Nochiziqli ajratish algoritimi yordamida avtomodel tenglama qurish

_{1.2. NOCHIZIQLI AJRATISH ALGORITIMI} YORDAMIDA AVTOMODEL TENGLAMA QURISH

da quyidagi masalani ko‘rib chiqamiz:
, (1.5)
, (1.6)
Bu yerda - berilgan konstantalar, .
(1.5) tenglama ko‘plab fizik jarayonlarni ifodalaydi: n=1da [23] – nyutonning politropik filtratsiyasi, k=1 da [10] – nyutonning egiluvchan filtratsiyasi k>1 , n>1da – nyutonning politropik filtratsiyasi tenglamasi. Chlen had ( ) manbaning yoki ( ) oqimning mavjudligiga mos keladi, uning quvvati ga teng. (1.5) tenglama issiqlik o‘tkazuvchanlikning chiziqsiz tenglamasi yoki diffuziya tenglamasi nomi bilan ham ataladi. Ammo tabiiy fanlarning boshqa bo‘limlarida ham uchraydi.
k, n parametrlarining xususiy qiymatlarida (1.5), (1.6) masala yechimi ning turli xossalarining bir o‘lchamli va ko‘p o‘lchamli hollari o‘rganilgan. (1.5) tenglamaning farqli tomoni shundaki, u=0 da birinchi tartibli tenglamadan yaraladi, buning hisobiga (1.5) formula tenglamaning o‘ziga xos silliqligiga ega bo‘lmaydi. SHuning uchun (1.5), (1.6) Koshi masalasi umumlashgan ma’noda tushuniladi.
sohada uzluksiz oqim bilan manfiymas, uzluksiz yechimlarni ko‘rib chiqish ma’noga ega. (1.5), (1.6) masala keltirib chiqaruvchi turli chiziqsiz effektlarni [ ] da va u yerda keltirilgan havolalardan topish mumkin. , n=1 yoki k=1 holat [16] da o‘rganilgan edi, u kritik holat deb nomlanadi. nq1 dagi kritik qiymat hisoblanadi, k=1 da esa . Manba holida [1] ishlarda ko‘rsatilganidek parametrning bu qiymatlari chegaralanmagan yechimdan chegaralangan yechimlarni ajratadi, oqimning asimptotik holatida esa da (1.5), (1.6) masala yechimi parametrning qiymatlariga nisbatan o‘zini boshqacha tutadi. Bu holatda Koshi masalasi ham global, ham chegaralanmagan vaqt bo‘yicha yechimga ega bo‘lishi mumkin [1].
Quyida parabolik turdagi boshlang‘ich tenglamaning ajratishiga asoslangan algoritm keltirilgan, uning yordamida (1.5), (1.6) masalaning quyi va yuqori echimlariga baho beriladi, jumladan kritik holatda ham. (1.5), (1.6) masala uchun kritik qiymat sifatida xizmat qiladi.
Ajratish algoritmi ma’nosini ifodalab beramiz. Bu algoritmga mos ravishda birinchi bosqichda quyidagi tenglama echiladi
,

Integrallash quyidagini beradi

(1.7)
Bu funksiya (1.5) tenglamaga oqimni «qo‘shish» ni ifodalaydi. Ikkinchi bosqichda (1.5) tenglama yechimini quyidagi ko‘rinishda qidiramiz
(1.8)
(1.5) ga (1.8) ni qo‘yyamiz va shunday tanlaymizki
(1.9)
uchun quyidagi tenglamani hosil qilamiz
, agar (1.10)
, agar (1.11)
(1.7) va (1.9) hisobiga quyidagiga ega bo‘lamiz
(1.12)

Bu erda - integrallash doimiysi.
Agar bo‘lsa, u holda da va C doimiysini bu holda nolga teng deb olish mumkin. (1.12) hisobiga (1.10) tenglama quyidagi ko‘rinishga keladi

(1.13)

Bu tenglama k=n=1 xususiy xolda Kolmogorov Fisher turidagi umumlashgan tenglama hisoblanadi. Endi (1.5) tenglama yechimi da oqim qo‘shilishi hisoblanganidan so‘ng, (1.5)tenglamani oqimsiz ko‘rib chiqamiz, lekin unda diffuzion qismsiz tenglama yyechimi ga bog‘liq bo‘lgan boshqa vaqtinchalik o‘zgaruvchilar qatnashadi.

(1.14)
(1.5) uchun etalon deb nomlanadigan (1.14) tenglama olti turdagi avtomodel yechimga ega, ulardan biri quyidagi ko‘rinishda
(1.15)
bu yerda quyidagi tenglamani qanoatlantiradi

(1.16)
bunda . (1.13) dan ko‘rinib turibdiki, agar tenglashtiruvchi sifatida funksiya va da ni tanlasak, bu erda (1.13) tenglama yechimi va (1.7) formula bilan berilgan, u holda u boshlang‘ich masalaning quyi yyyechimi bo‘ladi, agar bo‘lsa. Bu natijani yuqorida foydalanilgan chiziqsiz ajratish algoritmini qayta qo‘llash orqali yaxshilash mumkin. Bu bilan alohida keyinroq shug‘ullanamiz.
Endi

ni qo‘yib, (1.13) tenglamani avtomodel yechimga aylantiramiz.

(1.17)

Agar funksiyani qursak, bu yerda - (1.14) etalon tenglamaning yuqori yechimi , uning uchun da va shart bajariladi, u holda funksiya (1.5), (1.6) masalaning yuqori yechimi bo‘ladi.

Bu fikrlashlar (1.5), (1.6) Koshi masalasining yuqori va quyi yechimlarini qurish algoritmiga asoslangan, ya’ni boshlang‘ich masalaning global hal qilinishi va parametrning kritik qiymatini aniqlash, bunda masala yechimi chegaralanmagan holatga aylanadi ( ) va asimptotik ko‘rinishi o‘zgaradi ( ).
Belgilash kiritamiz / bu erda da - uzluksiz funksiya.
Yechimlarni taqqoslash uchun quyidagi lemmani keltiramiz [3].