Monte Carlo Simulation with Minitab® Statistical Software



Yüklə 37,12 Kb.
Pdf görüntüsü
tarix04.02.2018
ölçüsü37,12 Kb.
#24401


 

 

Monte Carlo Simulation with 

Minitab® Statistical Software

The Monte Carlo method is often used in 

Design  for  Six  Sigma  (DFSS)  to  analyze 

the  sensitivity  of  a  prototype  system, 

and to predict yields and/or Cp and Cpk 

values. 


 

A  product  design  should  ideally  have  a 

small  degree  of  sensitivity  to  process 

variation so its performance remains well 

within specification limits. 

 

If you use Minitab® Statistical Software, 



then 

you 


already 

have 


all 

the 


functionalities needed to run these types 

of studies. 



 

THE MONTE CARLO APPROACH 

The Monte Carlo method is a probabilistic 

technique  based  on  generating  a  large 

number of random samples. 

  

Simulations are particularly useful in the 



design  phases  of  product  development 

because  they  unravel  the  uncertainty  or 

variability of a complex system. 

 

An example from the semiconductor 



industry 

 

This  example  shows  how  Monte  Carlo 



methods  may  be  implemented  in  a 

manufacturing  process  environment,  to 

study  the  sensitivity  of  a  process  to 

variations. 

In the  semiconductor industry,  Chemical 

Mechanical  Polishing  (CMP)  processes 

are  used  to  produce  wafers  that  are  as 

flat  as  possible  to  maintain  high  yield 

rates. 

A design of experiments is carried out to 



increase  Removal  Rates,  leading  to 

shorter  cycle  times.  Six  factors  of  the 

wafer 

manufacturing 



process 

are 


investigated: Down Force, Back Force,  

 

Oscillations,  Type  of  PAD,  Carrier 



Velocity, and Table Velocity. 

The  results  from  the  Minitab  DOE 

analysis  show  that,  of  the  six  factors, 

Down Force (DF), Carrier (CV) and Table 

(TV)  Velocities,  along  with  the  Down 

Force* 


Carrier 

Velocity 

interaction 

(DF*CV),  have  a  significant  impact  on 

the Removal Rate (RR). 

The  optimization  tool  in  Minitab  is  used 

to  identify  the  optimal  settings  to 

maximize the removal rate (shorter cycle 

times): Carrier Velocity needs to be kept 

low,  whereas  the  levels  of  Down  Force 

and Table Velocity have to be increased. 

Optimal  solutions  are  not  enough, 

though.  The  robustness  of  the  process 

window  to  manufacturing  variations  also 

needs to be taken into account. 

 

A  sensitivity  analysis  based  on  a  Monte 



Carlo simulation should be considered to 

estimate  yields  and  Cpk  values  under 

standard operating conditions. 

 

The Monte Carlo method may be divided 



into several steps: 

 



 STEP 1  

 

First,  using  the  results  of  the  DOE, 



identify  the  process  inputs  that  have  a 

statistically significant effect:  

 

Removal Rate = 253 + 3.49 DF – 

4.98 CV + 1.58 TV + 0.033 DF*CV 

 

In  order  to  conduct  the  Monte  Carlo 



simulation,  we  need  to  identify  the 

associated parametric distributions of the 

inputs. 

 

The objective is to generate a sample for 



each  one  of  these  variables  from  a 

distribution already identified.  




We  expect  the  Down  Force  to  follow  a 

Normal  distribution  with  a  mean  of  250 

and a standard deviation of 10. 

 

We  expect  the  Carrier  Velocity  to  follow 



a  Normal  distribution  with  a  mean  of 

14.5 and a standard deviation of 3. 

 

Finally,  suppose  that  the  Table  Velocity 



follows  a  Weibull  distribution  with  a 

shape of 4 and a scale of 11. 

 



 



STEP 2 

 

Random samples are then generated for 



the  inputs,  according  to  their  underlying 

distributions.  Random  sampling  may  be 

performed  using  Minitab’s  random  data 

functionality. 

 

Go  to  Calc  >  Random  Data,  and  select 



the desired distribution. 

 

Then  specify  the  number  of  random 



variables you want to generate (100 000 

in  this  example)  and  the  supposed 

parameters  for  the  distribution  to  store 

the  results  in  columns  in  a  Minitab 

worksheet: 

 

 



 

 



STEP 3 

We  then  need  to  calculate  numeric 

values for the output from the simulated 

inputs  now  stored  in  columns  of  the 

Minitab worksheet. 

 

Use Minitab’s calculator Calc > Calculator 



to introduce the transfer function, which 

is based on the final model from the DOE 

analysis: 

 

Removal Rate = 253 + 3.49 DF – 



4.98 CV + 1.58 TV + .033 DF*CV*VC 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



Diagram 1. Monte Carlo Simulation

 

 



It  is  now  possible  to  analyze  the 

distribution  of  the  simulated  output 

variable. 

 

A variety of statistical and graphical tools 



are  available  within  Minitab  to  help  you 

study  the  distribution  of  the  output 

according to your objectives. 

 

For example, you can perform a process 



capability  analysis  to  assess  the 

expected behavior  of the output (Stat > 

Quality Tools > Capability Analysis). 

 

This capability analysis provides a better 



understanding of how much variability in 

the  output  can  be  expected  in  normal 

operating conditions. 

 

 



 

Diagram 2. Analysis of the simulated 

output: a Capability Analysis 

 

Whenever  the  output  remains  too 



sensitive,  and  no  satisfactory  solution 

can be found to limit the effects of input 

variations,  process  engineers  need  to 

focus  their  attention  on  controlling  the 

process inputs that are directly linked to 

the output. 



Transfer Function :

Y = 253 + 3.49 DF – 4.98 CV  

+ 1.58 TV  + 0.033 DF*CV 

Output ?

Variation Propagation ?

Random Sampling

DF Normal

Mean : 250

Standard

deviation : 10



Random 

Sampling

TV

Weibull


Shape : 4 Scale : 11

CV Normal

Mean : 14.5

Standard deviation : 3

MONTE CARLO SIMULATION

 



CONCLUSION 

 

Minitab’s  ability  to  quickly  generate  a 



very  large  number  of  simulated  values, 

along  with  its  integrated  statistical  and 

graphic  capabilities,  make  it  a  very 

powerful  tool  for  Monte  Carlo  simulation 

methods. 

 

For 



another 

Technical 

article 

on 


performing  Monte  Carlo  simulations  in 

Minitab, visit: 

 

http://www.minitab.com/Published-



Articles/Doing-Monte-Carlo-Simulation-

in-Minitab-Statistical-Software/  

 

Bruno Scibilia 

Minitab Sarl Technical Training Specialist 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



Visit www.minitab.com

 

Copyright ©2009 Minitab Inc. All rights reserved.



 

 

Yüklə 37,12 Kb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©www.genderi.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə