Kurs ishi Betlar

3-ta’rif. Agar argumentning nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning shu nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Funksiyaning nuqtadagi uzlukizligini tekshirishda keltirilgan ta’riflarning
biridan foydalanish mumkin.
Misol
funksiyani uzluksizlikka tekshiramiz. funksiya da aniqlangan. Istalgan nuqtani olamiz va bu nuqtada ni topamiz:
.
Bundan kelib chiqadi, chunki
chegaralangan funksiyaning cheksiz kichik funksiyaga ko‘paytmasi cheksiz kichik bol‘adi.
Demak, 3-ta’rifga ko‘ra funksiya nuqtada uzluksiz.
4-ta’rif. Agar bo‘lsa, funksiya nuqtada o‘ngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.
1-ta’rif va 4-ta’riflardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun u shu nuqtada ham chapdan va ham
o‘ngdan uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarli.
Uzluksiz funksiyalar ustida arifmetik amallar. va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda , va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Isboti. va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun ular bu nuqtada va limitlarga ega. U holda funksiyaning limiti haqidagi teoremalarga ko‘ra , va funksiyalarning nuqtadagi limitlari mavjud va ular mos ravishda va ga teng bo‘ladi. Bu qiymatlar va funksiyalarning algebraik yig‘indisi, ko‘paytmasi va bo‘linmasining nuqtadagi qiymatlaridan iborat. U holda 1-ta’rifga ko‘ra , va funksiyalar nuqtada uzluksiz.
Bu teorema chekli sondagi funksiyalarning algebraik yig‘indisi va ko‘paytmasi uchun ham o‘rinli bo‘ladi.²
funksiya nuqtada uzluksiz, funksiya esa nuqtada uzluksiz bo‘lsin. U holda murakkab funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
IIsboti. funksiya nuqtada uzluksizligidan , , ya’ni da bo‘ladi. Shu sababli
funksiyaning uzluksiligidan

kelib chiqadi. Bu murakab funksiyaning nuqtada uzluksizligini bildiradi.
2-teorema yordamida (2) tenglikni quyidagicha umumlashtirish mumkin.
Agar funksiya nuqtada limitga ega bo‘lib, funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda murakkab funksiya uchun
(5)
bo‘ladi.
Bu tenglik uzluksiz funksiya belgisi ostida limitga o‘tish qoidasini ifodalaydi
va funksiyaning limitini topishda foydalaniladi.
Misol
limitni topamiz:

funksiya va funksiyalarning murakkab funksiyasi. va funksiya nuqtada uzluksiz.
U holda (5) tenglikka ko‘ra

Butun sonlar o‘qida aniqlangan funksiyani qaraymiz. da bo‘ladi (1 band, 1-natija). Demak, o‘zgarmas funksiya
butun sonlar o‘qida, ya’ni o‘zining aniqlanish sohasida uzluksiz.
funksiya ham butun sonlar o‘qida uzluksiz, chunki .
Bundan 1-teoremaga ko‘ra funksiya ko‘paytmalaridan iborat darajali funksiya hamda o‘zgarmas va darajali funksiyalardan arifmetik amallar orqali hosil qilingan ko‘phad (butun-ratsional funksiya) istalgan nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Shu kabi yuqorida keltirilgan teoremalar va limitlar haqidagi teoremalar yordamida asosiy elementar funksiyalar o‘zining aniqlanish sohasida uzluksiz bo‘lishini ko‘rsatish va ushbu teoremani isbotlash mumkin.
Tеorеma. Asosiy elеmеntar funksiyalar o‘zlari aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir.
Misol sifatida funksiya o‘zi aniqlangan har bir nuqtada uzluksizligini ko‘rsatamiz.
nuqtani bеlgilaymiz va nuqtada orttirmani tuzamiz:

Hosil qilingan funksiyaning orttirmasini baholaymiz: chunki kichik burchaklar uchun tеngsizlik isbotlangan ediю endi limitga o‘tamiz: Dеmak (nuqtada uzluksizlikning uchinchi ta’rifga ko‘ra), funksiya nuqtada uzluksiz. Biroq son to‘g‘ri chizig‘ining istalgan nuqtasi, dеmak, y= funksiya sonlar o‘qining istalgan nuqtasida uzluksizdir.