3- Funksiyani loran qatoriga yoyish
Oldingi paragirifda biz tayorgina Loran qatori bilan tanishdik . Endi esa berilgan funksiyalarni Loran qatoriga yoyishnio’rganamiz .
funksiya doiraviy K xalqa
r <|z-a|
da analitik bo’lsin , deb faraz qilaylik . Shu xalqa ichidagi ixtioriy bir
z nuqtani K1 xalqa
r1 <|z - a|1
ichiga olaylik . Bu xolda r 111xalqa
K xalqa ichiga to’la joylashgandir .
Endi , z nuqtani markaz qilib shunday bir aylana || =p chizayliki
, uning barcha nuqtalari K1xalqa ichidan tashqari chiqmasin .
U xolda CR1:| -a| =R1,Cr ,: | -a|=r1 va aylanalar bilan chegaralangan ko’p bog’lamli G soxada (90 - chizma)
Funksiya analitik bo’ladi . Qoshi teoremasiga muvofiq , G sohaning tashqi
konturi bo’ylab olingan integral ichki konturlar bo’ylab olingan integrallar
yeg’indisiga tengdir :
So’ngi xad qoshi integralidan iborat bo’lgani uchun f(z) ga teng. Shuning uchun tenglikni bunday
yozish mumkin. Maqsad , f(z) funksiyani z – a ga nisbatan qatorga yoyishdir .
Uning uchun dastlab (10) dagi birinchi integralni tekshirib , qatorga yozamiz.
O’sha integral ishorasi ostidagi kasrni cheksiz geometrik progressiya
ning yeg’indisi ko’rinishiga keltirib olamiz :
bundagi
,
Chunki nuqta CR aylana ustida , z esa aylana ichidadir .Endi (11)
qator umumiy xadining modulini ko’raylik :
O’ng tomongdagi xadlardan tuzilgan ushbu
musbat xadli qator yaqinlashuvchi bo’lgani uchun (11) qator
CR aylanada tekis yaqinlashadi . Shu qatorni ga
ko'paytirishdan hosil bo’lgan qator ham o’sha aylanada tekis yaqinlashadi , chunki haligi aylanada ning moduli chegaralangandir . Demak ,
Tekis yaqinlashuvchi manashu qatorning ikki tomonidan CR aylana
bo'ylab integral olishga haqlimiz :
Bunda:
Shunday qilib (10) tenglikning o’ng tomonidagi birinchi integralni
z-a ning musbat darajalari bo’yicha qatorga yoydik .
Endi (10) tenglikning ung tomonidagi ikkinchi integralni xam
xuddi shu usulda qatorga yoyib chiqamiz .O’sha integral ishorasi
ostidagi kasirni quyidagicha yozib olamiz :
bunda
chunki nuqta Cr aylanada va z esa uning tashqarisidadir (11) qator
xam Cr aylanada tekis yaqinlashuvchi bo’lgani uchun ikki tomon ga ko’paytirib Cr bo’ylab integral olish qonuniydir , demak ,
bunda
….integrallarning (12) va (12) lardagi kiymatlarni (10) ga
qo'yilsa ,
f(z) funksiyani Loran qatori yoygan bo’lamiz . So’nggi tenglikdagi
ikkita yeg’indini bitta qilishga asos shundaki , biz cn va c-n koeffisientlariga tegishli formulalarni quydagicha bitta qilib yozdik :
bundagi C xalqa orasida yotuvchi markazi a nuqtaga joylashgan ihtioriy aylanadir . Berilgan f(z) funksianing Loran qatoriga yoyish uchun uning koeffisentlari (14) ga asoslanib topish kifoya .
Lekin (14) ning o’ng tomonidagi integralni xisoblab chiqish ba’zan qiyinchilik tug’diradi . Bunday hollarda misolning o’ziga qarab sun’iy
yo'llardan foydalanish tavsiya qilinadi . Shunday qilib biz quyidagi
teoremani isbot qilishga muvaffaq bo’ldik. Teoremani tariflashdan
oldin Loran qatoriga to’laroq ta’rif berib o’tish maqsadga muvofiqdir.
Ta’rif koeffisentlarini (14) formulalar orqali berilgan (13) qator
K(r<|z-a|xalqadagi f(z) funksiyaning Loran qatori deyiladi .
z-a ga nisbatan musbat darajali xadlaridan tuzilgan (12) qator Loran
qatorining to’g’ri qismi va manfiy darajali xadlaridan tuzilgan (12)
qator uning bosh qismi deyiladi .
Teorema .Agar f(z) funksiya K xalqada bir qiymatli va analitik bo’lsa ,
y funksiyani shu xalqada
Loran qatoriga yoyish mumkun bo’lib , cn koeffisientlari (14)
formulalar orqali topiladi .Shu bilan birga K ni f(z) ning analitikligini
ko’rsatadigan eng katta xalqa deb tushunamiz . Loran qatorinig to’g’ri qismi butun |z-a|< R doirada va bosh qismi esa |z-a|> r doira tashqarisida yaqinlashadi . K ichidagi xar qanday yopiq r1 ≤|z-a|≤ R
xalqada Loran qatori tekis yaqinlashadi .
1-misol . funksiya z ning darajalari bo’yicha Loran
qatoriga yoyilsin .
Dastlab berilgan funksiyani eng sodda kasirlar ajratib olamiz :
Bularidan odatdagi uslub bilan A va B larni topib olinadi , u xolda :
Ravshanki , f(z) funksiya z=1 va z=2 nuqtalarda cheksizlikka aylanadi.
Demak quydagi uchta doiraviy xalqada f(z) analitik funksiya bo’ladi.
a) |z|<1, yani z nuqtalar birlik doira ichidan chiqmasligi kerak ;
b) 1<|z|< 2 , yani z nuqtalar mana yu xalqa ichidan chiqmaydi ;
v) |z|>2 , yani z nuqtalar mana shu doira tashqarisida bo’lmog’i kerak.
Dostları ilə paylaş: |