Soustractif atmosphérique à la vitesse de tsiolkovski

Amendement atmosphérique Tsiolkovski Page

AMENDEMENT ATMOSPHÉRIQUE À LA VITESSE DE TSIOLKOVSKI
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Corrections mineures en décembre 09, avec apports concernant la chute des corps en général et comparaison avec un abaque des Pertes de Vitesses par Traînée en phase propulsive produit par l’US Army.

N’hésitez pas à nous honorer de vos remarques.

C’est en 1903 que Constantin Tsiolkovski, modeste enseignant russe :


^{http://fr.wikisource.org/wiki/Constantin_Tsiolkovski}
…publia, dans son ouvrage « L'exploration de l'espace cosmique par des engins à réaction » la formule qui ouvrait la voie à la conquête de l’Espace. Cette formule donne la vitesse qu’on peut attendre d’une fusée à l’issue de sa phase propulsive :
Formule (1) (dite de Tsiolkovski)

V_FinProp = V_éject.Ln(R) - gT

Dans cette formule :

V_éject est la vitesse d’éjection, supposée constante, de la Masse d’Appui éjectée par les moteurs ¹

g est la gravité de la planète dont la fusée cherche à se soustraire,

T est la durée de la phase propulsive,

R est le Rapport de Masses Final de la fusée, à savoir, le quotient de sa Masse à l’instant du départ sur sa masse à l’instant de la fin de propulsion ² .
Nous démontrerons à la fin de ce texte que cette formule peut également être établie avec un Débit Massique du moteur tout à fait variable dans le temps (à Vitesse d’Éjection constante).
D’autre part, il est important de souligner que cette formule est établie en supposant nulle la résistance de l’air.

DÉMONSTRATION DE CETTE FORMULE DE TSIOLKOVSKI
Revenons brièvement sur la démarche qui conduisit Tsiolkovski à cette formule historique.
La loi fondamentale de la dynamique permet de décrire le mouvement de la fusée durant sa phase propulsive par l’équilibre des forces auxquelles elle est soumise :

Ces forces sont la poussée P_(t) , le poids M_(t) g , la Traînée aérodynamique T_(t) et la force d’inertie M_(t) γ_(t) ( P_(t), T_(t) ainsi que la masse M_(t) sont variables avec le temps, comme l’accélération instantanée γ_(t) ) :

γ_(t)M_(t) = P_(t) -T_(t) - M_(t)g
Tsiolkovski eut ici l’idée de simplifier le problème en considérant la Traînée aérodynamique T_(t) comme négligeable. Bien que le sujet de ce texte soit justement d’étudier ce qui se passe lorsque l’on ne néglige pas la traînée aérodynamique, acceptons pour le moment cette simplification.
Si donc le freinage atmosphérique est négligé, l’accélération instantanée de la fusée est :
γ_(t) =
soit :
γ_(t) = - g
Pour accéder à la vitesse de fin de propulsion, il est évidemment nécessaire d’intégrer cette accélération, et ceci sur l’ensemble de la durée de la phase propulsive :
V_FinProp=∫γ_(t).dt = ∫ dt - ∫g dt

Il est de tradition de poser ici que le Débit Massique q est constant ³ . Cette hypothèse facilite en effet le travail d’intégration. Mais nous démontrerons à la fin de ce texte que la formule historique de Tsiolkovski peut également être établie avec un Débit Massique du moteur tout à fait variable dans le temps (à Vitesse d’Éjection constante cependant).

Mais admettons pour le moment que le Débit Massique q est constant.
Si tel est le cas, la Masse Instantanée M_(t) devient une simple fonction linéaire du temps (puisque la fusée s’allège à chaque seconde de son débit massique constant) :
M_(t) = M₀ -qt
Il est également de tradition de poser que la poussée développée par le moteur est constante : P_(t) devient alors la constante P dont la loi de la dynamique nous affirme qu’elle vaut le produit qV_éject  ⁴.
La Vitesse de Fin de Propulsion est alors :
V_FinProp= ∫ dt -∫g dt
soit :
V_FinProp= q V_éject ∫ dt -∫g dt
Présentée ainsi, l’intégration du premier terme est possible : elle fleure bon le logarithme népérien. ⁵
Mais le souvenir de la valeur de la Masse Instantanée de la fusée M_(t) = M₀ –qt nous revient. Il nous permet alors d’affirmer :
dM_(t) = -q dt soit dt = -

Cette valeur de dt nous autorise à présenter l’intégration sous la forme :

V_FinProp= V_éject ∫ - ∫g dt
et l’exécution de ces deux intégrales sur la durée T de la propulsion, donne bien la fameuse formule de Tsiolkovski :
Formule (1) (de Tsiolkovski), établie avec un débit massique q supposé constant :

V_FinProp = V_éject.Ln(R) - gT

avec V_éject est la vitesse d’éjection, supposée constante

g la gravité de la planète

T est la durée de la phase propulsive

et R le Rapport de Masses Final de la fusée, c à d le quotient de sa Masse à l’instant du départ sur sa masse à l’instant de la fin de propulsion.

Nous reviendrons à la fin de cette réflexion sur le calcul de la même Vitesse de Fin de Propulsion lorsque ni le débit q ni la Vitesse d’éjection V_éject ne sont plus supposés constants.