Moddaga tushayotgan yorug’lik intensivligi

2. Chiziqli bo‘lmagan dielektriklarning tenzor ko‘rinishlari
Qabul qiluvchanligi molekula elektron bulitining tashqi maydon ta‟sirida deformasiyalanish darajasini bildiradi. Dielektriklarning asosiy ko’pchiligi anizotrop bo’lib, molekulalarning qutblanuvchanligi turli yo’nalishda turlicha qiymat oladi, ya‟ni qabul qiluvchanligi anizotropdir. Anizotrop molekulada induksiyalangan dipol momenti tashqi maydon bilan ustma-ust tushmaydi. Lekin molekulada shunday, uch yo’nalish borki, bu uch yo’nalish asosiy qabul qiluvchanligi o’qlari deyiladi. Bu o’qlardan birontasi tashqi maydon bilan ustma- ust tushsa induksiyalangan dipol momenti ham tashqi maydon bilan parallel bo’lishi mumkin. Aksariyat hollarda bu paralellikni ko’rmaymiz.

Anizotrop molekulaning joylashishiga qarab aksariyat moddalar ma‟lum bir simmetriyaga ega bo’lgan anizotrop dielektriklarga aylanadi. Ularning makroskopik qabul qiluvchanligilari ham anizotrop bo’ladi, ya‟ni to’rli yo’nalishda turlicha qiymat oladi. Qabul qiluvchanligining anizotropligi haqida “Molekulyar optika” kitobimizning I qismidan kengroq ma‟lumot olish mumkin. Berilgan dielektriklarni ma‟lum simmetriyaga ega bo’lgan kristall deb hisoblasak, unga ta‟sir etayotgan tashqi E maydonning kristallning qabul qiluvchanligi bosh o’qlariga proyeksiyasini E₁, E₂, E₃ deb olsak yoki umumiy holda E_j deb olsak bo’ladi. Maydonning bu tashkil etuvchilari kristallning bosh o’qlari bo’yicha qutblanishni hosil qiladi. Qutblanishning tashkil etuvchilarini P₁, P₂, P₃ yoki

umumiy holda P_i deb olsak, qutblanish va maydon kuchlanganligi orasidagi bog’lanish murakkab ko’rinishni oladi:
P_i=a_ijE_j (11)
Bunda i va j indekslar 1,2,3 bo’lgan uchtadan qiymat oladi. Demak, (11) tenglama (2) tenglamaning uchtasidan iborat, ammo har biri uch haddan iborat, chunki P_i ning har bir o’qdagi qiymatini E_j ning har bir tashkil etuvchisi induksiyalaydi. Uch tenglama sistemasida a_ij ning indekslari kombinatsiyasi bilan belgilanadigan 9-ta had bo’ladi. (11) ni quyidagicha yozib olsa bo’ladi:
P₁=a₁₁E₁+ a₁₂E₂+ a₁₃E₃,
P₂=a₂₁E₁+ a₂₂E₂+ a₂₃E₃, (12)
P₃= a₃₁E₁+ a₃₂E₂+ a₃₃E₃,
Biz hozir bu sistemani faqat ichki koordinata o’qlari uchun yozdik. Agar uni tashqi koordinata o’qlari bilan almashtirish formulalarini yozsak, yanada
murakkablashib ketadi. Bu almashtirishlar o’rganilayotgan mavzuga kirmaydi.


ij
Koeffisiyent ^a ^
ikkinchi tartibli tenzor bo’lib, uning tashkil etuvchilari (12)

formulalar sistemasidan kurinib turibdiki, 9-ta bo’ladi. Simmetrik tenzorda

^aij ^{ a}ji

tashkil etuvchilar teng bo’lganligidan tashkil etuvchilar 6-taga tushib ketadi. Ayrim

kristallarda
a_ij tashkil etuvchilar nolga tenglashib, faqat a₁₁, a₂₂, a₃₃ bo’lgan uchta

hadlar qoladi. Bu hadlar tenzorning diagonali deyiladi. Boshqa xil kristallarda a₁₁= a₂₂, a₃₃ bo’lgan ikkita had qoladi. Kubik simmetriyaga ega bo’lgan kristallarda

a₁₁= a₂₂= a₃₃ bo’lib, faqat bitta tashkil etuvchi qoladi_, u holda izotrop dielektrikka


ij
tegishli (2) formulaga qaytamiz. Umuman olganda ^a ^
qiluvchanligi tenzori deyiladi.
tenzor chiziqli qabul

Chiziqli bo’lmagan dielektriklar uchun qutblanish vektorini (6) tenglama asosida yoziladigan uchta tenglama bilan ifodalash mumkin.

P_i=a_ijE_j+ b_ijkE_jE_k+ c_ijklE_jE_kE_l (13) Bu yerda ham barcha indekslar i,j,k,l =1,2,3 bo’lgan uchtadan qiymat oladi. Demak, (13) ni ham xuddi (12) kabi uch tenglama ko’rinishida yozish mumkin. Ammo bu tenglamalar sistemasida juda ko’p had bo’ladi, buni tenzorlar tartib

ij
sonidan bilib olsa bo’ladi. a - ikkinchi tartibli tenzor, uning tashkil etuvchilari

ijk
3²=9 ta edi. b -uchinchi tartibli tenzor, kvadratik qabul qiluvchanligi tenzori

ijkl
deyiladi, uning tashkil etuvchilari 3²=27. c -to’rtinchi tartibli tenzor, kubik qabul
qiluvchanligi tenzori bo’lib, uning tashkil etuvchilari 3⁴=81. Shu raqamlardan tenglama sistemasining hadlarini hisoblab chiqsa bo’ladi. Ammo gap bunda emas.


ijk
Gap shundaki E_i, E_j, E_k ixtiyoriy bo’lishi mumkinligidan b
 va c
 tenzorlar j,k,


ijkl
va j,k,l indekslar nuqtai nazaridan simmetrik bo’lib, nolga teng bo’lmagan turli tashkil etuvchilari soni kamayada. Kristall tuzilishining simmetriyasiga qarab yanada kamayishi mumkin. (13) tenglamalardan kelib chiqadigan hulosalardan biri shundayki, ikkinchi garmonika quyidagi formula bilan ifodalanadigan qutblanish bilan bog’liq bo’lgan tashkil etuvchilarga ega

P^2  ¹ b E^ E^ cos2t
(14)

i ₂ ijk j k

Bu yerda

E^ va
^ tashqi elektr maydoni E ning^ chastotali j va k tashkil


j

E

k
etuvchilarining amplitudalari. Ular quydagicha ifodalanadi

k

j

k

j
E  E^ cost, E  E^ cos t . (15)

Izotrop muhit uchun (14) formula (9) ning ikkinchi hadidagi

P^2  ¹ bE² cos2t
(16)

₂ 0
kabi sodda ko’rinish oladi.

ijk
Kvadratik qabul qiluvchanligining ^b ^-uchinchi tartibli tenzori o’zining alohida

ij

ijkl
hususiyatlari bilan ajralib turadi. Inversiya markaziga ega bo’lgan hamma kristallar uchun bu tenzor nolga teng. Ammo chiziqli qabul qiluvchanligining ^a ^- ikkinchi tartibli va kubik qabul qiluvchanligining ^c ^-to’trinchi tartibli tenzorlari hatto
eng yuqori simmetriyaga ega bo’lgan kristallarda va izotrop muhitlarda ham nolga teng emas.
Ma‟lumki, kristallar o’z simmetriyasi bo’yicha 32 sinfga bo’linadi. UlardanDemak, ularda ikkinchi garmonika

induksiyalanadi. Inversiya markaziga ega bo’lmagan bu kristallar pyezoelektrik hossalariga ham ega bo’lib, ikkinchi garmonikani hosil qiladi. Ikkinchi garmonikani hosil qilishning bu ikki manbai bir biridan farq qiladi. Pyezoelektrik hodisalar ionlar harakati bilan bog’liq bo’lsa, ko’zga ko’rinuvchi sohadagi ikkinchi garmonika elektronlar harakati bilan bog’liq. Shu sababli pyezoelektrik modulini

ikkinchi garmonikani hosil qiluvchi qabul qiluvchanligining uchinchi tartibli

ijk
tenzori ^b ^ kattaligi bilan taqqoslab bo’lmaydi.