Z b ig n ie w K ró l
Zakład Teorii Poznania i Filozofii Nauki, Zespół Hermeneutyki
i Filozofii Matematyki, Instytut Filozofii i Socjologii PAN;
Zakład Filozojii Nauki, Socjologii i Podstaw Techniki
Politechnika Warszawska
zbigkrol@wp.pl
P L A T O N IZ M W M A T E M A T Y C E A P L A T O N IZ M W N A U K A C H
M A T E M A T Y C Z N O -P R Z Y R O D N IC Z Y C H
Matematyka dość wcześnie uznana została za Ję z y k przyrody”, a następnie za Ję z y k
nauki o przyrodzie”. Razem z rozwojem neopozytywistycznej filozofii nauki potraktowano
matematykę jako dziedzinę czysto formalną nie posiadającą własnego odniesienia
przedmiotowego (meaningless, np. C am ap1). Szybko jednak okazało się, że nie da się
nominalistycznie opisywać matematyki (np. W.V.O. Quine2, H. Putnam3, etc.). Jednakże,
niezbywalną konieczność uwzględnienia odniesienia przedmiotowego próbuje się
interpretować w ramach empiryzmu i natural i stycznej epistemologii4 (np. P. M addy5), co z
czysto rzeczowych powodów jest nieadekwatne. Możliwe jest jednak inne ujęcie i opis
faktu obecności platonizmu w matematyce.
1 R. Camap, The Logical Syntax o f Language, Routlege & Kegan Paul Ltd., London 1937 (zwłaszcza
par. 84). Najogólniej mówiąc stanowisko, że matematyka jest czysto formalną grą językową
reprezentują formaliści matematyczni. Sztandarowym dziełem jest tutaj: H. Curry, Outlines o f a
formalist philosophy o f mat hematic, North Holland Publishing Company, Studies in Logic and the
Foundations o f Mathematics (SLFM), Amsterdam 1951. Zbliżone do skrajnych formalistów poglądy
na matematykę głosił L. Wittgenstein w Tractatus Logico-Philosophicus.
2 W.V.O. Quine próbował ustanowić czysto nominalistyczną interpretację formalnych systemów
matematycznych; por. np. W.V.O. Quine, N.D. Goodman, Steps toward constructive nominalism,
„Journal of Symbolic Logic” (JSL) 1947, v. 12, s. 105-122. Pod wpływem analizy argumentu
przekątniowego Cantora został platonikiem; por. W.V.O. Quine, On universals, JSL 1947, s. 74-84.
H. Putnam, Philosophy o f logic, Georg Allen & Unwin., 1971. Putnam odszedł później od
platonizmu z Filozofii logiki sformułowanego na podstawie tzw. indispensability argument pod
wpływem tzw. (kontrargumentu teoriomodelowego; por. H. Putnam, Models and reality, w: P.
Benacerraf, H. Putnam (red.), Philosophy o f mathematics. Selected readings, reprint wyd. II z 1983,
Cambridge University Press 1987 (dalej jako: [B., P. 1987]), s. 421- 444.
4 Problemy związane z niezgodnością platonizmu matematycznego i naturalistycznych oraz
kauzalnych epistemologii zostały wywołane pracami P. Benacerrafa; por. tenże, What numbers could
not be, w: [B., P. 1987] s. 272-294, tenże, Mathematical Truth, “Journal o f Philosophy” 1973, v. 70,
s. 661-680; (także w: [B., P. 1987] s. 403-420).
5 Koncepcja P. Maddy jest jedną z prób pogodzenia platonizmu matematycznego Gódla z
naturalizmem; por. np. P. Maddy, Realism in Mathematics, New York 1990 Oxford University Press.
Inne próby podjęli strukturaliści matematyczni. Por. np. M. D. Resnik, Mathematical knowledge and
pattern cognition, “Canadian Journal o f Philosophy” 1975, nr 1, s. 25-39, tenże, Mathematics as a
science o f patterns: epistemology, “Nous” 1989, v. 16, s. 93-105, tenże, Naturalized epistemology
and platonist ontology, “Philosophica” 1989, v. 43, s. 7-29, M. Steiner, Mathematical realism,
“Nous” 1983, nr 3, s. 363-385.
108
Filozofia przyrody - dzi
ś
= Philosophy of nature today. Red. W.
Ł
ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.
http://rcin.org.pl/ifis
1. Platonizm w matematyce
Platonizm matematyczny, niezależnie od osobistych przekonań matematyków, przejawia
się w ściśle określonych metodach badania matematycznego. Te „platońskie” metody -
sposoby badania matematycznego - często nie są sformułowane explicite i są milcząco
zakładane jako oczywiste.
Platonizm matematyczny niekoniecznie zatem musi być rozumiany jako zewnętrzne w
stosunku do matematyki przekonanie o istnieniu jakichś idealnych obiektów, które to
przekonanie nie ma znaczenia dla matematyki. Takie zewnętrzne przekonanie o realnym
czy idealnym istnieniu przedmiotów matematyki wydaje się nie mieć żadnego wpływu na
przebieg badania matematycznego6. Nigdzie nie musimy explicite odwoływać się do
istnienia jakichś przedmiotów. Używamy, oczywiście, np. kwantyfikatorów szczegółowych
(„istnieje takie x, że...”), ale podobne do fdozoficznego brzmienie słowa „istnieje” nie
oznacza użycia go w sensie ontologicznym. Teoria prawdy Tarskiego pokazuje jak
rozumieć prawdziwość takich wypowiedzi. Nauka Q uine’a o kwantyfikatorowych
zobowiązaniach ontologicznych teorii nie dociera do istoty zagadnienia i nie ujmuje
najistotniejszych cech zjawiska platonizmu matematycznego7.
W rzeczywistości jednak, da się wydobyć i obiektywnie opisać pewien, bardzo złożony
zespół przedzałożeń matematycznych, które z reguły nie są nawet uświadamiane przez
pracującego
matematyka.
Te
przedzałożenia
stanowią
część
tzw.
horyzontu
hermeneutycznego: struktury warunkującej rozumienie i uprawianie matematyki.
Platonizm w matematyce posługującej się, od czasów Fregego, ściśle sformalizowanymi
językami został odkryty jako problem ściśle m atematyczny8. Termin „platonizm” w
odniesieniu do matematyki współczesnej został użyty po raz pierwszy przez J. Bemaysa
dopiero w 1935 roku9 na określenie dyskusji w matematyce, która trwała już od
kilkudziesięciu lat i nie posługiwała się tym terminem explicite.
Okazuje się zatem, że platonizm już jest obecny wewnątrz matematyki i jest warunkiem
sine qua non jej uprawiania. Przejawia się on w ścisłe matematycznych metodach
badawczych jako tzw. platonizm jako metoda badania w matematyce. Należą do nich np.
a) użycie prawa wyłączonego środka i klasycznej negacji wraz z dowodzeniem nie
wprost,
b) użycie definicji niepredykatywnych,
c) niekonstruktywność
większości
klasycznych
działów
matematyki
(analiza,
topologia, teoria mnogości, teoria modeli itd.),
d) tzw. „spojrzenie z zewnątrz” na system,
e) pozaformalne metody badania matematycznego, itp.
6 W ten sposób o platonizmie pisał np. R. Camap umieszczając go w tzw. „bazie zewnętrznej nauki” ;
|x>r. R. Camap, The Logicist Foundations o f Mathematics, w: [B., P. 1987] s. 41-52.
Zob. Z. Król, O platonizmie w teorii mnogości, „Roczniki Filozoficzne KUL” 2003,
t. LI, z. 3, s.
225-252.
8 Por. E.W. Beth, L ’existence en mathématiques, Paris 1956 Gauthier-Villars; tenże, Mathematical
Thought: An Introduction to the Philosophy o f Mathematics, Dordrecht 1965 Reidel.
9 P. Bemays, Sur le platonisme dans les mathématiques, “L’Enseignement Mathématique” 1935, v.
34, s. 52-69.
109
Filozofia przyrody - dzi
ś
= Philosophy of nature today. Red. W.
Ł
ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.
http://rcin.org.pl/ifis
Metody te są przejawem traktowania rzeczywistości matematycznej, przedmiotu badań
matematyka, jako istniejącej, gotowej, dobrze określonej i ,już-tam -będącej” . Można
próbować zrezygnować z niektórych metod, tak jak to robił np. L.E.J. Brouwer, ale nie da
się pozbyć ich całkowicie. Intuicjonizm jest tego dobrym przykładem. Dokładny opis tego
rodzaju wewnętrznego platonizmu matematycznego wymaga wyróżnienia dodatkowych
jego rodzajów: platonizmu hermeneutycznego, nieźródłowego platonizmu ontologicznego,
platonizmu jako istnienia prawdy w matematyce, platonizmu jako sposobu istnienia
nieskończoności, hermeneutycznego platonizmu epistemologicznego itd .10
Analiza platonizmu jako metody badania w matematyce, czyli analiza wszelkich ściśle
matematycznych przejawów, gdzie jedynie ostensywnie zwracamy się do niewytworzonej
w żadnych aktach konstrukcji „rzeczywistości” matematycznej i gdzie pojawia się ona jako
coś już danego i zastanego (np. użycie aksjomatu wyboru w teorii zbiorów; por. też
wspomniane już analizy Wanga argumentu przekątniowego Cantora) jest bardzo złożonym
zagadnieniem. Matematycy uświadomili sobie, że tzw. matematyka klasyczna jest w tym
właśnie sensie „platońska” (tzn. w sensie stosowanych, np. niekonstruktywnych metod).
Dlatego rozpoczęto analizę tego zjawiska, rozważając możliwość ograniczenia takiego
platonizmu. Dlatego też powstały analiza predykatywna i różne kierunki predykatywne, np.
predykatywizm H. Weyla, intuicjonizm, ultraintuicjonizm, program Hilberta, formalizm i
program
Principia
Mathematica,
różnego
rodzaju
konstruktywizmy,
matematyka
intensjonalna, itd 11.
Z drugiej strony, matematyka korzysta dalej z platońskich metod i rozwija się
wzmacniając coraz bardziej pozycję platońską. Dla przykładu najbardziej platońską teorią w
sensie stosowanych metod jest teoria kategorii, która przecież używa np. antyplatońskich
logik intuicjonistycznych. Platonizm teorii kategorii dotyczy głównie tzw. spojrzenia z
zewnątrz na system sformalizowany. Przykładowo, opis zbioru w kategorii Set odbywa się z
punktu widzenia „obserwatora zewnętrznego” : nie odwołujemy się do struktury
wewnętrznej zbioru jako do całości złożonej z elementów, gdzie w opisie kluczowa jest
relacja „należenia do zbioru”, lecz traktujemy zbiór jako obiekt nie posiadający struktury
wewnętrznej i badamy tylko jak się zachowuje względem innych obiektów. Można w ten
sposób opisać obiekty, które nie są zbiorami, nawet w sensie tzw. boolean valued sets.
Teorię modeli można uprawiać w toposach, gdzie uzyskujemy opis sytuacji język/metajęzyk
dowolnego rzędu. Możliwe staje się pokazanie, że niekoniecznie dla każdego „klasycznego”
10 Por. Z. Król, Platonizm matematyczny i hermeneutyka, Warszawa 2006 Wyd. IFiS PAN.
11 Więcej informacji i uzasadnienie zob. w Z. Król, Platonizm matematyczny i hermeneutyka, op. cit.
Tytułem jedynie ilustracji podam, że antynomie są powodowane przez odniesienie się matematyka do
pewnych niepredykatywnych całości. System Principia Mathematica powstał m. in. jako próba
wyeliminowania antynomii, okazał się jednak niepredykatywny „w innym miejscu” (ćksjomat
redukowalności). Matematycy zbadali, ile z klasycznej matematyki da się otrzymać bez posługiwania
się definicjami niepredykatywnymi i szereg innych problemów związanych z niepredykatywnością;
por. S. Feferman, Systems o f predicative analysis, w: J. Hintikka (red.), Philosophy o f mathematics,
London 1969 Oxford Universtity Press, s. 95-127. Zob. także H. Weyl, Der circulus vitiosus in der
heutigen Begründung der Analysis, „Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung“ 1919,
v. 28, s. 85-92; tenże, Das Kontinuum: Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis,
Leipzig 1918, (reprint 1932). H. Wang w pracy Survey o f mathematica! logie, Amsterdam 1963
North-Holland (gł. s. 35-56, 559-584) pokazuje jak ontologiczny problem niepredykatywności
wpływał na tworzenie i rozwój różnych systemów matematycznych.
110
Filozofia przyrody - dzi
ś
= Philosophy of nature today. Red. W.
Ł
ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.
http://rcin.org.pl/ifis
języka możemy rozważać jako „równocześnie” dany klasyczny metajęzyk, co w zasadzie
przyjmujemy w klasycznej teorii modeli.
W teorii kategorii „niewinne” traktowanie czegoś jako obiekt, oznacza opis „z punktu
widzenia zewnętrznego obserwatora”, co formalnie wyraża się przez opis w metajęzyku.
Dlatego kategoria „zawiera” razem z obiektem jego „zewnętrzne środowisko” i dlatego
jed n a kategoria może być równocześnie modelem dla języków różnych rzędów: dla języka
danego rzędu modelem jest tylko jeden obiekt z kategorii. Wyjście poza system, czyli np.
opis języka przedmiotowego w metajęzyku powoduje pojawienie się nowego obiektu. Jest
tu analogia z tym, że zbiór jest nowym obiektem w stosunku do swoich elementów.
Sytuacje te związane są z platonizmem, gdyż umożliwiają pokazanie, że matematyka nie
redukuje się do jakiegoś niezinterpretowanego języka. Oprócz formalnych języków i reguł
zawsze obiektywnie i koniecznie pojawiają się sytuacje, gdzie uprawianie matematyki musi
odbywać
się
nieformalnie.
W
tych
niesformalizowanych
„dziurach”
następuje
niekonstruktywne odniesienie się do czegoś, co ,ju ż tam je st” .
2. Platonizm współczesnego przyrodoznawstwa
Jaki jest związek tak opisanego platonizmu matematycznego ze współczesnym
matematycznym przyrodoznawstwem?
W rozwoju nauki można wyodrębnić tendencję do zauważania i uwzględniania coraz
większej roli podmiotowych determinantów poznania. Dla przykładu przejście od fizyki
Newtona do teorii względności Einsteina można interpretować jako uwzględnienie roli i
równouprawnienia obserwatorów (= układów odniesienia). Newton postulując wyróżniony
układ odniesienia związany ze sferą gwiazd stałych, spoczywających względem absolutnie
niezmiennej przestrzeni - areny, pojemnika dla całości zjawisk - uznał, że tak określony
układ odniesienia jest niezależny od obserwatora. Opis świata jest tylko jeden: w
wyróżnionym układzie odniesienia. Einstein pokazał, że przyjęcie takiego układu prowadzi
do trudności. Zaproponował opis zrelatywizowany do obserwatora. Żaden obserwator nie
znajduje się w uprzywilejowanej pozycji. Poprzez odwołanie się do prostych czynności
pomiarowo badawczych możliwych do wykonania przez każdego obserwatora (pomiar
czasu i odległości) ustalił, że prawem przyrody jest tylko to, co jest jednakowe we
wszystkich układach odniesienia i co jest niezależne od specyficznych, lokalnych własności
układu odniesienia. Ten, pierwotnie ograniczony do obserwatorów w inercjalnych układach
odniesienia opis, Einstein uogólnił (poprzez zasadę równoważności) dla dowolnego
obserwatora: powstała ogólna teoria względności (grawitacji).
M atem atycy12 dostrzegają analogię pomiędzy teorią względności a matematyką
współczesną. Z jednej strony rozwój teorii kategorii skłania do rezygnacji z jednego
globalnego teoriomnogościowego środowiska, areny dla uprawiania całej matematyki, i
zastąpienia go przez szereg lokalnych kategorialnych struktur. Z drugiej strony nastąpiła
relatywizacja
struktur
matematycznych
i
związanie
ich
z
opisem
w
ściśle
wyszczególnionym języku o dokładnie określonej mocy wyrażeniowej. Praktyczne
ograniczenia w formalizacji podstawowych teorii matematycznych pokazują relatywizację
używanych pojęć matematycznych, np. zbioru, liczby kardynalnej, względem mocy
12 Np. F. W. Lawver i J. L. Bell; por. np. J. L Bell, From Absolute to Local Mathematics, “Synthese”
1986, v. 69, s. 409-426.
111
Filozofia przyrody - dzi
ś
= Philosophy of nature today. Red. W.
Ł
ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.
http://rcin.org.pl/ifis
wyrażania języka i modelu. Struktury przerastają język, a język jednoznacznie nie wyznacza
struktury, do której się odnosi. Nie da się też zrezygnować z języka, gdyż to właśnie dzięki
jego analizie odkryto szereg niezwykłych struktur matematycznych, np. niestandardowe
modele arytmetyki. Opis obiektu, jego „wygląd” zależy od „układu odniesienia” jakim jest
język. Przykładowo opis liczb naturalnych jest inny w arytmetyce elementarnej pierwszego
rzędu czy np. w mocnej arytmetyce liczb drugiego rzędu. W obydwu jednak wypadkach
pojawiają się nieformalne, intuicyjne odniesienia do przedmiotu badań13.
W spółczesnym teoriom matematycznym towarzyszy wyróżnienie typu języka i ścisły,
sformalizowany opis języka w jakim dana teoria jest formułowana. „Pozaludzka”
matematyka nie potrzebuje języka. Większość najciekawszych osiągnięć matematyki
współczesnej można interpretować jako pokazujące różne ograniczenia w posługiwaniu się
językami sformalizowanymi o różnej mocy (teoria modeli, kategorialne waluacje języków
w toposach, metalogika, forcing i independents results).
Tymczasem fizyka rozwija się często bez uwzględniania teoriomodelowych ograniczeń.
Platonizm fizyki współczesnej polega na - pozornie „beztroskim” - używaniu
matematycznych struktur tak, jakby były one dobrze określone bez języka. Na przykład
fizyk mówi: „weźmy zbiór liczb naturalnych N...” czy „niech będzie dane ciągłe widmo
obserwabli” . Wskutek tego musi np. następować „mieszanie” i utożsamianie pewnych
standardowych i niestandardowych struktur. Nasze traktowanie, na przykład aksjomatyzacji
liczb naturalnych Peano jako opisującej jedynie standardowy model liczb naturalnych jest
nieuzasadnione. W rzeczywistości nie znamy sposobu, aby tylko formalnie wyróżnić model
standardowy.
Mechanika kwantowa „bierze” pewne struktury i używa ich tak, jakby opisujące je
wyrażenia mówiły jednoznacznie, z dokładnością do izomorfizmu (kategorycznie) tylko o
jednej strukturze. Oznacza to właśnie pewien „platonizm” w sensie metody badania: jedyna
struktura nie jest przecież formalnie wyróżniona jako jedyna, więc możliwość jej
wyróżnienia pochodzi z pozaformalnego odniesienia się badacza do tej struktury jako „już-
tam-będącej”, gotowej i dobrze określonej bez języka oraz konstrukcji. Platonizm tego typu,
jeśli jest lekceważony, bagatelizowany lub uznawany za nieistotny jest poważną wadą,
wręcz defektem. Fakt, że same teorie fizyczne nie uwzględniające tego faktu, tak dobrze
opisują świat, jest właśnie problemem zdumiewającej matematyczności świata.
Istotniejsza od zauważenia platonizmu w fizyce jest możliwość i konieczność
uwzględnienia konsekwencji tego faktu w fizyce. Oznacza to uwzględnienie np.
teoriomodelowych
własności
sformalizowanych
opisów
struktur
matematycznych.
Teoriomodelowe podejście do zagadnień mechaniki kwantowej jest już faktem14.
Przykładowo:
niemożliwość
zastosowania
teoriomodelowej
metody
forcingu
w
13 Znakomitą analizę sytuacji, o której piszę zawiera praca J. Vaananen, Second-Order Logic and
Foundations o f Mathematics, “The Bulletin of Symbolic Logic” 2001, v. 7(4) s. 504-520. Okazuje
się, że ceną za kategoryczność modelową logiki (Henkina) drugiego rzędu jest pewna
nieformalizowalność.
14 Zob. np. prace P. Benioffa, G. Takeutiego ( Two Applications o f Logic to Mathematics, publications
of the Math. Soc. of Japan 13, Iwanami and Princeton University Press, Tokyo-Princeton 978).
Przegląd zagadnień, literaturę przedmiotu i nowatorskie rezultaty zawiera praca J. Króla, Model-
Theoretical Approach to Quantum Gravity (doctoral thesis), Institute of Physics, Universty of
Silesia, Katowice 2005.
112
Filozofia przyrody - dzi
ś
= Philosophy of nature today. Red. W.
Ł
ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.
http://rcin.org.pl/ifis
kwantowaniu grawitacji może być przezwyciężona poprzez uwzględnienie formalnej
nieodróżnialności standardowych i niestandardowych liczb naturalnych15.
Tak więc, uświadomienie sobie pewnego platonizmu w fizyce (czyli pewnego sposobu
traktowania struktur matematycznych jako „gotowych i obecnych”) tak ja k w przypadku
uwzględnienia przez teorie względności (ogólną i szczególną) „platońskości” wyróżnionego
układu odniesienia, może pomóc w stworzeniu teorii kwantowej grawitacji. Różne
interpretacje mechaniki kwantowej, jej „możliwe światy”, intuicyjnie wskazują na analogię
z teoriomodelowymi, możliwymi światami dyskursu matematycznego.
Uświadomienie
sobie przez
matematyków platonizmu jako
metody badania
matematycznego doprowadziło do powstania intuicjonizmu i w efekcie przyczyniło się do
rozwoju np. teorii toposów. Rosnąca rola teorii toposów w rozważaniach fizyków wskazuje
także na konieczność uwzględnienia platonizmu teorii fizycznych. Aktualny rozwój fizyki
potwierdza tę tezę.
Zauważenie opisanego platonizmu w sensie metody badania pozwala dojrzeć pewną
logikę rozwoju teorii fizycznych. Nie chodzi tu o postulowanie „realnego” istnienia jakichś
struktur i przedmiotów matematycznych i dopatrywanie się logiki rozwoju tych teorii w
coraz to lepszym dostosowaniu „matematyki ludzkiej” do Matematyki świata. Matematyka
przez duże „M ” to powrót do wyróżnionego układu odniesienia i uprzywilejowanego
obserwatora. Aby zrozumieć ograniczenia pewnych teorii fizycznych trzeba wyraźnie
opisać, co jest w nich milcząco zakładane. Tak zwana „idealizacja” nie jest głównym
powodem ograniczonej poprawności teorii zastosowanych do opisu realnego świata, lecz
absolutnie rozstrzygające i nadające kierunek dalszym ujęciom ukryte przedzałożenia,
związane z opisem świata w kategoriach traktowanych jako a priori absolutne i nie zależące
od podmiotu. Obiektywność osiąga się nie wtedy, gdy postulujemy realne istnienie jakichś
obiektów, lecz gdy uwzględniamy ograniczoność naszej wiedzy i stosowanej aparatury
pojęciowej.
W spółczesne przyrodoznawstwo potrzebuje pewnej - wewnętrznej - filozofii przyrody.
Wszak poszukujemy przede wszystkim zrozumienia. Praktyczna użyteczność i doskonałość
przewidywań są ubocznym skutkiem poszukiwania zrozumienia. Wielość alternatywnych
teorii, kwantowomechaniczne paradoksy, postulatywny charakter mechaniki kwantowej
etc., nie są końcowym stadium naszej wiedzy lecz obiektywnym problemem domagającym
się wyjaśnienia. Anything goes niczego nie tłumaczy i byłoby jedynym wytłumaczeniem,
gdyby nie można było ustalić i pojąć dlaczego np. mechanika Newtona jest użyteczna i
konieczna do zrozumienia mechaniki kwantowej. Tak samo geometria euklidesowa nie jest
jedynie teorią, która została odrzucona.
W wyjaśnianiu przejścia pomiędzy „starymi”, a „nowymi” teoriami pojawia się
zrozumienie przyrody i rzeczywistości. Elementem koniecznym do opisu i rozważenia jest
tu platonizm matematycznego przyrodoznawstwa. Platonizm ten jest ściśle związany ze
sposobem myślenia Einsteina i uwzględnienie tego platonizmu stanowi uogólnienie idei
względności. Na przykład, badania Takeutiego pozwalające, dzięki zastosowaniu
15 Por. tzw. Main Hypo w pracach: J. Król, Background independence in quantum gravity and
forcing constructions, “Foundations of Physisc” 2004, v. 34(3), s. 361-403; tenże, Exotic smoothness
and noncommutative spaces. The model-theoretic aproach, “Foundations o f Physics” 2004, 34(5), s.
843-869.
113
Filozofia przyrody - dzi
ś
= Philosophy of nature today. Red. W.
Ł
ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.
http://rcin.org.pl/ifis
teoriomnogościowego forcingu, na pokazanie, że pewne struktury matematyczne nie są
globalnie określone dla wszystkich obserwatorów - pewna zupełna algebra boolowska
samosprzężonych operatorów w przestrzeni Hilberta stanowi odpowiednik dla układu
inercjalnego w OTW i STW, co pozwala sformułować zasadę względności dla QM i
wytłumaczyć szereg paradoksów, np. EPR, „kota Schródingera” etc.16
Pewne struktury matematyczne „zależą od układu odniesienia” . Należy więc rozważać
jakimi środkami wyrazu matematycznego dysponuje obserwator, zarówno w języku jak i w
metajęzyku. Lokalność danej struktury nie zależy od naszej woli. Rozwój teorii fizycznych
jest związany z „tropieniem” opisanego platonizmu i jego ograniczaniem. Niemożliwość
wyeliminowania platonizmu matematycznego musi zostać uwzględniona w opisie
naukowym świata. Filozoficzne rozważania nad platonizmem okazują się - do pewnego
stopnia - empirycznie testowalne, a obecny stan badań wskazuje na konieczność ujęcia tego
zjawiska w ramach opisanej przez Heideggera w Sein und Zeit struktury „bycia-w-świecie”.
16 Por. np. M. Davies, A Relativity Principle in Quantum Mechanics, “International Journal of
Theoretical Physics” 1977, v. 16(11), s. 867-874.
114
Filozofia przyrody - dzi
ś
= Philosophy of nature today. Red. W.
Ł
ugowski, I.K. Lisiejew. Warszawa : IFIS PAN, 2011.
http://rcin.org.pl/ifis
Dostları ilə paylaş: |