Kafedra: Mühəndis riyaziyyatı və süni intellekt

Vektorların bazis üzrə ayrılışı.

Əgər vektoru , ... , vektorlarının xətti kombinasiyadırsa , yəni

= λ₁ + ... + λ_n (1)

olduqda , həmdə deyilir ki , vektoru , ... , vektorları üzrə ayrılmışdır.

Xüsusi halda

= λ₁ + λ₂ (2)

= λ₁ + λ₂ + λ₃ (3)

ola bilər.

► Tərif. Müstəvi üzərində yerləşən , koleniar olmayan və müəyyən ardıcıllıqla götürülən , vektorlarına həmin müstəvidə bazis deyilir.

Teorem 1. Müstəvi üzərində yerləşən, hər bir vektorunu bu müstəvi üzərində , bazisi üzrə

= λ₁ + λ₂ (4)

ayrılışını yazmaq olar və bu ayrılış yeganədir.

İsbatı. , vektorları koleniar olmadığından onların heç biri sıfır deyil. , və

vektorlarının başlanğıcını bir “ 0 ” nöqtəsinə köçürək;

vektorların toplama qaydasına görə

alarıq. Yəni (4) ifadəsini alarıq. Bunun üçün əksini fərz edək, yəni fərz edək ki,

başqa bir

= ₁ + ₂ (5)

ayrılışı da var. (4) və (5) –in fərqinə baxaq, onda

( ₁ - λ₁ ) + ( ₂ – λ₂ ) = 0 (6)

olar.

Koordinatları ilə verilmiş

= a_x + a_y + a_z

Vektorunun modulunu (uzunluğunu) hesablamaq. Bu məqsədlə vektorunun baəlanğıcını koordinat başlanğıcına köçürmək və onun koordinat oxları üzərində a_x = OP, a_y = OQ, a_z = OR proyeksiyalarını tapaq. OP, OQ, OR parçaları üzərində düzbucaqlı paralelepiped qursaq, onun diqaonalı OM = olar.

Buradan:

² =

və ya

= (1)

► Tutaq ki, vektorunun koordinat oxlarının müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucaqlar

– dır. Bu bucaqlar vektorunun yönəldici bucaqları deyilir. vektorunun koordinat oxları üzərindəki a_x , a_y və a_z proyeksiyalarını aşağıdakı kimi tapmaq olar:




a_x= , a_y = , a_z =

kimi tapmaq olar.

Buradan:

= , , = (2)

və ya

= ,

= , (3)

= .

(2) bərabərliklərini kvadrata juksəldib tərəf-tərəfə toplasaq və (1) bərabərliyini nəzərə alsaq:

cos² + cos² + cos² = 1 (4)

, və kəmiyyətlərinə vektorunun yönədici kosinusları deyilir. vektoru vahid vektor olarsa, onda

a_x = , a_y = , a_z = ,

yəni vahid vektorun yönəldici kosinusları onun uyğun koordinatlarıdır.