Matritsa tipidagi operatorlar uchun umumiy malumotlar

Aim.uz

Matritsa tipidagi operatorlar uchun umumiy malumotlar

Agar to’plamning har bir elementiga biror qonun-qoidaga ko’ra to’plamning yagona elementi mos qo’yilgan bo’lsa, to’plamda funksiya (akslantirish) aniqlangan deyiladi. Belgilanishi:

akslantirish syurektiv (ustiga akslantirish) deyiladi, agar shart bajarilsa.

Inyektiv (o’zaro bir qiymatli) akslantirish deyiladi, agar turli elementlarning tasviri ham turli bo’lsa, ya’ni

Agar akslantirish ham syurektiv ham inyektiv bo’lsa, bunday akslantirish biyektiv akslantirish deyiladi.

Bizga bo’sh bo’lmagan to’plam berilgan bo’lsin. Uning elementlari bo’lgan to’plamda quyidagi ikki amal aniqlangan bo’lsa:

I.Ixtiyoriy ikkita elementlarga ularning yig’indisi deb ataluvchi, aniq bir element mos qo’yilgan bo’lib, ixtiyoriy elementlar uchun

1), (kommutativlik)

2) (assosiativlik)

3) da shunday element mavjud bo’lib,

(nol elementning mavjudligi)

4) element mavjud bo’lib, (qarama-qarshi elementning mavjudligi) aksiomalar bajarilsa

II. to’plamdan olingan ixtiyoriy element va ixtiyoriy son uchun elementning songa ko’paytmasi deb ataluvchi aniq bir element mos qo’yilgan bo’lib, ixtiyoriy va ixtiyoriy sonlar uchun

5)

6)

7)

8)

aksiomalar bajarilsa u holda to’plam chiziqli fazo deyiladi.

Ta'rifda kiritilgan I va II amallar mos ravishda yig‘indi va songa ko‘paytirish amallari deb ataladi.

Bizga va chiziqli fazolar berilgan bo‘lsin. Agar bu fazolar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin bo‘lib,

ekanligidan

ekanligi kelib chiqsa, u holda va chiziqli fazolar o‘zaro izomorf fazolar deyiladi.

Izomorf fazolarni aynan bitta fazoning har xil ko‘rinishi deb qarash mumkin.

Agar chiziqli fazoning elementlar sistemasi uchun hech bo’lmaganda birortasi noldan farqli bo’lgan sonlar mavjud bo’lib,

(1.1.1)

tenglik bajarilsa, u holda elementlar sistemasi chiziqli bog’langan deyiladi. Aks holda, ya'ni (1.1.1) tenglikdan

ekanligi kelib chiqsa, elementlar sistemasi chiziqli bog‘lanmagan yoki chiziqli erkli deyiladi.

Agar cheksiz elementlar sistemasining ixtiyoriy chekli qism sistemasi chiziqli erkli bo‘lsa, u holda sistema chiziqli erkli deyiladi.

Agar chiziqli fazoda elementli chiziqli erkli sistema mavjud bo‘lib, bu fazoning ixtiyoriy ta elementdan iborat sistemasi chiziqli bog‘langan bo‘lsa, u holda - o‘lchamli chiziqli fazo deyiladi va deb yoziladi.

-o‘lchamli chiziqli fazoning ixtiyoriy ta elementdan iborat chiziqli erkli sistemasi shu fazoning bazisi deyiladi.

Agar chiziqli fazoda ixtiyoriy uchun elementli chiziqli erkli sistema mavjud bo‘lsa, u holda cheksiz o‘lchamli chiziqli fazo deyiladi va ko‘rinishda yoziladi.

va fazolar -o‘lchamli chiziqli fazolardir.

chiziqli fazoda aniqlangan sonli funksiyaga funksional deyiladi, va quyidagicha ifodalanadi :

Agar barcha lar uchun

shart bajarilsa , additive funksional deyiladi.

Agar barcha va barcha sonlar uchun

bo’lsa, bir jinsli funksional deyiladi.

Bizga - chiziqli fazo va unda aniqlangan funksional berilgan bo‘lsin. Agar quyidagi uchta shartni qanoatlantirsa, unga norma deyiladi:

1)

2) ;

3) .

Norma kiritilgan chiziqli fazo chiziqli normalangan fazo deyiladi va elementning normasi orqali belgilanadi.

chiziqli normalangan fazoda ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.

Biror va ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha larda tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlik elementga yaqinlashadi deyiladi.

Agar ixtiyoriy son uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha larda tengsizlik bajarilsa, - fundamental ketma-ketlik deyiladi.

Agar chiziqli normalangan fazodagi ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda to‘la normalangan fazo yoki Banax fazosi deyiladi.

Agar normalangan fazoning qism to‘plamida ixtiyoriy elementlari va ixtiyoriy sonlar uchun bo‘lsa chiziqli ko‘pxillilik deyiladi. Agar qism to‘plam yopiq chiziqli ko‘pxillilik bo‘lsa, qism to‘plam ning qism fazosi deyiladi.

Agar to’plamning har bir elementi to’plamning ham elementi bo’lsa, to’plam to’plamning qismi yoki qismiy to’plami (to’plam osti) deyiladi, va kabi belgilanadi.

Bizga va chiziqli normalangan fazolar berilgan bo‘lsin.

fazodan olingan har bir elementga fazoning yagona elementini mos qo‘yuvchi

akslantirish operator deyiladi.

Umuman operator ning hamma yerida aniqlangan bo‘lishi shart emas. Bu holda mavjud va bo‘lgan barcha lar to‘plami operatorning aniqlanish sohasi deyiladi va bilan belgilanadi, ya’ni:

Agar chiziqli operator qaralayotgan bo‘lsa, ning chiziqli ko‘pxillilik bo‘lishi talab qilinadi, ya’ni agar bo‘lsa, u holda ixtiyoriy lar uchun

.

Agar ixtiyoriy elementlar va ixtiyoriy sonlar uchun

tenglik o‘rinli bo‘lsa, ga chiziqli operator deyiladi.

Bizga operator va nuqta berilgan bo‘lsin. Agar ning ixtiyoriy atrofi uchun, nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, ixtiyoriy lar uchun bo‘lsa, operator nuqtada uzluksiz deyiladi.

Yuqoridagi ta’rifga teng kuchli quyidagi ta’riflarni keltiramiz.

Agar ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo‘lib, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun

tengsizlik bajarilsa, operator nuqtada uzluksiz deyiladi.

Agar nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun bo‘lsa, u holda operator nuqtada uzluksiz deyiladi.

Agar operator ixtiyoriy nuqtada uzluksiz bo‘lsa, uzluksiz operator deyiladi.

tenglikni qanoatlantiruvchi barcha lar to‘plami operatorning yadrosi deb ataladi va u bilan belgilanadi.

Biror uchun bajariladigan lar to‘plami operatorning qiymatlar sohasi yoki tasviri deb ataladi va u yoki bilan belgilanadi.

Matematik formulalar yordamida operator yadrosi va qiymatlar sohasini quyidagicha yozish mumkin:

Chiziqli operatorning qiymatlar sohasi va yadrosi chiziqli ko‘pxillik bo‘ladi. Agar bo‘lib, uzluksiz operator bo‘lsa, u holda yopiq qism fazo bo‘ladi, ya’ni . operator uzluksiz bo‘lgan holda ham yopiq qism fazo bo‘lmasligi mumkin.

Bizga haqiqiy chiziqli fazo berilgan bo‘lsin. Agar dekart ko‘paytmada aniqlangan funksional quyidagi to‘rtta shartni qanoatlantirsa:

1)

2)

3) ;

4) ,

unga skalyar ko‘paytma deyiladi.

Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi va elementlarning skalyar ko‘paytmasi orqali belgilanadi.

Evklid fazosida elementning normasi

formula orqali aniqlanadi. Bu funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi. Skalyar ko‘paytmaning 1-4 shartlaridan normaning 1-2 shartlari bevosita kelib chiqadi. Uchburchak aksiomasining bajarilishi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataluvchi quyidagi

tengsizlikdan kelib chiqadi.

Agar bo’lsa, u holda va vektorlar ortogonal deyiladi.

Agar ixtiyoriy da bo’lsa, u holda nolmas vektorlar sistemasiga ortogonal sistema deyiladi.

Chekli o‘lchamli Evklid fazolari fazoga izomorfdir.

Cheksiz o‘lchamli to‘la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi.

Shunday qilib, ixtiyoriy tabiatli elementlarning to‘plami Hilbert fazosi bo‘lsa, u quyidagi uchta shartni qanoatlantiradi:

1) - Evklid fazosi, ya'ni skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo;

2) metrika ma'nosida - to‘la fazo;

3) fazo - cheksiz o‘lchamli, ya'ni unda cheksiz elementli chiziqli erkli sistema mavjud.

Odatda separabel Hilbert fazolari qaraladi, ya'ni ning hamma yerida zich bo‘lgan sanoqli to‘plam mavjud.

Agar va Evklid fazolari o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin bo‘lib,

ekanligidan

munosabatlar kelib chiqsa, va lar izomorf fazolar deyiladi.

Boshqacha aytganda, Evklid fazolarining izomorfligi shundan iboratki, bu fazolar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud bo‘lib, bu moslik shu fazolardagi chiziqli amallarni va ulardagi skalyar ko‘paytmani saqlaydi.

Ma'lumki, - o‘lchamli ixtiyoriy ikkita Evklid fazosi o‘zaro izomorfdir. Cheksiz o‘lchamli Evklid fazolari o‘zaro izomorf bo‘lishi shart emas.

Agar - Hilbert fazosining yopiq qism fazosi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy element yagona usul bilan , ko’rinishda tasvirlansa, u holda fazo o’zaro orthogonal , va qism fazolarning to’g’ri yig‘indisiga yoyilgan deyiladi va ko’rinishda belgilanadi.

o’lchovli to’plam, …… dekart ko’paytma da aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar Gilbert fazosi. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz.
;

, ;

;

.

U holda

,

bo’ladi.

Gilbert fazosiga Fok fazosi deyiladi. Gilbert fazosiga Fok fazosining qirqilgan qism fazosi deyiladi.

Ikki elementning skalyar ko’paytmasi va norma elementi va fazolarda aniqlanadi

Ixtiyoriy elementlarning skalyar ko’paytmasi quyidagicha aniqlanadi:

.

Bu yerda skalyar ko’paytma Gilbert fazoda aniqlangan bo’ladi.

;

.

Ixtiyoriy elementlar uchun quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi.

.
Istalgan elementlarning normasi

kabi belgilanadi.

Bu yerda orqali dagi norma belgilangan:

Ixtiyoriy elementlarning normasi

kabi belgilanadi.

Gilbert fazosida ta’sir qiluvchi istalgan chiziqli ,chegaralangan operator

kabi ta’sirlanadi.

Bu yerda , chiziqli, chegaralangan operatorlar.

Zamonaviy matematik fizikada operatorlar qo’zg’almas operatorlar deyiladi.

shart bajarilsa operatorlar “yo’qotish” operatorlari deyiladi.

Agar shart bajarilsa operatorlarga “paydo qilish” operatorlari deyiladi.

Agar biz operatorni Gilbert fazosiga qarasak bu operatorning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
.

bu yerda chiziqli chegaralangan operatorlar.

Ixtiyoriy lar uchun

bo’lsa, operatorda additive operator deyiladi.

Agar barcha va barcha - ixtiyoriy sonlar uchun

bo’lsa , operator bir jinsli operator deyiladi.

Additiv operatorlar uchun bir qancha oddiy natijalar olingan.

Masalan, additive operator bo’lsa

ixtiyoriy uchun bo’ladi.

Bu yerda fazodagi nol element uchun belgilash ishlatiladi. .

operator uchun quyidagi shartlar bajarilsa,

1) , ixtiyoriy , (additivlik)

2) Ixtiyoriy va - ixtiyoriy sonlar uchun ,(bir jinslilik)

operatorga chiziqli operator deyiladi.

Agar bo’lib, shunday musbat soni topilib , ixtiyoriy uchun

(1.1.2)

bo’lsa , Gilbert fazoda berilgan operatorga chegaralangan operator deyiladi.

(1.1.2) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha sonlar to’plamining aniq quyi chegarasiga operatorning normasi deyiladi va u kabi belgilanadi,

ya’ni

.

Chiziqli chegaralangan operatorning normasi uchun quyidagi formulalar o’rinlidir:

;

;

.

Agar ixtiyoriy uchun tenglama yagona yechimga ega bo’lsa , u holda operator teskarilanuvchan operator deyiladi.

Agar teskarilanuvchan operator bo’lsa , u holda ixtiyoriy va tenglamaning yechimi bo’lgan yagona element mos keladi. Bu moslikni o’rnatuvchi operator operatorga teskari operator deyiladi va kabi belgilanadi.

.

aniqlanish sohasi ning qiymatlar sohasiga teng. Belgilanishi .

qiymatlar sohasi ning aniqlanish sohasiga teng. Belgilanishi .

Bundan tashqari teskari operatorning aniqlanishidan

;

(1.1.3)

tengliklar kelib chiqadi.

Agar operator uchun ham chap teskari ham o’ng teskari operator mavjud bo’lsa , u holda ular o’zaro teng.

Agar uchun bir vaqtda ham o’ng teskari, ham chap teskari operatorlar mavjud bo’lsa , u holda operator teskarilanuvchan operator bo’ladi.

chiziqli operatorga teskari bo’lgan operator ham chiziqlidir.

operator Banax fazosini Banax fazosiga biyektiv akslantiruvchi chiziqli, chegaralangan operator bo’lsin. U holda operator mavjud va chegaralangandir.

chiziqli operator teskarilanuvchan bo’lishi uchun

tenglama faqat yechimga ega bo’lishi zarur va yetarli.

fazoni fazoga akslantiruvchi chiziqli operator berilgan bo’lsin.

da chegaralangan operator mavjud bo’lishi uchun shunday son mavjud bo’lib, ixtiyoriy lar uchun

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.

Chiziqli, chegaralangan operatorning qo’shmasi ham chegaralangandir

Bizga chiziqli normallangan fazolar va chiziqli, chegaralangan operator berilgan bo’lsin. Agar biror va ixtiyoriy lar uchun

shart bajarilsa operator o’z-o’ziga qo’shma operator deyiladi.

Har bir funksionalga

tenglik bilan aniqlanuvchi funksionalni mos qo’yuvchi operator operatorga qo’shma operator deyiladi.

Qo’shma operatorlar quydagi xossalarga ega:

1^o.;

2^o.;

3^o. .

Gilbert fazosida chiziqli,chegaralangan operator o’z-o’ziga qo’shma deyiladi, agar uning qo’shmasi o’ziga teng bo’lsa, .

Ixtiyoriy chiziqli o’z-o’ziga qo’shma operatorning kombinatsiyasi ham o’z-o’ziga qo’shma operatordan iborat bo’ladi.

Bizga chiziqli operator va qism fazo berilgan bo’lsin. Agar ixtiyoriy uchun bo’lsa u holda qism fazo operatorga nisbatan invariant qism fazo deyiladi.

Agar biror soni va tenglama nolmas yechimga ega bolsa, soni operator uchun xos qiymat deyiladi, ushbu nolmas yechimga xos qiymatiga mos keluvchi xos vektor deyiladi.

Har bir chiziqli operatorga matritsa mos keladi va aksincha, chiziqli algebra kursidan ma’lumki , agar son operatorning xos qiymati bo’lsa

bo’ladi, va aksincha, matritsa determinantini parametr ning -darajali ko’phadi bo’ladi va tenglama ko’pi bilan n ta ildizga ega, ya’ni

chiziqli operator ko’pi bilan n ta xos qiymatga ega.

Agar soni operator uchun xos qiymat bo’lmasa , ya’ni bo’lsa , u holda ga teskari operator manjud va u fazoning hamma yerida aniqlangan bo’ladi.

chiziqli operator chegaralangandir.

Chekli o’lchamli fazolardagi chiziqli operatorlar uchun quyidagi ikki holat sodir bo’lishi mumkin.

1) soni uchun tenglama nolmas yechimga ega, ya’ni son operator uchun xos qiymat, bu holda ga teskari operator mavjud emas.

2) soni uchun fazoning hamma yerida aniqlangan operator mavjud va demak, chegaralangan.

soni xos qiymat bo’lishi uchun shunday element topilib, tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.

Agar soni chiziqli, chegaralangan operatorning xos qiymati bo’lsa, u holda to’plamga operatorning xos qiymatiga mos keluvchi xos qism fazosi deyiladi.

Ko’rinishiga ko’ra qism fazo operatorga nisbatan invariant qism fazo bo’ladi.

O’z- o’ziga qo’shma operatorlar uchun xos qism fazo istalgan o’lchamga ega bo’lishi mumkin.

Masalan, birlik operator uchun xos qiymatga mos xos qism fazo fazo bilan ustma-ust tushadi, bunda birlik operator chiziqli, chegaralangan va o’z-o’ziga qo’shma operatordir.

qism fazoning o’lchamiga operatorning xos qiymatining karraligi deyiladi.

Agar operator xos qiymatining shunday atrofi topilib, bu atrofda operatorning dan farqli xos qiymatlari yotmasa , u holda xos qiymat operator uchun yakkalangan xos qiymat deyiladi.

O’z- o’ziga qo’shma bo’lgan operatorning turli va xos qiymatlariga mos va xos qism fazolar o’zaro ortogonaldir. Boshqacha aytganda, o’z-o’ziga qo’shma operatorning turli xos qiymatlariga mos xos vektorlari ortogonaldir.

O’z- o’ziga qo’shma operatorning barcha xos qiymatlariga uning

va chegaralari orasida yotadi, bunda

;

.

O’z-o’ziga qo’shma musbat aniqlangan operatorning xos qiymatlari nomanfiydir.

Shunday qilib, operatorning xos qiymati tushunchasi

(1.1.4)

Tenglamaning yechimga ega yoki ega emasligi bilan uzviy bog’liqdir. Bunda orqali fazodagi birlik operator belgilangan.

Shuni ta’kidlab o’tish joizki, agar o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsa , u holda barcha haqioqiy lar uchun operator ham o’z-o’ziga qo’shma operatorlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida o’z- o’ziga qo’shmadir.

teskari operator mavjud bo’lishi uchun tenglama yoki unga ekvivalent bo’lgan tenglama faqat nolmas yechimga ega bo’lishi zarur va yetarlidir, ya’ni soni operator uchun xos qiymat bo’lmasligi zarur va yetarlidir. Bu holda (1.1.4) tenglama operatorning qiymatlar sohasidan olingan har bir uchun yagona yechimga ega bo’ladi. Bu to’plamni bilan belgilaymiz.

Faraz qilaylik, o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsin. Agar soni operatorning xos qiymatlari bo’lsa, u holda to’plam fazoning hamma yerida zich bo’ladi. Agar soni operatorning xos qiymati bo’lsa , u holda to’plam fazoning hamma yerida zich bo’lmasligi mumkin.

Faraz qilaylik, operator o’z- o’ziga qo’shma bo’lsin. Haqiqiy sonlar ichidan operatorning xos qiymati bo’lmaydigan sonlarni ajratamiz, ya’ni operatorning qiymatlar sohasi to’plam fazo bilan ustma-ust tushadigan lar to’plamini ajratamiz, bunda mavjud va chegaralangan deb faraz qilamiz. Boshqacha qilib aytganda teskarilanuvchan. Bunday larga regulyar nuqtalar deyiladi.

Cekli o’lchamli fazolarda operatorning barcha xos qiymatlari to’plamiga shu operatorning spektri deyiladi, ning qolgan qiymatlariga ega regulyar nuqtalar deyiladi.

Shunday qilib, chekli o’lchamli fazoda quyidagi ikkita hol bo’lishi mumkin.

1) son uchun tenglama nolmas yechimga ega, ya’ni son operator uchun xos qiymat, bu holda ga teskari operator mavjud emas;

2) son uchun fazoning hamma yerida aniqlangan operator mavjud va demak chegaralangan.

Biz qarayotgan fazo cheksiz o’lchamli fazo hisoblanadi.

Cheksiz o’lchamli fazoda uchnchi hol ham mavjud.

3) operator mavjud, ya’ni tenglama faqat nol yechimga ega, lekin operator ning hamma yerida aniqlangan yoki .

operatorning barcha chekli karrali yakkalangan xos qiymatlari to’plamiga operatorning diskret spektri deyiladi, va kabi belgilanadi.

Spektrning qolgan qismiga, ya’ni to’plamga operatorning muhim spektri deyiladi va kabi belgilanadi.

Shunday qilib,

bo’ladi.

Muhim spektrning ikkinchi ta’rifini keltiramiz.

soni o’z-o’ziga qo’shma operatorning muhim spektriga tegishli bo’lishi uchun shunday ortonormal vektorlar ketma-ketligi topilib

munosabat bajarilishi zarur va yetarli.

Agar operator fazoning ixtiyoriy chegaralangan to’plamini nisbiy kompakt to’plamga o’tkazsa, u holda ga kompakt operator deyiladi.

Har qanday kompakt operator chiziqlidir.

Agar va lar fazoni fazoga o’tkazuvchi kompakt operatorlar bo’lsa, u holda operator ham kompakt operator bo’ladi, bunda va lar ixtiyoriy sonlar.

Bizga ni ga o’tkazuvchi kompakt operatorlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin. Agar to’la va ketma-ketlik biror operatorga tekis yaqinlashuvchi bo’lsa , u holda operator ham kompakt operator bo’ladi. Agar kompakt, esa chegaralangan operator bo’lsa, u holda va operator ham kompakt bo’ladi.

Agar operator qiymatlar sohasining o’lchami n ga teng bo’lsa, u holda ga n o’lchamli operator deyiladi.

Ixtiyoriy chiziqli o’lchamli operator kompakdir.

Kompakt operatorning spektriga qarashli istalgan nolmas soni shu operratorning xos qiymati bo’ladi. operatorning muhim spektri kompakt qo’zg’alishlarda o’zgarmaydi, ya’ni agar k-kompakt operator bo’lsa, u holda

tenglik o’rinlidir. (Veyl teoremasi)

Aim.uz