Mis on matemaatika ?

Mis on matemaatika ?

• Mis on matemaatika ?

• Matemaatika tänapäeva ühiskonnas

• Veidi modelleerimisest, eriti funktsioonide abil

• Kauba pakkumine (tootja) ja nõudlus (tarbija)

• Kauba hinna dünaamika ( diferentsvõrrand ehk iteratsioonimeetod )

• Newtoni iteratsioonimeetod ruutjuure leidmiseks

Mis on matemaatika ?

• Mis on matemaatika ?

• Kas halvad hinded

• ja stress ?

• Kas Te arvate ka nii ?

Algul (e. Kr.) oli geomeetria (trigonomeetria) – navigeerimine tähistaeva järgi, niisutussüsteemid, ehitus (püramiidid)

• Algul (e. Kr.) oli geomeetria (trigonomeetria) – navigeerimine tähistaeva järgi, niisutussüsteemid, ehitus (püramiidid)

• Võrrandite (a x + b = 0) lahendamine

• Tuletised/integraalid – suur revolutsioon (19. s. mehaanika matematiseerimine)

• 20. s. hulgateooria ja moodne matemaatika (struktuurid, suur spetsialiseerumine)

„Matemaatika on üks keel,“ ütles

• „Matemaatika on üks keel,“ ütles

• J. W. Gibbs (1839-1903, USA füüsik, mehaanik, matemaatik).

• Ei ole ühtset definitsiooni.

• Kas on teadus või kunst ?

• Keelt tasub osata !

Kui matem-a oleks ülesannete lahendamine, siis kõik muutuks aina keerulisemaks

• Kui matem-a oleks ülesannete lahendamine, siis kõik muutuks aina keerulisemaks

• Õnneks suure hulga faktide kogunemisel toimub struktuuride (mustrite) loomine (lahendati ruut-, kuup- jne edasi võrrandeid, kuni leiti üldine teooria)

• Matemaatika terviklikkus (algebra, geomeetria, matemaatiline analüüs jne – kõik omavahel läbi põimunud)

• Ilu printsiip (ilus säilib : a 2 + b 2 = c 2 )

• Matemaatiline modelleerimine on tähtis (ja kasulik)

• Konkreetne matemaatik ei mõtle kasutoomisele, kuid tervikuna on matemaatika suure kasuteguriga (vaja ainult pliiatsit/paberit/arvutit)

Matemaatika mõju ühiskonnale (ja vastupidi) toimub selle rakenduste kaudu, mis tänapäeval baseeruvad oluliselt arvutitel.

• Matemaatika mõju ühiskonnale (ja vastupidi) toimub selle rakenduste kaudu, mis tänapäeval baseeruvad oluliselt arvutitel.

• Nobeli majanduspreemiat

• (rääkimata füüsikast/keemiast, ka meditsiinist)

• saab valdavalt ainult matemaatika rakendustega seotud tööde eest.

WWW(World Wide Web),1990 = brauserid ja lk-d, eksisteerib tänu Internetile

• WWW(World Wide Web),1990 = brauserid ja lk-d, eksisteerib tänu Internetile

• Personaalarvuti, 1977

• Internet, 1968 (ARPANET 1962 USA armees)

• Informatsiooniteooria, 1948, Claude Shannon (1916 - 2001)

• Boole´i arvutus, 1854, George Boole (1815 - 1864)

• Arvusüsteemid 1697, G.W.Leibniz (1646 - 1716)

• kahendarvud, nt

• 23 = 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = ( 10111)

Digitaalne meedia vahend (info salvestatud kadudega (lossy compression) digitaalselt).

• Digitaalne meedia vahend (info salvestatud kadudega (lossy compression) digitaalselt).

• MP3-süsteemi matemaatiline väljatöötamine algas ca 30 a. tagasi, baseerub täiesti uut tüüpi funktsioonidel, siinuste-koosinuste „sugulased”, ja mis võimaldavad hääle digitaalset teisendamist (audio coding) 12-15 korda kiiremini võrreldes varasemate meetoditega.

Modifitseeritud diskreetne

• Modifitseeritud diskreetne

• koosinusteisendus

•  kodeerib infot (näiteks hääle sagedust ja amplituudi) kujul

• (x 0 , …, x 2N-1)  (X 0 , …, X N-1)

•  

autotööstuses kirjeldab auto kuju ja see esitatakse kohe ka arvutiekraanil matemaatiliste funktsioonidega - need on ruut- ja kuuppolünoomide „kokkuliimitud sugulased” .

• autotööstuses kirjeldab auto kuju ja see esitatakse kohe ka arvutiekraanil matemaatiliste funktsioonidega - need on ruut- ja kuuppolünoomide „kokkuliimitud sugulased” .

• Eeldab nn mitmeharuliste funktsioonidega

• (F(x) = f(x), kui a ja F(x) = g(x), kui b) tutvumist. Lihtsaim näide on murdjoon.

mis kasutab asjaolu, et kui meie kaugused nelja satelliidini on teada, siis saame üheselt määrata oma asukoha kolm koordinaati.

• mis kasutab asjaolu, et kui meie kaugused nelja satelliidini on teada, siis saame üheselt määrata oma asukoha kolm koordinaati.

• Olemuselt trigonomeetria, tegelikult mittetriviaalne ülesanne, sest satelliidid liiguvad.

• GPS tarbeks tiirlevad 24 satelliiti ümber Maa.

(kui kehast lasta läbi röntgenikiir, siis olenevalt keha omadustest see neeldub, seda mõõdetakse ja tulemused liidetakse kuidagi kokku, mis viib teatud integraalideni; selle eest on saadud Nobeli meditsiinipreemia)

• (kui kehast lasta läbi röntgenikiir, siis olenevalt keha omadustest see neeldub, seda mõõdetakse ja tulemused liidetakse kuidagi kokku, mis viib teatud integraalideni; selle eest on saadud Nobeli meditsiinipreemia)

• NB! Integraali tutvustamine pindala ja summade abil on õpetlikum, kui formaalne definitsioon

(kõik on kasutanud digikaameraid või saatnud JPEG formaadis pilte):

• (kõik on kasutanud digikaameraid või saatnud JPEG formaadis pilte):

• iga pilt koosneb kahe muutuja funktsiooni väärtustest, milledega tuleb teha „kavalaid” teisendusi, et need väärtused pakkida (lossy compression) internetti ja siis meie kodus jälle pildiks lahti pakkida.

• NB! Maatriksarvutus on siin tähtis.

Internetiajastul (al 1970) algas suuremahuline infovahetus, mida osaliselt (pangad, armeed, firmad) oli vaja salastada

• Internetiajastul (al 1970) algas suuremahuline infovahetus, mida osaliselt (pangad, armeed, firmad) oli vaja salastada

• Uus matemaatiline idee: avaliku võtmega kodeerimine (RSA algoritm).

• Kodeerimine toimub suurte, juhuslikult genereeritud algarvude korrutamisel, p*q = N, kuid dekodeerimine N teguriteks lahutamisel

Mudel on reaalsuse abstraktsioon, kuid peab kirjeldama reaalsuse olulisi külgi

• Mudel on reaalsuse abstraktsioon, kuid peab kirjeldama reaalsuse olulisi külgi

• Matemaatilised mudelid on funktsioonid, võrrandid (nende süsteemid) jne, mis sisaldavad parameetreid

• Parameetrid teevad kirjelduse paindlikuks, nende muutmisega saab teha analüüsi

• Reaalse elu (nt majanduslikud) süsteemid püüdlevad tasakaaluolekut (matemaatiliselt on max/min)

Ajamomentidel n = 0, 1, 2, … olgu turul kauba hind vastavalt p n ja kaupa nõutakse (demand) kogus D n ning pakutakse (supply) S n + 1 (see tähendab, et pakkumine päeval n + 1 oleneb eelmise päeva hinnast p n )

• Ajamomentidel n = 0, 1, 2, … olgu turul kauba hind vastavalt p n ja kaupa nõutakse (demand) kogus D n ning pakutakse (supply) S n + 1 (see tähendab, et pakkumine päeval n + 1 oleneb eelmise päeva hinnast p n )

• Võrranditega (0 < a, b, c, d - parameetrid) :

• D n = a - b p n ; S n + 1 = c + d p n

•  Turu tasakaal tähendab:

• D n+ 1 = S n + 1 ehk a - b p n +1 = c + d p n  

• Saame:

• p n +1 = A p n + B (*)

• (A = - d /b < 0, d – tootmise kiirus (intensiivsus), b – tarbimise kiirus; B = (a – c) /b > 0)

Arvutame : olgu p 0 = 1.5,

• Arvutame : olgu p 0 = 1.5,

• siis p 1 = 0.5, p 2 = 1.5, p 3 = 0.5, …

•  

• Üldjuhul A = -1 korral

• p n +1 = - p n + B

• saame : olgu p 0 , siis p 1 = B - p 0, p 2 = - (B - p 0) + B= p 0 , …

• Hind kõigub kahe väärtusena : p 0 või B - p 0 !

Arvutame:

• Arvutame:

• olgu p 0 = 1.5,

• siis p 1 = 1.25, p 2 = 1.375, p 3 = 1.3125, p 4 = 1.34375,

• p 5 = 1.328125, …

•  Hind tundub stabiliseeruvat, aga milliseks väärtuseks ? Oletame, et piirväärtuseks on p* = ?

• Saame p*=-0.5p*+2 ehk p*=2/1.5=1.333...

Arvutame:

• Arvutame:

• olgu p 0 = 1.5,

• siis p 1 = - 0.25, p 2 = 2.375, p 3 = - 1.5625, p 4 = 4.34375, p 5 = - 4.515625, …

• Midagi enneolematut ? Mõned hinnad negatiivsed ???

•  

Kui vaja A > 0 ruutjuurt leida, siis pakutakse algul midagi ligikaudset x 0 , mida nimetatakse alglähendiks.

• Kui vaja A > 0 ruutjuurt leida, siis pakutakse algul midagi ligikaudset x 0 , mida nimetatakse alglähendiks.

• Järgmised lähendid leitakse iteratsioonivalemist

• x n +1 =( x n + A / x n ) / 2 .

• Nt, kui n = 0, siis

• x 1 =( x 0 + A / x 0 ) / 2

a) Arvutame √ 16 :

• a) Arvutame √ 16 :

• olgu x 0 = 2, siis x 1 =( x 0 + 16 / x 0 ) / 2 = 5 ,

• x 2 = ( x 1 + 16 / x 1 ) / 2 = ( 5 + 16 / 5 ) / 2 = 4.1 ,

• x 3 = ( x 2 + 16 / x 2 ) / 2 = ( 4.1 + 16 / 4.1 ) / 2

• = 4.0012... , ...

• a) Arvutame √ 17 :

• olgu x 0 = 4, siis x 1 =( 4 + 17 / 4 ) / 2 = 4.125 ,

• x 2 = ( 4.125 + 17 / 4.125) / 2 = 4.123106

Nõudmine: D n = 3 - 2 p n ; Pakkumine: S n + 1 = p n 2 + 1

• Nõudmine: D n = 3 - 2 p n ; Pakkumine: S n + 1 = p n 2 + 1

•  

• Turu tasakaal : S n + 1 = D n+ 1 ehk p n 2 + 1 = 3 - 2 p n+1 ,

• millest

• p n +1 = 1 - p n 2 / 2 (**)

• Seda analüütiliselt lahendada ei saa, aga arvutada saab

• (4 kohta peale koma).

•  Olgu p 0 = 1.0, siis p 1 = 0.5, p 2 = 0.875, p 3 = 0.6172,

• p 4 = 0.8095, p 5 = 0.6724, p 6 = 0.7739, p 7 = 0.7005,

• p 8 = 0.7546, p 9 = 0.7153…

• Vist stabiliseerub kuskile ? Geomeetriliselt “ämblikuvõrgu” meetod !

•  

Vaatame !

• Vaatame !

• Seal võrrand p n +1 =3 ( p n - p n 2 ) ja p 0 = 0.08, p 1 = 0.22,

• p 2 = 0.516 jne.

• Teisel joonisel on p n +1 =r ( p n - p n 2 ) , kus 1 ≤ r ≤ 4.

• Vt http://www.tlu.ee/~andik matem_ennustav
• http://et.wikipedia.org/wiki/

Matemaatika on kasulik

• Matemaatika on kasulik

• Matemaatika on huvitav

• Matemaatika on tänapäeval paljude teaduste alus

• TULGE ÕPPIGE MATEMAATIKAT, VÄHEMALT NII PALJU, ET SUUDATE OMA ERIALAL EDUKALT TEGUTSEDA !