se mora rešiti za vreme stanja u otkazu:
   

3. 
   Izračunati ekvivalentno vreme u popravci. Kao u prethodnom koraku, jednačina 3 se mora rešiti za stanje u otkazu. Koristeći standardizovane tablice za normalnu raspodelu (ili program sa tabelama, preprogramiranim), za verovatnoću 0.034957 sledi z=-1.085.
   

4. 
   Zatim se ažurira kalendar da prikaže ukupno proteklo vreme.
   

Now=1621.1+2.6=1623.7 dana

5. 
   Ponavlja se korak 2 sa drugim brojem iz prvog niza
   

6. 
   Ponavlja se korak 2 sa drugim slučajnim brojem iz drugog niza:
   

7. 
   Ažurira se kalendar
   

Now=1623.7+1324.2+8.8=2956.7 dana

8. 
   Ovaj proces se ponavlja sve do dostizanja ili preskakanja kriterijuma od 10 godina (3650 dana). Sledeće proračunato stanje u otkazu je 1343 dan, koji će izneti kalendar van granice od 10 godina. Stoga, očekivani broj otkaza tokom predviđenih 10 godina je dva. Očekivana raspoloživost je
   

Primer 2:

Ako se razmatra proizvoljan prost trokomponentni sistem dat na slici 1. Otkaz jednog od dve komponente koji obrazuju rednu vezu podsistema izaziva otkaz celog podsistema. Prva iteracija Monte-Karlo simulacije je testiranje stanja prve komponente podsistema pri generisanju slučajnog broja u opsegu [0,1]. Ako prva komponenta nije otkazala, onda se testira stanje druge komponente. Ako je redna veza podsistema otkazala, onda se testira paralelna komponeta 3 datom podsistemu. Ako i komponenta 3 otkaže, to ujedno znači i otkaz sistema. Nakon određenog broja izvršenih simulacija, pouzdanost sistema se sračunava kao količnik broja simulacija pri kojima nije došlo do otkaza sistema prema ukupnom broju simulacija.

Kako Monte-Karlo simulaciju ima smisla primeniti samo na složenim sistemima, to će u daljem toku biti razmatrana energana Sartida u Smederevu, koja ima zadatak da snabdeva potrošače energijom i fluidima preko sledećih tehničkih sistema koji su međusobno povezani: termoenergetski sistem (energana), hidroenergetski sistem (pumpne stanice), gasnoenergetski sistem (gasne i mazutna stanica), elektroenergetski sistem (trafostanice i razvodna postrojenja). Tehnološka šema energane data je na slici 2 [4].

Energana (paro-vazdušna i elektrostanica) ima zadatak da, pre svega, snabdeva visoku peć sa vazduhom za tehnološki proces koji se u njoj odvija, da služi kao izvor električne energije za potrebe metalurškog kombinata, a naročito za kritične potrošače I kategorije na napon 6 kV, da služi za pripremu i snabdevanje metalurškog kombinata toplifikacionom vodom, čiji su parametri 130/70 ⁰C, i da služi za pripremu i snabdevanje pojedinih pogona dekarbonizovanom vodom. Energana je jedinstvena tehnološko-građevinska celina koja se sastoji od: hemijske pripreme vode, termičke pripreme vode, kotlovnice i mašinske hale (odeljenja turbogeneratora i turboduvaljki). Kao osnovno gorivo za kotlovnicu se koristi visokopećni gas, a zatim prirodni gas i mazut.

Slika 2.
Treba istaći, da su otkazi i poremećaji podsistema energane međusobno zavisni događaji, pa je teško odrediti vreme do otkaza i pouzdanost energane. Blok dijagram pouzdanosti energane dat je na slici 3.



Slika 3.

Ukoliko postoje podaci o pouzdanosti pojedinih podsistema (prikazanih na Slici 4.), pouzdanost celog sistema (energane) je relativno jednostavno odrediti. Sistem energane se dekomponuje na 7 podsistema, koji redno vezani, daju šemu identičnu energani.

R₁ = R_SV;

R₂ = 1-(1-R_PVG)(1-R_PG)(1-R_M);

R₃ = 1-(1-R_PDM1)(1- R_PDM2);

R₄ = 1-(1-R_TNP1)(1-R_TNP2)(1-R_ENP1)(1-R_ENP2)(1-R_ENP3);

R₅ = 1-(1-R_K1)(1-R_K2)(1-R_K3);

R₆ = 1-(1-R_TG1)(1-R_TG2);

R₇ = 1-(1-R_TD1)(1-R_TD2).

Ukupna pouzdanost energane, računa se prema izrazu, i za zadate podatke, daje vrednost

R =0.562080620.562.

I
Slika 4.

zračunavanje srednjeg vremena do otkaza TTF je u ovom slučaju znatno komplikovanije nego izračunavanje pouzdanosti. Srednje vreme do otkaza (u satima) se računa kao:

, gde je: ;

, ; ...

gde su: _SV, _PVG, _PG,...- intenziteti otkaza odgovarajućeg podsistema.

Ukoliko bi se svi članovi podsistema uveli u osnovni izraz za TTF, uvidelo bi se da je gotovo nemoguće sračunati ga, zbog velikog broja članova pod znakom integracije.

Kod ovakvih problema se, bez ikakvih ustručavanja, može iskoristiti metoda Monte-Karlo, i rešenje, koje se dobija simulacijom se može prihvatiti kao dovoljno tačno za dalja razmatranja ispravnosti rada sistema.

Na slikama 4, 5 i 6, prikazana je aplikacija kojom se vrši Monte-Karlo simulacija, od trenutka unosa polaznih podataka (pouzdanosti podsistema ili odgovarajućih intenziteta otkaza), preko željenog vremena u radu i broja ponavljanja simulacije do konačnih rezultata svakog ponavljanja i konačnog rezultata.

Slika 5.

Slika 6.
Za unešene vrednosti pouzdanosti (Slika 4.), srednje vreme u radu T=7000 sati i 100 ponavljanja, Monte-Karlo metoda, daje sledeće rezultate:

-Pouzdanost sistema................................R= 0.56

-Srednje vreme do otkaza........................TTF= 9452.87 sati.

Rezultati Monte-Karlo simulacije su prikazani na slici 6.

Korišćenjem programa Matlab 7.01., za iste podatke, dobijaju se sledeći rezultati:

-Pouzdanost sistema................................R= 0.56208

-Srednje vreme do otkaza........................TTF= 10301.41527 sati.

Relativna greška Monte-Karlo simulacije u odnosu na analitičko rešenje je:

Relativna greška srednjeg vremena do otkaza:

4. ZAKLJUČAK
Primena Monte-Karlo simulacije u predviđanju pouzdanosti tehničkih sistema ima smisla kod složenih sistema sa velikim brojem podsistema i sastavnih elemenata. Odnosno, ima smisla koristiti ovu metodu u slučajevima kada je analitičko rešavanje pouzdanosti sistema komplikovano ili čak neizvodljivo. Jedan takav sistem je termoenergetski sistem – energana, koji je razmatran u ovom radu.

Naravno, za primenu Monte-Karlo simulacije u prognoziranju pouzdanosti sistema, neophodno je poznavati raspodele vremena otkaza odnosno raspodele vremena popravke svih elemenata uzetih u obzir blok dijagramom pouzdanosti.

REFERENCE
[1] Vukadinović, S., Popović, J.: Metoda Monte-Karlo, Univerzitet u Beogradu, Saobraćajni fakultet,Beograd, 1996.

[2] Corver, B.: The Monte-Carlo Method and Software Reliability Theory, TR-94/1, 1994.

[3] Milčić, D.: Pouzdanost mašinskih sistema, Univerzitet u Nišu, Mašinski fakultet Niš, 2005.

[4] Tomić, M., Adamović, Ž.: Pouzdanost u funkciji održavanja tehničkih sistema, Tehnička knjiga, Beograd, 1986.